笔记(高考数学—“放缩法”证明不等式)

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n
12、迭代放缩 1 例 26. 设 S sin 1! sin 2! sin n! ,求证:对任意的正整数 k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|< n n 1 2 n
2 2 2
六、借助数列递推关系 例27.求证: 1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1) 2n 2 1 例 28. 求证: 1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1) 2n 1 1
1 ,求证:数列 {an } 单调递增且 a n a n (1 ) n n
4.
n 1 ln 2 . )1,a>0,b>0,求证: a n b n 21 n. 例 48.求证: ln 3 ln 2 ln(1
例 42. 已 知 函 数 y f ( x), x N* , y N* , 满 足 : ① 对 任 意 a, b N* , a b , 都 有 af (a) bf (b) af (b) bf (a) ;②对任意 n N* 都有 f [ f (n)] 3n . (I)试证明: f ( x) 为 N+上的单调增函数;(II)求 f (1) f (6) f (28) ; (III)令 an f (3n ), n N* ,试证明:.
1 1 1 7 a 4 a5 am 8
例 31. 设函数 f ( x) 2 x 1 .若对一切 x R , 3 af ( x) b 3 ,求 a b 的最大值。 2
x 2
14、均值不等式放缩 例 32.设 S n 1 2 2 3 n(n 1). 求证 n(n 1) S
2
n

(n 1) 2 . 2
例 33.已知函数 f ( x)
1 ,求证: 1 ,若 4 ,且 f ( x ) 在[0,1]上的最小值为 f (1) 2 1 a 2 bx 5
1 1 . 2 n 1 2
a
f (1) f (2) f (n) n
例 34.已知 a , b 为正数, 且1
x
x
x
例 38.若 k 7 ,求证: S 1 1 1 n
n n 1 n2
1 3 . nk 1 2
16
例 39.已知 f ( x) a( x x1 )(x x2 ) ,求证: a2 . f (0) f (1) 例 40.已知函数 f(x)=x -(-1) ·2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时,求证: [f’(x)] - n-1 n n n 2 ·f’(x )≥2 (2 -2). 例 42.已知函数 1 1 ax , x 0, .对任意正数 a ,证明: 1 f x 2
(2)求证: 1 1 1 1 1 1 2
4 16 36 2 4n 4n 1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1) (3)求证: 2n 1 1 2 24 246 2 4 6 2n
例 3.求证:
9.函数放缩 例 8.求证: ln 2 ln 3 ln 4 ln 3 3n 5n 6 (n N * ) . 2 3 4 3n 6
n
2 例 9.求证:(1) 2, ln 2 ln 3 ln n 2n n 1 (n 2) 2(n 1) 2 3 n
n 1
例 7、已知 a n 5n 4 ,证明:不等式 5a mn a m a n 1 对任何正整数 m, n 都成立. 8.裂项放缩 例 2.(1)求证: 1 1 1 2 2
3 5 1 7 1 (n 2) (2n 1) 2 6 2(2n 1)
n n 2
例 15. 已 知 函 数 f ( x) 是 在 (0,) 上 处处 可 导 的 函 数 , 若 x f ' ( x) f ( x) 在 x 0 上 恒 成 立.(I)求证:函数 g ( x) f ( x) 在(0, ) 上是增函数
x
(II)当 x1 0, x2 0时, 证明: f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 x2 ) ; (III)已知不等式 ln(1 x) x在x 1且x 0 时恒成立, 例 16.已知函数 f ( x) x ln x. 若 a 0, b 0, 证明: f (a) (a b) ln 2 f (a b) f (b). 10、分式放缩,姐妹不等式: b b m (b a 0, m 0) 和 b b m (a b 0, m 0) a am a am 例 20.证明: (1 1)(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 3 3n 1.
2! 3!
例12.求证: (1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e 2n3 例 13.证明: ln 2
3 ln 3 ln 4 ln n n(n 1) (n N *, n 1) 4 5 n 1 4
例 14. 已知 a 1, a (1 1 )a 1 . 证明 an e2 . 1 n 1 n 2 n
高考数学—“放缩法”证明不等式 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 例 1、已知 an 2n 1(n N * ). 求证: n 1 a1 a2 ... an (n N * ). 2 3 a2 a3 an1 2、先放缩再求和(或先求和再放缩)
x 1 1 例 2、函数 f(x)= 4 ,求证:f(1)+f(2)+„+f(n)>n+ (n N * ) . n 1 x 2 1 4 2 3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)
1 n 2 n 3 n
, 试证: 对每一个 n N 1 1 b
n1 2

