高考数学 第一节 数列的概念及其表示法教材

第一节 数列的概念及其表示法
考 点 串 串 讲
1．数列的定义
(1)定义
按一定顺序排成的一列数叫做数列．如a1，a2，a3，…，an ，…，
简记为{an}，数列中的一个数叫做数列的项，项所在的位置叫做项的序号，也叫项数，用下标表示，如a3表示第3项，a10表示第10项，an 表示第n 项．
(2)对数列定义的理解：
(ⅰ)数列{an}与集合{a1，a2，...，an ，...}不同，前者是借用集合符号表示数列，如数列 1，12，13， (1)
，…① 可记为{1n }，它表示数列①，而数列{1＋－1n 2
}那么表示数列② 0,1,0,1,0,1，…，1＋－1n 2
，…② 从数列②中可以看出数列中项的值可以重复，而集合中是不允许的． {a1，a2，…，an ，…}表示集合，其中的元素是a1，a2，…，an ，…这些数，它们是互不相等的，根据集合的意义，这些元素可以在集合中的任何一个位置，即它们在集合中是无序的，然而数列中每一个数它们的位置是固定的，因为数列中的数是按一定顺序排列而成的．如数列
12，1，32
，2，③ 与数列
1，12，2，32
，④ 这两个数列虽然它们都是由同样的几个数组成，但由于它们所处的位置不同，因此这是两个不同的数列．
(ⅱ)an 与{an}不同
根据定义an 表示数列的第n 项，如a1表示第1项，an ＋1表示第n ＋1项，所以an 也叫做数列的通项．而{an}是数列a1，a2，…，an ，…的一种简写的形式．特别地，当an 可以用一个解析式子表示时，可以直接将这个式子写在花括号内来表示数列．所以an 与{an}是数列的第n 项与整个数列的关系．
(ⅲ)多少个数才能称为“一列数〞
两个数不能称为一列，三个或三个以上(可以重复)的数，才能称为一列数，所以数列的项数n 最少为3.
(ⅳ)数列的本质是函数
从数列的定义中，可以看出，在一个数列中，其中任一项的值，由这个项的“序号〞唯一确定，也就是说数列中每个项的值是其项的序号的函数，即an ＝f(n)，n ∈N ＋.
如此看来，数列就可看作是定义在正整数集N ＋或其有限真子集{1,2，…，n}上的函数，当自变量n 从小到大依次取值时对应的一列函数值．这种从“函数的观点〞看待数列的思想使我们有可能借助熟悉的研究函数的方法来研究数列．但是要特别注意：对数列来说，定义域不是1个或几个区间，而是正整数集N ＋或某个真子集，这就是数列的个性特征．
反思数列的定义可以看出：数列最突出的特点是其项的离散性和有序性．因此，关注每个项的“下标〞(项的序号)就成了研究数列的最重要的切入点．
2．数列的表示法
(1)列举法
把数列{an}的项依次列举出来：
a1，a2，a3，…，an ，…
这种方法称为列举法，其中an(n ＝1,2,3，…)叫做第n 项(又叫通项)，列举法在提出问题与分析问题时广泛使用，如
问题一：等比数列12，14，18，116
，…，求数列的前n 项和． 问题二：等差数列1,4,7,10，…，求这个数列的通项等等，这些数列都是用列举法形式给出． 用列举法给出的数列直观，由于规律隐含在前面给出的这些项中，所以又很抽象．分析或解
决问题时，要从中抽象出通项来．如从问题一的数列中抽象出an ＝12n
，n ∈N ＋，从问题二的数列中抽象出an ＝3n －2，n ∈N ＋.
(2)图象法
和函数一样，在直角坐标平面内描绘出数列{an}的一系列散点图，这也是给出数列的一种方式．
这种表示方法也具有很强的直观性，可以直接从图象上了解到项an 与自变量n 之间的变化趋势，但是确定的函数关系并不清楚．如果要求通项an ＝f(n)可以像拟合函数一样来拟合数列．
(3)解析法——数列的通项公式
把数列{an}的第n 项an 用n 的解析式表示出来，这种方法称为解析法．这个解析式叫做数列的通项公式，即an ＝f(n)，n ∈N ＋.
