高考数学试题解析 分项版之专题03 函数与导数 教师版 文

2012年高考数学试题解析 分项版之专题03 函数与导数 教师版 文
一、选择题:
1.(2012年高考山东卷文科3)函数2
1
(
)4ln(1)
f x x x =
+-+的定义域为
(A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]-
【答案】B
【解析】要使函数有意义则有⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≠+>+040)1ln(012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠->2
201
x x x ，即01<<-x 或20≤<x ，
选B.
2.(2012年高考山东卷文科10)函数cos622x x
x
y -=
-的图象大致为
3.(2012年高考山东卷文科12)设函数1
()f x x
=
，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是
(A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+< (C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<
【答案】B
【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图
4.（2012年高考辽宁卷文科8）函数y=
12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞）
5. （2012年高考新课标全国卷文科11）当0<x ≤12时，4x
<log a x ，则a 的取值范围是
（A ）(0，
22) （B ）(2
2
，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【答案】B
【解析】当1>a 时，显然不成立.若10<<a 时当2
1
=
x 时，
2442
1==，此时对数22
1
log =a
，解得22=a ，根据对数的图象和性质可知，要使x a x log 4<在2
1
0≤
<x 时恒成立，则有122<<a ，如图选B. 6．(2012年高考北京卷文科5)函数x
x x f )2
1()(2
1-=的零点个数为 （A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3
7 . (2012年高考广东卷文科4) 下列函数为偶函数的是 A y=sinx B y=3
x C y=x
e D y=ln 21x +
【答案】D
【解析】观察可得:四个选项的定义域均为R,且只有函数y=ln 21x +是偶函数,故选D. 【考点定位】本题考查函数的性质(奇偶性),属基础题.
8.(2012年高考四川卷文科4)函数(0,1)x
y a a a a =->≠的图象可能是（ ）
【答案】C
【解析】采用特殊值验证法. 函数(0,1)x
y a a a a =->≠恒过（1,0），只有C 选项符合. 【考点定位】函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.
9. (2012年高考浙江卷文科10)设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数
A. 若e a +2a=e b
+3b ，则a ＞b
B. 若e a +2a=e b
+3b ，则a ＜b
C. 若e a -2a=e b
-3b ，则a ＞b
D. 若e a -2a=e b
-3b ，则a ＜b
10. (2012年高考湖北卷文科3) 函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】D
【解析】令f(x)=xcos2x=0得:0x =或2,2
x k k z π
π=+
∈,解得0x =或,24
k x k z ππ
=
+∈,因为x ∈[0,2π],所以0x =、4
π、34π、54π、74π
，故函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]
上的零点有5个，故选D.
【考点定位】本小题考查函数的零点求解.函数的零点即方程()0f x =的根,是高考的热点
问题之一,年年必考,掌握求函数零点的几种方法(解方程法、画图象法等).
11．(2012年高考湖北卷文科6)已知定义在区间（0，2）上的函数y=f(x)的图像如图所示，则y=-f(2-x)的图像为( )
12.（2012年高考安徽卷文科3）23(log 9)(log 4)⋅=（ ）
（A ）
14 （B ）1
2
（C ） 2 （D ）4
13 . (2012年高考湖南卷文科7)设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①
c a ＞c b
；② c a ＜c
b ； ③ log ()log ()b a a
c b c ->-， 其中所有的正确结论的序号是__.
A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③
14. (2012年高考湖南卷文科9)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，
()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠
2
π
时 ，()()02
x f x π
'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为
A .2
B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ
【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠
2
π
时 ，()()02x f x π'->，知
0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤
'∈> ⎥⎝⎦
，时,为增函数
又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.
【考点定位】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.
15.(2012年高考重庆卷文科7)已知2
2
log3log3
a=+，2
2
log9log3
b=-，3
log2
c=则a,b,c的大小关系是
（A）a b c
=<（B）a b c
=>（C）a b c
<<（D）a b c
>>
16.(2012年高考重庆卷文科8)设函数()
f x在R上可导，其导函数()
f x
'，且函数()
f x在
2
x=-处取得极小值，则函数()
y xf x
'
=的图象可能是
【答案】：C
【解析】：由函数()
f x在2
x=-处取得极小值可知2
x<-，()0
f x
'<，则()0
xf x
'>；
2
x>-，()0
f x
'>则20
x
-<<时()0
xf x
'<，0
x>时()0
xf x
'>
【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．
x
y
o
2π
2π
-
1
1-
sin
y x
=
()
y f x
=
18. (2012年高考天津卷文科6)下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为
（A ） y=cos2x ，x ∈R
（B ） y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0 （C ） y=
2
x
x
e e --，x ∈R
（D ） y=x3+1，x ∈R
19. (2012年高考福建卷文科9)设,则
f(g(π))的值为
A 1
B 0
C -1
D .π 【解析】因为g （π）=0 所以f （g （π））=f （0）=0 。

