江苏高三高中数学月考试卷带答案解析

江苏高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.已知全集，集合，，则．
2.已知，且，则＝．
3.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则．
4.函数的最小正周期是．
5.不等式的解集为．
6.设函数的图象过点，且在点处的切线方程为，
则．
7.若函数的零点为，则满足的最大整数．
8.已知函数(为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是
．
9.已知中，，，边上的中线所在直线方程分别为和，则边所在直线方程为．
10.已知,函数，若，则实数的值为______.
11.设，且，则的最小值为．
12.已知二次函数的值域是，则的最小值是 .
13.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，
，则不等式的解集为．
二、解答题
1.已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
2.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，
平面，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若是的中点，求三棱锥的体积.
3.设在中，角、、的对边分别为、、，且．
（1）求的值；
（2）若，求及的值.
4.如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件，设梯形部件
的面积为平方米.
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设(米)，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式.
（2）求梯形部件面积的最大值．
5.已知函数，，且在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调递增区间.
6.已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数，使得．
江苏高三高中数学月考试卷答案及解析
一、填空题
1.已知全集，集合，，则．
【答案】.
【解析】由题意得：，∴.
【考点】集合的运算.
2.已知，且，则＝．
【答案】.
【解析】∵，∴，.
【考点】同角三角函数的基本关系.
3.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则．
【答案】.
【解析】∵等比数列公比为，∴，
又∵，∴.
【考点】等比数列的通项公式.
4.函数的最小正周期是．
【答案】.
【解析】∵，∴.
【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的周期性.
5.不等式的解集为．
【答案】.
【解析】，∴不等式的解集是.
【考点】解不等式.
6.设函数的图象过点，且在点处的切线方程为，
则．
【答案】.
【解析】由题意得：，∵，
∴，而，∴.
【考点】导数的运用.
7.若函数的零点为，则满足的最大整数．
【答案】.
【解析】令，则，，∴由零点存在定理可知在
上至少存在一零点，再由在上单调递增可知零点的唯一性，
∴，∴满足不等式的最大整数.
【考点】零点存在定理.
8.已知函数(为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是
．
【答案】.
【解析】∵，∴在上单调递增，在上单调递减，
又∵在区间上是增函数，∴，即实数的取值范围是.
【考点】1.分类讨论的数学思想；2.函数的单调性.
9.已知中，，，边上的中线所在直线方程分别为和，则边所在直
线方程为．
【答案】.
【解析】由题意，可设，∴中点坐标为，又∵边上的中线所在直线为，∴
，∴，同理可得，∴所在的直线方程为.
【考点】1.直线的方程；2.中点坐标公式.
10.已知,函数，若，则实数的值为______.
【答案】或.
【解析】若：则，，
∴，若：则，，
∴.
【考点】1.分类讨论的数学思想；2.分段函数的函数值.
11.设，且，则的最小值为．
【答案】.
【解析】∵，∴，又∵，，∴，
∴，∴.
【考点】二次函数的性质.
12.已知二次函数的值域是，则的最小值是 .
【答案】.
【解析】由题意得：，，∴，
当且仅当时，等号成立.
【考点】1.二次函数的性质；2.基本不等式求最值.
13.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，
，则不等式的解集为．
【答案】.
【解析】令，∴，∴在上单调递减，又∵
是偶函数，∴，∴，
∴，即不等式的解集为.
【考点】利用导数判断函数单调性.
二、解答题
1.已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为；（2）.
【解析】（1）首先利用二倍角公式以及辅助角公式将的表达式化简为形如的形式：
，即可得到其最小正周期，再由正弦函数的单调性，即可得到的单调递增区间为；（2）分析题意可知，问题等价于解不等式，而由再由（1）可得，从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）∵， 3分
∴函数的最小正周期是， 5分
令，
解得，∴函数的单调递增区间为； 8分
（2）∵，∴，， 12分
又∵恒成立，∴只需恒成立，∴的取值范围为. 14分
【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的单调性；3.恒成立问题.