通项公式表达了数列的本质规律，它在计算或讨论数列的性质时，有独特的直接作用，因此成为人们经常使用的一种方法．
如同有的函数找不到解析式一样，不是所有的数列都能用解析法表示．
(4)递推法
数列{an}还可用它的第一项(或前几项)和一个由连续几项构成的递推式an ＋1＝f(an ，an －1，…)联合给出，这种方法称为递推法．
如a1＝－2，an ＋1＝an ＋1(n ∈N ＋)，从n ＝1开始从小到大依次可以写出数列的全部项．
3．数列的分类
不同的标准导致不同的分类．
(1)按数列的项数多少可分为有穷数列与无穷数列．
注意有穷数列与无穷数列的列举法表示．
如1，12，14，18
为有穷数列，这个数列只有4项． 而1，12，14，18
，…为无穷数列，有无穷多项． (2)按邻项的大小来分类可分为常数列、单调数列与摆动数列．
一般地，对于数列{an}：
假设恒有an ＜an ＋1(n ∈N ＋)⇔{an}为递增数列；
假设恒有an ＝an ＋1(n ∈N ＋)⇔{an}为常数列；
假设恒有an ＞an ＋1(n ∈N ＋)⇔{an}为递减数列；
假设相邻大小顺序不固定⇔{an}为摆动数列．
递增数列与递减数列统称为单调数列，假设数列是单调数列，那么称这个数列具有单调性．
(3)周期数列：如果对所有的n ∈N ＋，都有an ＋k ＝an(k 为常数)，那么称{an}为以k 为周期的周期数列．
(4)有界数列：如果对所有的n ∈N ＋，都有|an|＜M 或|an|≤M ，那么称{an}为有界数列，否那么称{an}为无界数列．
(5)正项数列：如果数列{an}中所有的项都满足an ＞0，那么数列{an}叫做正项数列．
4．Sn 求an
数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是an ＝Sn －Sn －1(n≥2)．这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错，即由an ＝Sn －Sn －1求得an 时的n 是从2开始的自然数．否那么会出现当n ＝1时，Sn －1＝S0而与前n 项和定义矛盾．可见an ＝Sn －Sn －1不一定是数列{an}的通项公式，只有验算了由an ＝Sn －Sn －1所确定的an ，当(n≥1，n ∈N *)n ＝1时的a1与S1相等时，an 才是通项公式，否那么要用分段函数表示为
an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S1， n ＝1Sn －Sn －1. n≥2.
典 例 对 对 碰
题型一 由数列的前几项写出通项公式
例1写出下面数列的一个通项公式． (1)212，414，618，8116，…； (2)10,11,10,11,10,11，…；
(3)－1，85，－157，249
，…. 解析 (1)这是个混合数列，可看成2＋12，4＋14，6＋18，8＋116，….故通项公式an ＝2n ＋12n
. (2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：10＋0,10
＋1,10＋0,10＋1，….故其一个通项为an ＝10＋1＋－1n 2
. (3)通项符号为(－1)n ，如果把第一项－1看作－33
，那么分母为3,5,7,9，…，分母通项为2n ＋1；分子为3,8,15,24，…，分子通项为(n ＋1)2－1即n(n ＋2)，所以原数列通项为an ＝(－1)n n2＋2n 2n ＋1
. 点评 仅给出函数的前n 项，其通项公式并非唯一，如(2)中通项公式可为an ＝10＋|sin
n －1π2
|，但是，假设给出数列通项公式，那么数列被唯一确定.
变式迁移1
写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36
，…； (4)23，－1，107，－179，2611，－3713
，…； (5)3,33,333,3333，….
解析 (1)各项减去1后为正偶数，所以an ＝2n ＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an ＝2n －12n
. (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2
－1，偶数项为2＋1，所以an ＝(－1)n·2＋－1n n
. 也可写为an ＝⎩⎨⎧ －1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.
(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，由第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子那么是32＋1,42＋1,52＋1,62
＋1，按照这样的规律第1、2两项可改写为12＋12＋1，－22＋12·2＋1，所以an ＝(－1)n ＋1·n2＋12n ＋1
. (5)将数列各项改写为：93，993，9993，99993
，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an ＝13
(10n －1).
题型二 由递推公式写出数列前几项
例2数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a2n ＋1－anan ＋2＝(－1)n ，求数列的前5项．
解析 把条件写成an ＋2＝a2n ＋1－－1n an
，有 a1＝1，a2＝3，a3＝
a22－－11a1＝32＋11＝10， a4＝
a23－－12a2＝102－13＝33， a5＝a24－－1
3a3＝332＋110
＝109， 故前5项分别为1,3,10,33,109.
变式迁移2
数列{an}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…an ＝n2，那么a3＋a5＝________. 答案 6116 解析 令n ＝2，得a1a2＝22＝4，故a2＝4a1＝41＝4；令n ＝3，得a1a2a3＝32＝9，故a3＝9a1a2
＝94；令n ＝4，得a1a2a3a4＝42＝16，故a4＝16a1a2a3＝169
；再令n ＝5，得a1a2a3a4a5＝52＝25，故a5＝25a1a2a3a4＝2516.从而a3＋a5＝94＋2516＝6116
.
