2016届高考数学理一轮复习(山东专版)课后作业第8章平面解析几何第5节椭圆

课后限时自测
A 级 基础达标练
一、选择题
1．直线x －2y ＋2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A .255
B .55
C .23
D .12
[解析] 直线与坐标轴的交点为(－2，0)，(0，1)，c ＝2，b ＝1，∴a ＝5，∴e ＝25
5.
[答案] A
2．(2015·济南质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1
2，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
A .x 24＋y 2
3＝1 B .x 216＋y 2
12＝1 C .x 24＋y 2
＝1
D .x 216＋y 2
4＝1
[解析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2. 又e ＝c a ＝1
2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 因此椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
[答案] A
3．(2014·大纲全国卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3
3，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )
A .x 23＋y 2
2＝1 B .x 23＋y 2
＝1 C .x 212＋y 2
8＝1
D .x 212＋y 2
4＝1
[解析] 由e ＝33得c a ＝3
3①.
又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，
代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y
22＝1.
[答案] A
4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a
2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )
A .12
B .23
C .34
D .45
[解析] 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°. 设x ＝3
2a 与x 轴交于M 点， 在Rt △PF 2M 中，∠F 2PM ＝30°，
∴|PF 2|＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫32a －c ＝3a －2c. ∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|， ∴3a －2c ＝2c ， ∴e ＝c a ＝3
4. [答案] C
5．(2015·青岛调研)已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
3＝1的左焦点为F(－c ，0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )
A .3
4 B ．1 C ．2 D ．4
[解析] 圆M 的方程可化为(x ＋m)2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m<0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1，0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ， 又∵直线l 与圆M 相切， ∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2. [答案] C 二、填空题
6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率是1
2，焦距是8，则该椭圆的方程为________．
[解析] 由题意知c a ＝1
2，c ＝4， ∴a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48， ∴椭圆方程为y 264＋x 2
48＝1. [答案] y 264＋x 2
48＝1
7．(2015·泰安质检)设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 2
24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．
[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.
∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1
2×8×6＝24. [答案] 24
8．(2014·江西高考)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2
a 2
＋y 2
b 2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
[解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，
x 22a 2＋y 22b 2＝1，
∴（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）
b 2
＝0，
∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2
. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－1
2，∴a 2＝2b 2. 又∵b 2＝a 2－c 2，
∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝2
2. [答案] 2
2 三、解答题
9．如图8-5-2所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．
图8-5-2
[解] (1)∵|AF 1|＝|AF 2|＝a ， 且∠F 1AF 2＝90°，|F 1F 2|＝2c ， ∴2a 2
＝4c 2
，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝2
2.
(2)由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)，
由AF 2→＝2F 2
B →，解得x ＝32，y ＝－b 2， 代入x 2a 2＋y 2
b 2＝1，得94a 2＋b 2
4b 2＝1， 即94a 2＋1
4＝1，解得a 2＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝2.
所以椭圆方程为x 23＋y 2
2＝1.
10．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝3
5，求椭圆E 的离心率．
[解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B|，|AB|＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B|＝1. 因为△ABF 2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.
(2)设|F 1B|＝k ，则k>0且|AF 1|＝3k ，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得
|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k. 在△ABF 2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，
即(4k)2＝(2a －3k)2＋(2a －k)2－6
5(2a －3k)·(2a －k)， 化简可得(a ＋k)(a －3k)＝0， 而a ＋k>0，故a ＝3k.
于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k. 因此|BF 2|2＝|F 2A|2＋|AB|2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形．
从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.
[B 级 能力提升练]
1．(2015·潍坊调研)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝1
2，右焦点为F(c ，0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P(x 1，x 2)到原点的距离为( )
A . 2
B .72
C ．2
D .74
[解析] 因为e ＝c a ＝1
2，所以a ＝2c ， 又a 2
＝b 2
＋c 2
，得b a ＝3
2.
于是x 1＋x 2＝－2b a ＝－3，x 1x 2＝c a ＝1
2， 点P(x 1，x 2)到原点(0，0)的距离为d ＝x 12＋x 22 ＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝ 2. [答案] A
2．(2013·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
[解析] 由方程y ＝3(x ＋c)知∠MF 1F 2＝60°.
又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，
所以∠MF 2F 1＝30°，则MF 1⊥MF 2. 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，
所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a.即e ＝c
a ＝3－1. [答案]
3－1
3．(2014·四川高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为63.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．
[解] (1)由已知可得，c a ＝6
3，c ＝2，所以a ＝ 6. 又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2
2＝1.
(2)设T 点的坐标为(－3，m)，由直线TF 的斜率k TF ＝
m －0
－3－（－2）＝－m.
当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1
m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.
当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，
得⎩⎨⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，
消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0. 所以y 1＋y 2＝4m
m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，
x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝－12
m 2＋3
.
因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →， 即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2)．
所以⎩
⎨⎧x 1＋x 2＝－12
m 2＋3
＝－3，
y 1＋y 2＝4m
m 2＋3
＝m ，
解得m ＝±1.
则S 四边形OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×1
2·|OF|·|y 1－y 2| ＝2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝2 3.。