2.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，
平面，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若是的中点，求三棱锥的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）根据线面平行的判定，只需证明直线与平面上的某一条直线平行即可，而条件中直接给出了，因此结合线面平行的判定，可直接证明平面；（2）首先根据条件中给出的数据易得，从而根据勾股定理可得，再由条件平面可得，从而根据线面垂直的判定即可证得平面；（3）由是即可得到面的距离是到面距离的一半，从
而.
试题解析：（1）∵，且平面，平面，∴平面； 4分
（2）在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形，
∴，又∵，∴，在中，，
∴，，∴，则，
∴，∴， 8分
又∵平面，∴，，∴平面； 10分
（3）∵是中点，∴到面的距离是到面距离的一半，
∴. 14分
【考点】利用导数考查函数的单调性.
3.设在中，角、、的对边分别为、、，且．
（1）求的值；
（2）若，求及的值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）首先利用正弦定理将条件中给出的等式进行边角的转化，将其统一为内角满足的式子，再利用三角恒等变形化简：
；（2）首先由（1）可以得到与满足的一个方程，再利用中，
可得第二个与满足的方程，从而联立方程组可解得，.
试题解析：（1）∵，∴， 2分
∵为三角形内角，∴，∴，
∵，∴，∴， 4分
∵，∴，
∴，
又∵，∴； 7分
（2）∵，∴， 9分
∵，∴．
∴，整理得， 12分
解得，，， 14分
【考点】1.正弦定理；2.三角恒等变形.
4.如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件，设梯形部件
的面积为平方米.
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设(米)，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式.
（2）求梯形部件面积的最大值．
【答案】（1）①，②；（2）的最大值是.
【解析】（1）①利用等腰梯形的性质结合勾股定理可以将等腰梯形的腰用含的代数式表示出来，从而可得与
的函数关系式：，②：仿照（1）中的作法，将相关线段长度用含的代数式表示出来即可：；（2）
根据（1）可得，问题等价于求（1）中所得的函数解析式的最大值，选择②中求得的函数解析式，考虑利用导数判断其单调性来求其最值：
，
令，得，即，(舍)，
∴当时，，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减，∴当时，.
试题解析：（1）①∵，∴，，
∴， 4分
②∵，∴，
∴， 8分
（说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分）
（2），
10分
令，得，即，(舍)， 12分
∴当时，，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递
减， 14分∴当时，， 16分
答：梯形部件面积的最大值为平方米．
【考点】1.三角函数的运用；2.三角函数求最值.
5.已知函数，，且在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调递增区间.
【答案】（1）；
（2）①若，则，即的单调递增区间为，
②若，当，无单调增区间，当，的单调递增区间为，当，的单调递增区间为.
【解析】（1）利用导数求的切线方程，从而条件在点处的切线方程为可以
得到，即，从而，，；（2），求导后
可得，因此若利用导数来判断的单调递增区间，需要对的取值
情况进行分类讨论：①若，则，即的单调递增区间为，②若，（*）式等价于
，
当，则，无解，即无单调增区间，当，则，即的单调递增区间为
，当，则，即的单调递增区间为.
试题解析：（1），由条件，得，即，∴，，
∴；（2）由，其定义域为，
，令，得（*），
①若，则，即的单调递增区间为，②若，（*）式等价于，
当，则，无解，即无单调增区间，当，则，即的单调递增区间为
，当，则，即的单调递增区间为．
【考点】1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想.
6.已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数，使得．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）首先根据条件前项成等差数列可以将，用公差的代数式表示，再由条件从第项起依次成等比数列可以得到关于公差的方程：，从而解得或（舍去），即可得数列的通项公式为；（2）考虑到（1）中求得数列的分段性，因此首先可验证或时符合题
意，或时不合题意，接下来只需说明当，条件给出的方程无解即可：
，
若，则，∴，而这是不可能成立的，从而得证.
试题解析：（1）设数列前项的公差为，则，(为整数)
又∵，，成等比数列，∴，即，得或（舍去）， 4 分
当时，， 6 分∴，，数列从第项起构成的等比数列的公比为，
∴当时，，故， 8分
（2）由（1）知，当时等式成立，即，
当时等式成立，即， 10分当或时等式不成立， 12分
当时，，
若，则，∴， 14分，，从而方程无解，∴ . 故所求或． 16分
【考点】1.等差等比数列的通项公式与性质；2.数列与方程不等式相结合.。