题型三 与数列的性质有关的问题
例3数列的通项公式为an ＝n2n2＋1
， (1)0.98是不是它的项？
(2)判断此数列的增减性和有界性．
解析 (1)令n2n2＋1
＝0.98，解得n ＝7，所以0.98是此数列的第7项． (2)∵an ＋1－an ＝
n ＋12n ＋12＋1－n2n2＋1 ＝2n ＋1[n ＋12＋1]n2＋1
＞0， ∴an ＋1＞an ，故此数列是递增数列；
又|n2n2＋1|＝1－1n2＋1
＜1， ∴此数列是有界数列.
变式迁移3
数列{an}的通项an ＝(n ＋1)·(1011
)n(n ∈N*)．试问该数列{an}有没有最大项？假设有，求出最大项和最大项的项数；假设没有，说明理由．
解析 ∵an ＋1－an ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)·(1011)n ＝(1011)n·9－n 11
， ∴当n ＜9时，an ＋1－an ＞0，即an ＋1＞an ；
当n ＝9时，an ＋1－an ＝0，即an ＋1＝an.
当n ＞9时，an ＋1－an ＜0，即an ＋1＜an.
故a1＜a2＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…
∴数列{an}的最大项为a9或a10，其值为10·(1011
)9，其项数为9或10.
题型四 由递推公式求通项公式
例4数列{an}满足a1＝1，an ＝3n －1＋an －1(n≥2)，求通项公式an.
解析 解法一：由a1＝1，an ＝3n －1＋an －1(n≥2)得
a1＝1，
a2＝31＋a1，
a3＝32＋a2，
…
an －1＝3n －2＋an －2，
an ＝3n －1＋an －1.
等式两端对应分别相加得
an ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝
3n －12
， 所以an ＝3n －12
. 解法二：由an ＝3n －1＋an －1得
an ＝3n －1＋an －1＝3n －1＋3n －2＋an －2
＝3n －1＋3n －2＋3n －3＋an －3
＝…＝3n －1＋3n －2＋…＋32＋a2
＝3n －1＋3n －2＋…＋32＋31＋a1
＝3n －1＋3n －2＋…＋32＋31＋1
＝3n －12
. 点评 解法一是抓住了等式两端an 与an －1系数相等这一特点；解法二是一种常见的重要方法，它的关键是依次将an －1，an －2，…a2，a1代入，抓住式子特点，转化为等比数列前n 项和.
变式迁移4
数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝2an an ＋2
，求该数列的通项公式an. 解析 由an ＋1＝2an an ＋2
得2an －2an ＋1＝anan ＋1， 两边同除以anan ＋1，得1an ＋1－1an ＝12
， 所以数列{1an }是以1a1＝1为首项，12
为公差的等差数列， 所以1an ＝1a1＋(n －1)·12
， 即1an ＝n ＋12，所以an ＝2n ＋1
.
题型五 数列的前n 项和Sn 与通项an
例5设Sn 为数列{an}的前n 项和，且Sn ＝32
(an －1)(n ∈N *)．求数列{an}的通项公式． 解析 ∵Sn ＝32
(an －1)， ∴当n ＝1时，S1＝a1＝32
·(a1－1)．
解得a1＝3.当n≥2时，
an ＝Sn －Sn －1＝32(an －1)－32
(an －1－1) 得an an －1
＝3， ∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，
且首项a2＝3a1＝9.
∴n≥2时，an ＝9·3n －2＝3n.显然，当n ＝1时也成立．故数列的通项公式为an ＝3n(n ∈N *).
变式迁移5
下面各数列{an}的前n 项和Sn 的公式，求{an}的通项公式．
(1)Sn ＝2n2－3n ；(2)Sn ＝3n －2.
解析 (1)a1＝S1＝－1，当n≥2时，
an ＝Sn －Sn －1＝(2n2－3n)－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5.
由于a1也适合此等式，因此an ＝4n －5(n ∈N*)．
(2)a1＝S1＝1，当n≥2时，
an ＝Sn －Sn －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2·3n －1.
∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 n ＝1，2·3n －1 n≥2.
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题型六 数列的周期性问题
例6数列{an}的前4项分别为2008,2009,2010,2011，且对于任意非零自然数n ，都有an ＋4＝an ＋3－an ＋2＋an ＋1－an ，那么a2009＝( )
A ．2008
B ．2009
C ．－2010
D ．－2011
解析 ∵an ＋4＝an ＋3－an ＋2＋an ＋1－an ，
∴an ＋5＝an ＋4－an ＋3＋an ＋2－an ＋1，
以上两式相加得an ＋5＝－an ，故an ＋10＝－an ＋5＝an ，即数列{an}是周期为10的周期数列，
∴a2009＝a9＝－a4＝－2011，选D.