, (a b) n a n b n 2 2n 2 n1 .
n 例 35.求证 C C C Cn n2
(n 1, n N )
n
例 36.已知 f ( x) e e ,求证: f (1) f (2) f (3) f (n) (e n1 1) 2 例 37.已知 f ( x) x 1 ,求证: f (1) f (2) f (3) f (2n) 2n (n 1)n
4 7 3n 2
11、分类放缩 例 21.求证: 1 1 1
2 3
1 n 2n 1 2
例 23.已知函数 f ( x) x 2 bx c(b 1, c R) , 若 f ( x) 的定义域为[-1, 0], 值域也为[- 1,0].若数列 {bn } 满足 b f (n) (n N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,问是否存在正常 n 3
例 10.求证: 1 1
2
3
1 1 1 ln( n 1) 1 n 1 2 n
n!
9 1 1 ) (1 2 n ) e 81 3
例11.求证: (1 1 )(1 1 ) (1 1 ) e 和 1 (1 )(1
n
数 A,使得对于任意正整数 n 都有 Tn A ?并证明你的结论。 例 24.设不等式组 y 0,
x 0,
表示的平面区域为 Dn ,设 Dn 内整数坐标点的个数为 an .设
y nx 3n 1 1 1 , 当 n 2 时,求证: 1 1 1 1 7n 11 . Sn a n1 a n 2 a2n a1 a2 a3 a2 36
(4) 求证: 2( n 1 1) 1 1 1 1 2 ( 2n 1 1)
2 3 n
6n 1 1 1 5 1 2 (n 1)(2n 1) 4 9 n 3 例 4.设函数 f ( x) x x ln x .数列 an 满足 0 a1 1. an1 f (an ) . 设 b (a1, 1) ,整数 k ≥ a1 b .证明: ak 1 b . a1 ln b 例 5.已知 n, m N , x 1, Sm 1m 2m 3m nm ,求证: nm1 (m 1)Sn (n 1)m1 1 2n 例 6.已知 an 4n 2n , T ,求证: T T T T 3 . 1 2 3 n n 2 a1 a2 an
例 50. 已知: a1 a2 an 1, ai 0 2 2 2 求证: a12 an an a2 1
a1 a2 a2 a3 an1 an an a 1
(i 1,2 n)
ax 8 1 x 1 a 例 43.求证: 1 1 1 1 2 n 1 n 2 3n 1 f x
2
k
n
15、二项放缩 例 44. 已知 a 1, a (1 1 n 1 45.设
2 1 1 )an n . 证明 an e n2 n 2
n
例 3、已知 an=n ,求证:∑
k=1
k <3. 2 ak
n 1 1 2 an , 0 a1 , 求证: (ak ak 1 )ak 2 . 2 32 k 1
4、放大或缩小“因式”; 例 4、已知数列 {an } 满足 a 5、逐项放大或缩小
2 例 5、设 an 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 求证: n(n 1) a (n 1) n 2 2 6、固定一部分项,放缩另外的项; 例 6、求证: 1 1 1 1 7 12 22 32 n2 4 7、利用基本不等式放缩
2 24 246 2 4 6 2n
a1
2
24
246
2 4 6 2n
例 29. 若 a1 1, an1 an n 1 ,求证: 1
1 1 2( n 1 1) a2 an
13、分类讨论 例 30.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn 2an (1)n , n 1. 证明: 对任意的整数 m 4 , 有
n 1 1 1 1 ≤ 4n 2 a1 a2 an 4
例 49. 已知函数 fx的定义域为[0,1],且满足下列条件:① 对于任意 x [0,1],总有 f x 3 ,且 f 1 4 ;② 若 x1 0, x2 0, x1 x2 1, 则有 f x1 x2 f x1 f ( x2 ) 3. (Ⅰ)求 f0的值;(Ⅱ)求证:fx≤4;(Ⅲ)当 x ( 1 , 1 ](n 1,2,3, ) 时,试证明: 3n 3n1 f ( x) 3 x 3 .
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