B 正确 【答案】B
【考点定位】该题主要考查函数的概念，定义域和值域，考查求值计算能力。

20.(2012年高考全国卷文科2)函数1(1)y x x =
+≥-的反函数为
（A ）)0(12
≥-=x x y （B ）)1(12
≥-=x x y
（C ）)0(12
≥+=x x y （D ）)1(12
≥+=x x y
【答案】B
【解析】 因为1-≥x 所以01≥+=
x y .由1+=
x y 得，21y x =+，所以12-=y x ，
所以反函数为)0(12
≥-=x x y ，选A.
21.(2012年高考全国卷文科11)已知ln x π=，5log 2y =，1
2
z e
-=，则
（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<
【答案】D
【解析】1ln >=πx ，
215log 12log 25<==y
，e e z 1
21
==-，112
1<<
e ，所以x z y <<，选D.
22. (2012年高考陕西卷文科2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A 1y x =+ B 2
y x =- C 1
y x
=
D ||y x x = 23. (2012年高考陕西卷文科9)设函数f （x ）=
2
x
+lnx 则 （ D ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=1
2
为f(x)的极小值点
C ．x=2为 f(x)的极大值点
D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D
【考点定位】本题主要考察利用导数求函数的极值点，是导数在函数中的基本应用.
24. (2012年高考江西卷文科3)设函数211()21x x f x x x
⎧+≤⎪
=⎨>⎪
⎩，则f （f （3））=
A.
15 B.3 C. 23 D. 139
25. (2012年高考江西卷文科10)如右图，OA=2（单位：m ）,OB=1(单位：m),OA 与OB 的夹角为
6
π，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧¼BDC 与线段OA 延长线交与点C.甲。

乙两质点同时从点O 出发，甲先以速度1（单位:ms ）沿线段OB 行至点B ，再以速度3（单位：ms ）沿圆
弧¼BDC
行至点C 后停止，乙以速率2（单位：m/s ）沿线段OA 行至A 点后停止。

设t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S （t ）（S （0）=0），则函数y=S （t ）的图像大致是
【答案】A 二、填空题:
26. (2012年高考广东卷文科11)函数1
x y x
+=
的定义域为__________。

27.（2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】34-=x y
【解析】函数的导数为4ln 33
1ln 3)('+=⨯
++=x x
x x x f ，所以在)1,1(的切线斜率为 4=k ，所以切线方程为)1(41-=-x y ，即34-=x y .
28.（2012年高考新课标全国卷文科16）设函数f (x )=(x +1)2
+sin x
x 2+1
的最大值为M ，最小值为
m ，则M+m =____
29．(2012年高考北京卷文科12)已知函数x x f lg )(=，若1)(=ab f ，则
=+)()(22b f a f _____________。

【答案】2
【解析】因为x x f lg )(=，1)(=ab f ，所以1lg =ab ， 所以2lg 2lg lg lg )()(2
22
2
2
2
===+=+ab b a b a b f a f 。

30．(2012年高考北京卷文科14)已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x
x g ，若
R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ，则m 的取值范围是_________。