答案 D
点评 数列的通项公式是一种特殊的函数关系式，因此周期数列的定义形式与周期函数的定义形式很相似，由递推关系推导数列的周期性可以类比函数周期性的推导，关键是脚标的数字特征及转化技巧，对于大部分选择题来说，我们只需要由递推公式求出前几项，就可以猜测出数列的周期，不需要推理证明.
变式迁移6
假设数列{an}满足
an ＋1＝⎩⎨⎧ 2an ，0≤an ＜122an －1，12≤an ＜1，且a1＝67，那么a20的值为( ) A.67 B.57
C.37
D.17
答案 B 解析 由a1＝67∈[12，1)，知a2＝2×67－1＝57；由57∈[12，1)，知a3＝2×57－1＝37；由37∈[0，12
)，知a4＝2×37＝67；….据此可知{an}是周期为3的周期数列．∴a20＝a2＝57
.
题型七 数列与图形
例7如下图，一条螺旋线用如下方法画成：
△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2、A2A3分别是以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA1、CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心，AA3为半径画弧，…，这样旋转到第n 圈，那么所得螺旋线的长度ln ＝________.(用π表示即可)
分析 此题将螺旋线的弧长作为数列的通项来求解，考查了数列通项与求和的知识．
解析 ln ＝23π(1＋2＋3＋…＋3n)＝23
π·3n 1＋3n 2
＝(3n2＋n)π. 答案 (3n2＋n)π
点评 此题错误率的最高点在于将此螺旋线的长度视作是n 条弧长的和，计算得ln ＝23
π(1＋2＋3＋…＋n)＝23π·n 1＋n 2＝n2＋n π3.
变式迁移7
根据以下5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．
答案 n2－n ＋1
解析 图(1)中为12－0；图(2)中为22－1；图(3)中为32－2；图(4)中为42－3；图(5)中为52－4，…故第n 个图中为n2－(n －1)＝n2－n ＋1.
专题 由递推关系式求数列通项公式的问题
(一)形如an ＋1＝pan ＋r(p 为常数，p≠0，p≠1)的一阶递推数列的通项求法
(1)an ＋1＝pan ＋r(p 为常数，p≠0，p≠1，r 为常数)的递推数列的通项．
例如a1＝2，an ＋1＝2an －1，求数列{an}的通项an.
方法一：(迭代法)
a1＝2，an ＋1＝2an －1
∴an ＝2an －1－1
＝2(2an －2－1)－1
＝22an －2－2－1
＝22(2an －3－1)－2－1
＝23an －3－22－2－1
＝…
＝2n －1a1－2n －2－2n －3－…－2－1
＝2n －(1＋2＋22＋…＋2n －2)
＝2n －2n －1－12－1
＝2n －2n －1＋1
＝2n －1＋1.
说明 迭代法就是根据递推公式从an 开始不断地反复地代入递推下去，直到a1为止，达到求出an 的目的．使用迭代法，要善于观察过程中每一项与项数的规律，这样才能保证递推的正确性．
方法二：(阶差法)
由an ＋1＝2an －1，得
an ＝2an －1－1 (n≥2)，
an ＋1－an ＝2(an －an －1)，
令bn ＝an ＋1－an ，那么
bn ＝2bn －1(n≥2)，
∵a1＝2，∴a2＝2a1－1＝2×2－1＝3.
∴b1＝a2－a1＝3－2＝1，
∴bn ＝2n －1.
即 an ＋1－an ＝2n －1.
(注：也可不必累加，见题后说明②)
∴a2－a1＝1，
a3－a2＝2，
a4－a3＝22，
……
an －an －1＝2n －2.
以上n －1个等式相加，得
an －a1＝1＋2＋22＋…＋2n －2
即an ＝2＋2n －1－12－1
＝2n －1＋1.
说明 ①将递推式上升一阶或下降一阶后作差，其目的就是为了消去常数项，通过换元构造一个新的等比数列，求出连续两项的差．再用叠加(或称累加)法．求出通项an.
②此题中在得到阶差an ＋1－an ＝2n －1后将an ＋1＝2an －1代入得an ＝2n －1＋1，这里表达了一种方程思想．
方法三：由an ＋1＝2an －1，得 an ＋12n ＋1＝an 2n －(12)n ＋1. 令bn ＝an 2n ，得 bn ＋1－bn ＝－(12
)n ＋1 ∴b2－b1＝－(12
)2 b3－b2＝－(12
)3 ……
bn －bn －1＝－(12)n 以上n －1个等式相加，得
bn －b1
＝－[(12)2＋(12)3＋…＋(12
)n] ＝－14[1＋12＋(12)2＋…＋(12
)n －2] ＝－14×1－12n －11－12
＝－12(1－12n －1
) ∴bn ＝b1－12＋12n
＝a12－12＋12n
＝1－12＋12n
＝12＋12n
， 即an 2n ＝12＋12n
， ∴an ＝2n －1＋1.
