一、集合与常用逻辑用语

一、集合与常用逻辑用语
1.研究集合问题时：要充分注意集合中元素是什么？是否有空集∅？
例如：{}x y x ln |=，{}x y y ln |=，{}x y y x ln |),(=，
2.还记得下列结论么？
（1）含n （*∈N n ）个元素的集合的子集个数为n 2，真子集个数为12-n 个，非空
真子集个数为22-n 个；
（2）B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ ，充要条件问题？？
（3）B C A C B A C U U U =)(，B C A C B A C U U U =)(
3.牢记数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能的借助数轴、直角坐标系或
Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决.
例1. 设{}
0158|2=+-=x x x A ，{}01|=-=ax x B ，若B B A = ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？
解：a 组成的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧51,31,0子集共有32个
练习1：已知集合{}04|2=+=x x x A ，{}
01)1(2|22=-+++=a x a x x B ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围.（{}11|-≤=a a a 或
4.判断一个语句是否为命题，关键要看能否判断其真假，是否为陈述句。

5.原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等假命题，一真俱真，一假俱
假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假.
6.判断充分性和必要性的三种方法还记得吗？
（1）定义法；
（2）集合关系判断法；
（3）等价法.
例2. 若条件p ：2|1|≤+x ，条件q ：0322<--x x ，则p ⌝是q ⌝的a
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.已知p ：2|3
11|≤--x ，q ：01222≤-+-m x x （0>m ）.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
练习2. 命题“R x ∈∃0，使04020<-+a ax x 为假命题”是命题“016≤≤-a ”的a
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件（否定形式为真） 常思一二 不想八九
7.含有一个量词的命题的否定形式，注意量词如何对应变化，注意区分否命题与命题的
否定形式.
二、函数与导数
8.你理解函数、映射概念的本质了吗？要确定两个函数为同一函数，必须确定函数三要
素中的那俩个？
9.求解与函数（具体与抽象）有关问题，如：求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等
式等，你养成优先考虑定义域的习惯了吗？
10.判断函数奇偶性时，首先要检验函数定义域是否关于原点对称，如果不对称，就一定
是非奇非偶函数，如果对称，再用定义判断. 奇函数0)0(=f 你知道吗？
11.求函数单调区间时，你是否很随意的在多个单调区间之间添加符号“ ”和“或”？ 其实只能用逗号隔开；你是否很随意的单调区间用集合或不等式表示，其实必须用区间，
其他表示法不对.
12.［函数的单调性］
（1）你掌握了函数单调性的定义如下变形了吗？
设],[,21b a x x ∈，21x x <，那么
①⇔>--0)]()()[(2121x f x f x x 0)()(2
121>--x x x f x f ⇔)(x f 在],[b a 上是增函数； ②⇔
<--0)]()()[(2121x f x f x x 0)()(2121<--x x x f x f ⇔)(x f 在],[b a 上是减函数； （2）掌握了判断函数单调性的几种方法：定义探索法，导数法，复合函数法，能恰当
应用吗？
例3.若定义在R 上的函数)(x f 满足：R x x ∈21,（21x x ≠），有
0)()(1212<--x x x f x f ，则d
A. )1()2()3(f f f <-<
B. )3()2()1(f f f <-<
C. )3()1()3(f f f <<-
D. )2()1()3(-<<f f f
[补充]＊＊＊＊＊
已知函数)(x f 是R 上的偶函数，对于R x ∈ 都有)3()()6(f x f x f +=+，当1x ，]3,0[2∈x ，且21x x ≠时，都有0)()(2
121>--x x x f x f ，则函数)(x f 在]9,9[-上的零点的个数时
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
13.函数图象的对称性
（1）能明辨函数图象自身对称性与两个函数图象之间的对称性吗？
（2）掌握了函数图象自身对称性与函数周期性之间的联系了吗？
（3）熟悉下列结论吗？
①函数)(x f y =满足：)()(x T f T x f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =
的图象关于直线T x =对称；
②函数)(x f y =满足：)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的
图象关于直线T x =对称；
③函数)(x f y =满足：)()(x b f x a f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y = 的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=
对称； （4）你会推周期吗？
①函数)(x f y =满足：)()(T x f T x f -=+（T 为常数）)(x f y =周期为T 2； ② 函数)(x f y =满足：)()(x f T x f -=+（T 为常数）)(x f y =的周期为T 2； ③函数)(x f y =是偶函数（或奇函数），且)()(x T f T x f -=+（T 为常数），则
可以推出)(x f y =的的周期；
例4.设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题：
① 若)(x f y =是奇函数且满足0)2()(=++-x f x f ，则4是)(x f y =的周期； ② 若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于直线2=x 对称；
③ 若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称；
④ 函数)2(-=x f y 与)2(x f y -=的图象关于直线2=x 对称.
其中正确的命题的序号是 ①②④.
14.掌握了二次函数三种形式了吗？能熟练对二次函数在区间上求最值的斯种情形：①定轴定区间；②定轴动区间；③动轴定区间；④动轴动区间，进行求解么？
15.函数c bx ax y ++=2不一定十次函数，要分类讨论a 的取值范围，注意三个二次（一元二次方程、一元二次不等式、二次函数）之间的关系。