31.(2012年高考山东卷文科15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿.
32.（2012年高考安徽卷文科13）若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[)+∞,3，则
a =________. 【答案】6-
【解析】由题可知要使函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[)+∞,3，则32
a
-
=，解得6a =-。

【考点定位】考查函数性质单调性.
33. (2012年高考浙江卷文科16) 设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x
∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则
3 f
2
（）=_______________。

34.（2012年高考江苏卷5）函数
6
()12log
f x x
=-的定义域为▲．
35.（2012年高考江苏卷10）设()
f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]
-，上，
1
11
()2
1
x
x
ax
f x bx
x
<
+-
⎧
⎪
=+
⎨
⎪+
⎩
≤
≤≤
，，
，，
其中a b∈R
，．若
13
22
f f
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，则3
a b
+的值为▲．【答案】10
- .
【解析】因为
13
22
f f
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，函数()
f x的周期为2，所以
)
2
1
(
)2
2
3
(
)
2
1
(-
=
-
=f
f
f，根据
1
11
()2
1
x
x
ax
f x bx
x
<
+-
⎧
⎪
=+
⎨
⎪+
⎩
≤
≤≤
，，
，，
得到2
2
3-
=
+b
a，
又)1
(
)1(-
=f
f，得到0
2
,
2
2
1=
+
+
=
+
-b
a
b
a即，结合上面的式子解得4
,2-
=
=b
a，所以10
3-
=
+b
a.
【考点定位】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的
周期性将式子化简为)
2
1
(
)2
2
3
(
)
2
1
(-
=
-
=f
f
f然后借助于分段函数的解析式解决.属于
中档题，难度适中.
36. (2012年高考上海卷文科6)方程1
4230
x x+
--=的解是 .
【答案】3
log
2
【解析】根据方程0
3
2
41=
-
-+x
x，化简得0
3
2
2
)
2(2=
-
⋅
-x
x，令()
20
x t t
=>，
则原方程可化为0322
=--t t ，解得 3=t 或()
舍1-=t ，即3log ,322==x x
.所以原方
程的解为3log 2 .
【考点定位】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.
37. (2012年高考上海卷文科9)已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -
=
.
38. (2012年高考上海卷文科13)已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、
1
(,1)2
B 、(1,0)
C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 .
从而得到⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==1
21,222
10,2)(22
x x x x x x xf y π所以围成的面积为
4
1
)22(21
2
1221
=
+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41 .
【考点定位】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.
39.(2012年高考重庆卷文科12)函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数，则实数a =
40.(2012年高考天津卷文科14)已知函数211
x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个
交点，则实数k 的取值范围是 .
41. (2012年高考福建卷文科12)已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
42.(2012年高考四川卷文科13)函数1
()12f x x
=-的定义域是____________.（用区间表示）
43. (2012年高考陕西卷文科11) 设函数发f （x ）=，则f （f （-4））= 4
三、解答题:
44.(2012年高考山东卷文科22) (本小题满分13分) 已知函数ln ()(e
x
x k
f x k +=
为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.
(Ⅰ)求k 的值；
(Ⅱ)求()f x 的单调区间；
(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+. 【解析】(I)1
ln ()e x
x k x f x --'=，
由已知，1(1)0e
k
f -'=
=，∴1k =. (II)由(I)知，1
ln 1()e x
x x f x --'=.
设1()ln 1k x x x =
--，则211
()0k x x x
'=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，
由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>， 当1x >时()0k x <，从而()0f x '<.
综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.
45. (2012年高考浙江卷文科21)（本题满分15分）已知a ∈R ，函数3
()42f x x ax a =-+ （1）求f(x)的单调区间
（2）证明：当0≤x ≤1时，f(x)+ 2a -＞0.
(2)由于01x ≤≤，当2a ≤时，33
()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时，3
3
3
()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.
设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2
33()626()()g x x x x '=-=-+. 则有 x
30,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
3
3
3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
1
()g x '
- 0 + ()g x
1
减
极小值
增
1
所以min 343()(
)1039
g x g ==->.
46. (2012年高考广东卷文科21)（本小题满分14分）
设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2
{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =I .
（1）求集合D （用区间表示）
（2）求函数3
2
()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.
② 当
1
13
a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B ==I (0,)+∞ 综上所述，当1
03
a <≤时，
D =22339309339309
(0,
()44
a a a a a a +--+++-++∞U ； 当
1
13
a <<时，D =(0,)+∞
（2）2
()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =
② 当
1
13
a <<时，由（1）知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
x (0,)a a
(,1)a
1
(1,)+∞ ()f x ' +
0 -
0 +
()f x
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =
47. (2012年高考湖南卷文科22)（本小题满分13分）
已知函数f(x)=e x
-ax ，其中a ＞0.
（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈（x 1,x 2）,使
0()f x k '=恒成立.
从而21
21()10x x e
x x ---->，12
12()10,x x e
x x ---->又1210,x e x x >-2
21
0,x e x x >-
所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>
因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在
012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.
48．(2012年高考重庆卷文科17)（本小题满分13分）已知函数3
()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -
（1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 3()12f x x x c =-+，2
()312f x x '=-
令()0f x '= ，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；
当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.
由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值
(2)16f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时
(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=，(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值
为(2)4f =-.
【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '==0，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（1）根据函数
()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a ，b 的值，再令导数等于0，
求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极
小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．
49.（2012年高考安徽卷文科17）（本小题满分12分） 设定义在（0，+∞）上的函数1
()(0)f x ax b a ax
=++> （Ⅰ）求()f x 的最小值；
(Ⅱ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3
2
y x =
，求,a b 的值。