说明 ①对于形如an ＋1＝pan ＋r(p≠0，p≠1，p 为常数)的递推数列，可以将递推式的两边同除以pn ＋1，得
an ＋1pn ＋1＝an pn ＋r(1p )n ＋1. 令bn ＝an pn ，得bn ＋1－bn ＝r(1p
)n ＋1. 然后赋值累加，得
bn ＝b1＋r p2(1＋1p ＋1p2＋…＋1pn －2
) ＝b1＋r p2·1－1pn －11－1p
an pn ＝a1p ＋r p p －1(1－1pn －1
) ∴an ＝(a1＋r p －1)pn －1－r p －1
(n ∈N ＋)． ②注意同除以pn 的目的是为了形成连续两项差的形式！
方法四：(拆分法)
由an ＋1＝2an －1，得an ＋1－1＝2(an －1)．
令bn ＝an －1，那么b1＝a1－1＝2－1＝1，bn ＋1＝2bn ，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2.
∴bn ＝1·2n －1＝2n －1，即an －1＝2n －1.
∴an ＝2n －1＋1.
说明 这里是将常数项－1拆分成－2＋1，拆分的目的是为了构造新的等差或等比数列，便于运用公式求解．
方法五：(待定系数法)
令an ＋1－λ＝2(an －λ)，得
an ＋1＝2an －λ.
和原递推式比较对应项得λ＝1，
∴an ＋1－1＝2(an －1)．
以下同方法四．
说明 有时拆分目标不明确，因此采用这种待定系数法方便，同样可以起到转化的目的． 方法六：(特征方程法)
根据an ＋1＝2an －1，令x ＝2x －1，
解得x ＝1.
∴递推公式可以化为
an ＋1－1＝2(an －1)．
以下同方法一．
说明 方法六与方法五比较，免去了待定系数变换的过程，而是直接由一个方程求出λ的值．这个方程x ＝2x －1叫做递推式an ＋1＝2an －1的特征方程．
一般一阶递推公式an ＋1＝pan ＋r(p 、r 为常数，p≠0，p≠1)的特征方程为x ＝px ＋r.
解这个方程，得x ＝r 1－p
. ∴an ＋1－r 1－p ＝p(an －r 1－p
)．
令bn ＝an －r 1－p ，得b1＝a1－r 1－p
. bn ＋1＝pbn.
∴数列{bn}为等比数列，首项为a1－r 1－p
，公比为p. ∴bn ＝(a1－r 1－p
)pn －1. 即an －r 1－p ＝(a1－r 1－p
)pn －1. ∴an ＝r 1－p ＋(a1－r 1－p
)pn －1(n ∈N ＋)． 说明 采用特征方程的目的是为了将递推式转化为新的等比数列{bn}，其中bn ＝an －λ的形式，而λ就是特征方程x ＝px ＋r 的根．
小结 在以上的六种方法中，除方法四外都具有一般性．方法一与方法二运算麻烦，方法三虽然有点麻烦，但构造新数列很特别，具有使用和推广的重要价值，方法四虽然特殊，但如果能一下子将递推式拆分成an ＋1－λ＝p(an －λ)的形式时可不必去用待定系数法去解特征方程．从方法四到方法六，这三种方法都是在围绕如何迅速找到λ，使得an ＋1－λ＝p(an －λ)，方法五是用待定系数法，方法六是用特征方程求λ.比较起来，六种方法中，特征方程既方便，又快捷．
(2)an ＋1＝pan ＋kn ＋r(p 、k 、r 为常数，p≠0，k≠0)
例如a1＝1，an ＋1＝2an ＋3n ＋1，求数列{an}的通项．
解 由an ＋1＝2an ＋(3n ＋1)得
an ＋12n ＋1＝an 2n ＋3n ＋12n ＋1
. 令bn ＝an 2n
，得 bn ＋1－bn ＝(3n ＋1)(12
)n ＋1， ∴b2－b1＝4×(12
)2 b3－b2＝7×(12
)3 ……
bn －bn －1＝(3n －2)(12
)n. 将以上n －1个等式相加，得
bn ＝b1＋4×(12)2＋7×(12)3＋…＋(3n －2)×(12
)n ① 即bn ＝12＋4×(12)2＋7×(12)3＋…＋(3n －2)×(12
)n ∴12bn ＝(12)2＋4×(12)3＋…＋(3n －5)×(12)n ＋(3n －2)(12
)n ＋1② ①－②得
12bn ＝12＋3×(12)2＋3×(12)3＋…＋3×(12)n －(3n －2)(12
)n ＋1 ＝12＋34·1－12n －11－12
－(3n －2)(12)n ＋1 ＝12＋32[1－(12)n －1]－(3n －2)·(12
)n ＋1 ∴bn ＝1＋3(1－12n －1
)－(3n －2)(12)n ＝4－3n ＋42n
. 即an 2n ＝4－3n ＋42n
. ∴an ＝2n ＋2－3n －4(n ∈N ＋)．
说明 ①当递推公式是an ＋1＝pan ＋kn ＋r(p 、k 、r 为常数且p≠0，k≠0)时，假设p≠1我们可以像(1)中的方法三那样，两边同除以pn ＋1得到 an ＋1pn ＋1＝an pn
＋(kn ＋r)(1p )n ＋1. 令bn ＝an pn
，得 bn ＋1－bn ＝(kn ＋r)(1p
)n ＋1. 赋值，累加，得
bn ＝b1＋(k ＋r)(1p )2＋(2k ＋r)·(1p )3＋…＋[(n －1)k ＋r](1p
)n ， 再用错位相减法，求出bn ，再由bn ＝an pn
，得an ＝bnpn. ②假设p ＝1，可直接由an ＋1－an ＝kn ＋r ，赋值，累加求出an.