16.掌握了求函数的值域和最值的哪些方法？能恰当运用吗？
例5.设函数a x ax x f -+=22
1)(的定义域为]2,2[，记函数)(x f y =的最大值为)(a g ，求)(a g 的表达式.
解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=,2,212,2)(2a a a a g 2
221222
1-<-≤≤-->a a a ， 17.认识下面几个常见的抽象函数原形吗？
（1）正比例函数cx x f =)(（0≠c ）⇔)()()(y f x f y x f +=+，c f =)1(；
（2）指数函数x a x f =)(（0>a 且1≠a ）⇔)()()(y f x f y x f ⋅=+，a f =)1(；
（3）对数函数x x f a log )(=（0>a 且1≠a ）⇔)()()(y f x f xy f +=，0)1(=f ，1)(=a f ；
（4）幂函数α
x x f =)(⇔)()()(y f x f xy f ⋅=，1)1(=f ；
（5）余弦函数x x f cos )(=，正弦函数x x g sin )(= ⇔)()()()()(y g x g y f x f y x f +⋅=-；
练习：给出下列四个函数图像：
a b c d
它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的至少一条：
① 对任意实数y x ,都有)()()(y f x f xy f =成立； ② 对任意实数y x ,都有)()
()(y f x f y x f =+成立； ③ 对任意实数y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+成立；
④ 对任意实数y x ,都有)()1()2(x f x f x f -+=+成立；
则下列对应关系最恰当的是
A. a 和①，d 和②，c 和③，b 和④
B. c 和①，b 和②，a 和③，d 和④
C. c 和①，d 和②，a 和③，b 和④
D. b 和①，c 和②，a 和③，d 和④
18.是否掌握了指数函数和对数函数的图象和性质？在解指数函数、对数函数的问题的过程
中，有没有养成注意底数的意识？还记得指数、对数是互逆的两个运算，
同底的指数、
对数函数互为反函数么？对数的换底公式，常说对数值：“同范围正，异范围负”是指什么？
19. 能熟练运用三种形式的函数图象变换（平移、伸缩、对称）规律画图和进行图象变换？
20.函数的零点不是一个点，而是函数图象与x 交点的横坐标.
21.函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点),(00y x P 处切线的
斜率，即)(0x f k '=。

解题中注意区分“在某一点处的切线”与“过某点引切线”之间的区别。

22导函数符号与原函数单调性之间的关系应熟练掌握。

对于函数)(x f y =，D x ∈，)(x f y '=是其导函数，有如下关系：
①“0)()(<>'x f ”是“函数)(x f y =在区间D 内单调递增（减）”的充分不必要条件；
②“0)(≥'x f ”是“函数)(x f y =在区间D 内单调递增”的必要不充分条件。

例6.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边，),2(b c a m +=，)cos ,(cos C B n =，且0=⋅.
（1）求角B 的大小；
（2）设函数x C A x x x f 2cos 2
3)cos(cos sin 2)(⋅-+⋅⋅=，求函数)(x f 的最小正周期，最大值及当)(x f y =取得最大值时x 的值.。