50. (2012年高考湖北卷文科22)（本小题满分14分）
设函数，n 为正整数，a,b 为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1. （1）求a,b 的值；
（2）求函数f(x)的最大值 （3）证明：f(x)<
1ne
.
(2)由(1)知,1
()(1)n
n
n f x x x x x
+=-=-,'1
()(1)(
)1
n n
f x n x
x n -=+-+, 令'()0f x =,解得1n x n =+,即'
()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点1
n n x n =+,
在(0,
)1n
n +上, '()0f x >,故()f x 单调递增; 在(,)1
n
n +∞+上, '()0f x <,故()f x 单调递减, 所以函数f(x) 的最大值为()1n f n =+1
(1)n n n n ++.
(3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则'22111()(0)t t t t t t
ϕ-=-=>, 在(0,1)上,'()0t ϕ<,故()t ϕ单调递减;在(1,)+∞上, '()0t ϕ>,故()t ϕ单调递增,
所以()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0t ϕ>,
【考点定位】本小题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最大值、证明不等式等问题,考查同学们分析问题和解决问题的能力.
51. （2012年高考新课标全国卷文科18）（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N）的函数解析式.
日需求量n 14
15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10
(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.
52.（2012年高考新课标全国卷文科21）（本小题满分12分）
设函数f(x)= e x－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值
53. (2012年高考福建卷文科22)（本小题满分14分）
已知函数
3
()sin(),
2
f x ax x a R
=-∈且在]
2
,0[
π
上的最大值为
3
2
π-
，
（1）求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

由（1）知f（x）=
3
x sin x-
2
，f（0）=-
3
2
<0，f（
2
π
）=
-3
2
π
>0，
【答案】（1）f （x ）=3x sin x-2
；（2）2个零点 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想。

54．(2012年高考北京卷文科18)（本小题共13分）
已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b 的值； 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围。

55.(2012年高考天津卷文科20)（本小题满分14分）
已知函数a ax x a x x f ---+=232131)(，x 其中a>0.
（I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；
（III ）当a=1时，设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为M （t ），最小值为m （t ）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[--上的最小值。