(3)递推式为an ＋1＝pan ＋cqn(c 、p 、q 为常数，且c≠0，p≠0，q≠0,1)
解 将递推式两边同除以pn ＋1，得
an ＋1pn ＋1＝an pn ＋c p (q p
)n ， 令bn ＝an pn ，得bn ＋1＝bn ＋c p (q p
)n ， 再将递推式bn ＋1－bn ＝c p (q p
)n ， 从n ＝1到n －1赋值累加得
bn ＝b1＋c p [(q p )＋(q p )2＋…＋(q p
)n －1] ①假设p ＝q ，那么{bn}为等差数列，
bn ＝b1＋(n －1)·c p
＝1p (cn ＋a1－c)， 此时an ＝pn －1(cn ＋a1－c)． ②假设p≠q ，那么
bn ＝a1p ＋cq p2·1－q p n －11－q p
＝a1p ＋cq pn p －q
(pn －1－qn －1) ∴an ＝a1pn －1＋cq p －q
(pn －1－qn －1) ＝(a1＋cq p －q )pn －1－cqn p －q
综合，得
an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ pn －1n ＋a1－1p ＝q .a1＋cq p －q pn －1－cqn p －q p≠q
(二)形如an ＋2＝pan ＋1＋qan(p 、q 为常数，且p≠0，q≠0)的二阶递推数列的通项求法 如a1＝1，a2＝2，an ＋2＝2an ＋1＋3an(n ∈N ＋)，求数列{an}的通项．
方法一：(拆分法)
由an ＋2＝2an ＋1＋3an ，得
an ＋2＋an ＋1＝3(an ＋1＋an)．
令bn ＝an ＋1＋an ，得b1＝a2＋a1＝3.
bn ＋1＝3bn ，{bn}为等比数列，且首项b1＝3，公比q ＝3.
∴bn ＝3n ，即an ＋1＋an ＝3n.
∴an ＋1＝－an ＋3n.
两边同除以(－1)n ＋1，得
an ＋1－1n ＋1
＝an －1n －(－3)n 令Cn ＝an －1n
，得Cn ＋1－Cn ＝－(－3)n ， ∴C2－C1＝－(－3)，
C3－C2＝－(－3)2，
……
Cn －Cn －1＝－(－3)n －1，
以上n －1个等式相加，得
Cn ＝C1－[(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1]
＝C1＋3＋－3n 4＝－1＋3＋－3n 4
＝14
[(－3)n －1]
即an －1n ＝14
[(－3)n －1] ∴an ＝
－1n[－3n －1]4. 说明 (1)也可以这样来拆分，即
an ＋2－3an ＋1＝－(an ＋1－3an)．
令bn ＝an ＋1－3an ，得bn ＋1＝－bn.
数列{bn}为等比数列，公比为－1，首项为b1＝a2－3a1＝－1，
∴bn ＝(－1)n ，即an ＋1－3an ＝(－1)n.
两边同除以3n ＋1得an ＋13n ＋1－an 3n ＝13(－13
)n. 以下同方法一．
(2)拆分的目的是为了能够构造新的等比数列，将二阶递推降为一阶递推，使之转化为我们已经熟悉的an ＋1＝pan ＋r 的形式．
(3)两种不同的拆分都与3和－1这两个数有关．而3和－1正好是方程x2－2x －3＝0的两个根．因此我们把方程x2＝2x ＋3叫做由递推公式an ＋2＝2an ＋1＋3an 给出的数列{an}的特征方程．
一般地，我们希望存在两个实数λ1与λ2，使得an ＋2－λ1an ＋1＝λ2(an ＋1－λ1an)对任意的正整数n 都成立．
由此，得到an ＋2＝(λ1＋λ2)an ＋1－λ1λ2an.
比较递推公式中，对应项的系数，得
λ1＋λ2＝p ，λ1λ2＝－q.
∴λ1，λ2是方程x2－px －q ＝0的两个实根．
我们把这个方程就叫做由递推公式an ＋2＝pan ＋1＋qan 给出的二阶递推数列的特征方程，λ1与λ2叫特征根．
有时用拆分法很难找到特征根，因此采用特征方程求特征根既省时，又方便．
例如裴波那契数列，a1＝a2＝1，an ＋2＝an ＋1＋an 求an.
解 (特征方程法)
特征方程为x2＝x ＋1. 解之，得x ＝1±52
， 即λ1＝1＋52，λ2＝1－52或λ1＝1－52，λ2＝1＋52
. 随便取一组，得
an ＋2－1＋52an ＋1＝1－52(an ＋1－1＋52
an) 令bn ＝an ＋1－1＋52an ，得b1＝a2－1＋52a1＝1－52，bn ＋1＝1－52
bn. ∴{bn}为等比数列，且首项为1－52，公比为1－52
. ∴bn ＝(1－52
)n. 即an ＋1－1＋52an ＝(1－52
)n.
两边同除以(1＋52)n ＋1，得 an ＋11＋52n ＋1－an 1＋52n ＝5－12(5－32)n 令Cn ＝an 1＋52
n ，得 Cn ＋1－Cn ＝5－12(5－32
)n ∴C2－C1＝
5－12(5－32)， C3－C2＝
5－12(5－32)2， ……
Cn －Cn －1＝5－12(5－32
)n －1. 以上n －1个等式相加，得
Cn ＝C1＋
5－12×[5－32＋(5－32)2＋…＋(5－32)n －1] 又C1＝a11＋5
2
＝5－12， ∴Cn ＝
5－12[1＋5－32＋(5－32)2＋…＋(5－32)n －1] ＝5－12×1－5－32n 1－5－32
＝
55[1－(5－32)n] 即an 1＋52
n ＝55[1－(5－32)n] ∴an ＝
55[(1＋52)n －(1－52)n](n ∈N ＋)． 这就是著名的裴波那契数列的通项公式．
(三)形如an ＋1＝an ran ＋p
(r 、p 为常数，且rp≠0)的简单分式递推数列的通项求法 将递推公式化为1an ＋1－p an
＝r 的形式，令bn ＝1an ，那么bn ＋1－pbn ＝r. 1°假设p ＝1，那么bn ＋1－bn ＝r(常数)
此时{bn}为等差数列，首项为b1＝1a1
，公差为r.
∴bn ＝1a1＋(n －1)r 即1an ＝1a1＋(n －1)r ∴an ＝11a1＋n －1r
. 2°假设p≠1，由bn ＋1－pbn ＝r ，且r 为常数．
解特征方程，x －px ＝r ，得x ＝r 1－p
. ∴bn ＋1－r 1－p ＝p(bn －r 1－p
)． 令Cn ＝bn －r 1－p ，C1＝b1－r 1－p ＝1a1－r 1－p
，Cn ＋1＝pCn. ∴{Cn}是等比数列，首项为1a1－r 1－p
，公比为p. ∴Cn ＝(1a1－r 1－p
)pn －1. 即bn －r 1－p ＝(1a1－r 1－p
)pn －1. ∴bn ＝r 1－p ＋(1a1－r 1－p
)pn －1. ∴an ＝1
r 1－p ＋1a1－r 1－p pn －1(n ∈N ＋) (四)由递推式an ＋1＝f(n)an(n ∈N ＋)给出的数列{an}的通项．
形如an ＋1＝f(n)an(n ∈N ＋)的递推数列没有一般的求解法那么，但有一些这样的递推数列还是可求的．
例如(1)在数列{an}中，a1＝2，an ＋1＝n ＋1n
an ，求通项an ； (2)在数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝(n ＋1)an ，求通项an ；
(3)在数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝2nan ，求通项an.
解 (1)∵an ＋1an ＝n ＋1n
， ∴a2a1×a3a2×…×an an －1＝21×32×…×n n －1
＝n ， 即an a1
＝n ，∴an ＝2n(n ∈N ＋)． (2)∵an ＋1an
＝n ＋1 ∴a2a1·a3a2·a4a3·…·an an －1
＝2×3×4·…·n ， 即an a1
＝2·3·4·…·n ，
∴an ＝a1·2·3·4·…·n ＝n!
(3)∵an ＋1an ＝2n ， ∴a2a1·a3a2·…·an an －1
＝21·22·…·2n －1
＝21＋2＋…＋(n －1)
＝2(-)n n 12，
即an a1＝2(-)n n 12.