56. （2012年高考江苏卷17）（本小题满分14分）
如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某
炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20
y kx k x k =-
+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
x （千米） y （千米）
O （第17题）
【考点定位】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中．
57．（2012年高考江苏卷18）（本小题满分16分）
已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；
（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．
【解析】（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++, ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，
∴ (1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，.
（2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ，
∴()()2
3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1
=2x x x -，. ∵当2x <-时，()0g x <'；当21<x <-时，()0g x >'，
∴=2x -是()g x 的极值点.
∵当21<x <-或1x >时，()0g x >'，∴ =1x 不是()g x 的极值点, ∴()g x 的极值点是－2.
③ 当()1
1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数, 又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，
∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根. 因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，
；当2d < 时 ()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，
. 现考虑函数()y h x =的零点：
【考点定位】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大．
58.（2012年高考辽宁卷文科21）(本小题满分12分) 设()ln 1f x x x =+-，证明：
(Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤ 3
2（ 1x -）
(Ⅱ)当13x <<时，9(1)
()5x f x x -<+
【解析】
【考点定位】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大.
59.(2012年高考四川卷文科22) (本小题满分14分) 已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线2
2n
a y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。

（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；
（Ⅱ）求对所有n 都有()1()11
f n n f n n -≥++成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a <<时，比较
111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n ++⋅⋅⋅+---与 )
1()0()1()1(6f f n f f -+-⋅的大小，并说明理由。

【解析】（1）由已知得，交点A 的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2a n ，对x y y a x n 221'2-=+-=求导得
则抛物线在点A 处的切线方程为：
a a
a a a n n n
n
n n f x y x y =+-=--=)(.2),2(2则即 ………………4分 (3)由（1）知f(k)=k a
下面证明：)1()0()1()1(.6)2()(1)4()2(1)2()1(1f f n f f n f n f f f f f -+->-+⋯+-+- 首先证明0<x<1时，x x x 61
2>-
由0<a<1知从而因此,61
),(102*k k k k a k a a N a >-∈<<
n n a
a a a a a n f n f f f f f 2422111)
2()(1)4()2(1)2()1(1-⋯+-+-=-+⋯+-+-
分14)1()0()1()1(616)(61
2ΛΛΛΛΛΛf f n f f n a a a a a n n -+-⨯=--⨯=+⋯++>+
60.(2012年高考全国卷文科21)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数ax x x x f ++=233
1)( （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设()f x 有两个极值点21,x x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值。

【解析】
61. (2012年高考陕西卷文科21)（本小题满分14分）
设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈
（1）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
内存在唯一的零点； （2）设n 为偶数，(1)1f -≤，(1)1f ≤，求b+3c 的最小值和最大值；
（3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；
111,1,2()1,1111()(1)(
)10,()1.2222
111()10,()122
1()1.2
n n n b c n f x x x f f f x x f x nx f x f x -==-≥=+-=-⨯<∴'∈=+>∴∴Q Q 解：（）当时，在（，）内有零点又当（，）,在区间（，）内单调递增，在（，）内有唯一的零点1(1)1,0221(1)1,20.
3(0,203f b c f b c b c b c -≤-≤≤-≤⎧⎧∴⎨⎨-≤≤-≤+≤⎩⎩+-+（）依题意知画出可行域得知在点处取得最小值-6.
在点（0,0）处取得最大值0，因而的最小值-6，
最大值0.
【考点定位】本题综合考察函数与导数，函数与方程，导数应用以及恒成立问题.考察分析问题解决问题的能力，推理论证的能力，运算能力等.
62. (2012年高考江西卷文科21)（本小题满分14分）
已知函数f(x)=（ax 2+bx+c ）e x
在[]0,1上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0. （1）求a 的取值范围；
（2）设g(x)= f(-x)- f ′(x)，求g(x)在[]0,1上的最大值和最小值。

【解析】（1）(0)1f c ==，(1)()0,1f a b c e a b =++=+=-，
63. (2012年高考上海卷文科20)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知()lg(1)f x x =+.
（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；
（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数.
【解析】
【考点定位】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．
64. (2012年高考上海卷文科21)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249
y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .
（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
【解析】
【考点定位】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．。