∴an ＝a1·2(-)n n 12＝2(-)n n 12
(n ∈N ＋)．
说明 从上面可以看出，如果{f(n)}的前n 项的积可求，那么由递推式an ＋1＝f(n)an 可用累乘法求通项an.
(五)与Sn 有关的递推数列{an}的通项
①在数列{an}中，Sn ＝3＋2an ，求an.
②在数列{an}中，a1＝1，an ＝2S2n 2Sn －1
(n≥2)，求an. 解 ①∵an ＝Sn －Sn －1
＝(3＋2an)－(3＋2an －1)
＝2an －2an －1(n≥2)，
∴an ＝2an －1，
∴{an}是等比数列，公比为2，首项为a1＝S1＝－3.
∴an ＝－3·2n －1(n≥1)．
②∵an ＝Sn －Sn －1＝2S2n 2Sn －1
(n≥2)， (Sn －Sn －1)(2Sn －1)＝2S2n ，
整理，得Sn －1－Sn ＝2Sn －1Sn.
∴1Sn －1Sn －1＝2，又a1＝S1＝1，那么1S1
＝1. ∴{1Sn
}是等差数列，首项为1，公差为2. ∴1Sn ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴Sn ＝12n －1
(n ∈N ＋)． 当n ＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，将Sn ＝12n －1代入原递推式中，得an ＝－22n －12n －3
.
将n ＝1代入，设a1＝2≠1.
∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 n ＝1－22n －12n －3 n≥2
说明 在由递推式Sn ＝f(an)中，有时是消去Sn ，如①，有时是消去an ，如②.要灵活运用公式an ＝Sn －Sn －1(n≥2).
方 法 路 路 通
1．数列具有函数的本质特征是指数列是由定义在自然数集或其有限真子集上的函数，当自变量n 从小到大依次取值时，所对应的一列函数值．离散性和有序性是数列的两个重要特征，这是数列有别于一般函数的最重要的两点．
2．通项公式是给出数列的一种重要方法，抓住通项公式是解决数列问题的关键．
3．递推公式也是给出数列的一种方法，灵活地运用递推公式表达了递推思想．
4．求数列的最大项与最小项与求函数的最值相似，既可用单调法，还可以根据数列的离散
性与有序性的特点，用⎩⎪⎨⎪⎧
an≥an ＋1an≥an －1(n≥2)这种方法来求，不过要注意使用条件有两个：一是各项符号一致，即不是摆动数列；二是注意所求的an 应与首项a1单独比较．
5．给出数列的几项求通项时，常用特征分析法和化归法，所求的通项并不唯一．
6．数列的通项an 和数列的前n 项和Sn 是数列中两个重要的量，要注意各自的意义和相互间的关系．在使用公式an ＝Sn －Sn －1时切不可忽略n≥2的条件．
7．数列是一类特殊的函数，数列的有关概念应在函数的观点下加深理解，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍适用性，又要注意数列方法的特殊性．
8．数列的通项公式的一般求法
(1)数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
①负号用(－1)n 或(－1)n ＋1来调节，这是因为n 和n ＋1奇偶交错．
②分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系． ③对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．
④此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．
(2)递推公式求通项，可把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的特征进行适当的处理．
9．在处理有关递推数列的问题时，一个核心的理念是——转化与化归．采用相关的方法，如阶差法、累加(乘)法、构造法、换元法、分解通项法，等等．使问题朝着等差、等比数列以及正整数方幂数列方向转化，最终用这三种数列的知识去求解．
10．递推思想与方法是求解递推数列的一种重要的途径，特别是当数列结构尚不明确时，递推能够起到“投石问路〞的作用．但要注意这种递推的方法常与数学归纳法联合起来，即递推解决归纳猜想，而数学归纳法那么起到严格证明的作用.
正 误 题 题 辨
例数列{an}的前n 项和Sn ＝aqn(a≠0，q≠1，q 为非零常数)，那么数列{an}( )
A ．是等差数列
B ．是等比数列
C ．既不是等差数列，又不是等比数列
D ．既是等差数列又是等比数列
错解 ∵an ＋1＝Sn ＋1－Sn
＝aqn ＋1－aqn ＝aqn(q －1)
an ＝Sn －Sn －1＝aqn －1(q －1)，
∴an ＋1an
＝q(常数) ∴数列{an}为等比数列．应选B.
点击 忽略了an ＝Sn －Sn －1中隐含条件n≥2.
正解 当n ＝1时，a1＝S1＝aq
当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝aqn －1(q －1)
an ＋1＝aqn(q －1)，
∴an ＋1an
＝q(n≥2)为常数 但a2a1
＝q －1≠q ∴数列{an}从第二项起为等比数列，但整体不等比，应选C. 答案 C。