数学-河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第二次联考试题(文)(扫描版)
2018年高三最新 河南省洛阳市2018学年高三第二次统一
河南省洛阳市2018-2018学年高三第二次统一考试数学（理科）试题 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一．选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 符合要求的。
1．2)11(ii +- 的值为 A ．1B ．iC ．1-D ．i -2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是A ．x x f =)(，2)(x x g =B ．2)(x x f =，2)()(x x g =C ．11)(2--=x x x f ，1)(+=x x gD ．11)(-⋅+=x x x f ，1)(2-=x x g3．对于平面α和直线m ．n ，给出下列命题① 若n m //，则m ．n 与α所成的角相等； ② 若α//m ，α//n ，则n m //； ③ 若α⊥m ，n m ⊥，则α//n④ 若m 与n 是异面直线，且α//m ，则n 与α相交。
其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．44．若二项式n xx )2(3+的展开式存在常数项，则n 值可以为A ．7B ．8C ．9D ．105．已知x ．y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≥004430y y x x ，则x y x 222++的最小值为A ．52B ．12-C ．2524D ．16．一个正四面体的外接球半径与内切球半径之比为A ．1:3B ．2:3C ．1:4D ．1:27．已知等比数列{}n a 的前n 项和5152-⋅=-n n t S ，则实数t 的值为 A ．4B ．5C ．54 D ．518．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有 A ．1480个B ．1440个C ．1200个D ．1140个9．已知10<<<y x ，)1(log +=x a x ，)1(log +=y b y ，则a ．b 的大小关系是A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．与x ．y 的具体取值有关10．在ABC ∆中，内角A ．B ．C 的对边分别为a ．b ．c ，已知a ．b ．c 成等比数列，3=+c a ，43cos =B ，则BC AB ⋅等于 A ．23 B ．32-C ．3D ．3-11．设离心率为e 的双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左右两支都相交的充要条件是A ．122>-e k B ．122<-e k C ．122>-k e D ．122<-k e12．函数⎩⎨⎧-=-x x f x f 2)4()(2,2,-≤->x x 在[)+∞,2上为增函数，且0)0(=f ，则)(x f 的最小值是A ．)0(fB ．)2(fC ．)4(fD ．)2(-f第Ⅱ卷(选择题，共90分)二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第二次联考语文试卷(有答案)
洛阳市２０１７———２０１８学年下学期尖子生第二次联考高三语文试题参考答案一、现代文阅读（３５分）（一）论述类文本阅读（９分）１．参考答案：Ｂ详细解析：Ａ．强加关系，“与古希腊文明有极深的渊源”说法不当。
文章阐述的是《周易》与古希腊古典美学之间的相似性和不同，而非两者之间的“渊源”。
Ｃ．曲解文意，“分别代表着天、地、人”不符合文意，原文说“每两爻一组，象喻天、地、人的联系与互动”。
Ｄ．说法绝对，根据最后一段“中希两种古代文明中都有对”终极“的推求，试图把握万变中的不变”可知，“中西古代文明对‘道’的追求完全不同”说法不当。
２．参考答案：Ｄ详细解析：Ｄ．文章运用的是“总—分—总”的论证结构：第一段是总领段，最后一段是总结段，中间部分是分层论证；并且，最后一段又进一步强调了《周易》与古希腊古典主义的异同獉獉。
３．参考答案：Ｃ详细解析：Ａ．扩大范围，应该是“古希腊的古典主义”。
Ｂ．因果颠倒，“作品首尾贯通，和谐整体，所以各部分之间有机协调”与原文所述关系不符。
Ｄ．以部分代替整体，推断错误，“《周易》的思想与《荷马史诗》中的追求相同”说法不当。
（二）文学类文本阅读（１４分）４．参考答案：Ｃ详细解析：“寄寓了对庄稼人在大地上悲苦境遇的哀伤”理解不准确，应是寄寓了庄稼人生活中的悲壮、坚忍以及他们对土地的热爱和敬畏。
５．参考答案：（１）鹅黄是新秧苗的颜色，鹅黄布满“我”老家的大地，构成了一幅辽阔而壮观的景象，鹅黄来自手工，承载着农民劳作的艰辛。
（２）①福楼拜精辟的话引起了我的情感共鸣；②大地本身没有诗意与感染力是不争的事实；③充分表现“我”对大地的热爱，对故乡的热爱。
详细解析：５分。
第一句２分；第二句３分，一点１分，意思相近即可。
６．参考答案：①厚重的生活体验。
没有丰富而真切的生活体验无法写出这样的作品。
文中对大地的特点有出色的描写，从景物到色彩，甚至气味。
②厚重的情感。
只有饱含真挚深沉的感情，才能打动读者。
河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第二次联考文综试卷(含答案)
洛阳市2017-2018学年下学期尖子生第二次联考高三文科综合试题第I卷（选择题，共140分）一、选择题：共35小题．每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
工业机器人是面向工业领域的多关节机械手，或多自由度的机器装置，是靠自身动力和控制能力，来实现各种功能的一种机器。
目前，我国已成为世界上第一大机器人消费市场。
据此，完成1-3题。
1．中国工业机器人市场大的主要原因，包括A．科技发达B．劳动力成本低C．工厂数量多D．劳动力数量多2．工业机器人未来在我国的广泛使用，将会A．大幅度增加企业成本B．增加劳动力就业人口C．对高新技术产业产生冲击D．利于制造业产业升级3．下列条件和措施中；对机器人市场推广影响较小的是A.人口老龄化B．健康和安全条例颁布C．薪资水平上涨D．部分产品生产周期延长大石河、位于燕山裙皱带的西部，地质构造复杂，河流蜿蜓曲折。
其中，甲、乙、丙、丁四河段中，丁河段村庄遭受洪涝灾害频率较高。
图1为大石河不同河段的聚落分布和地质剖面图。
据此，完成4-6 题。
4．凉水泉至九道河泉河段，河谷的主要成因是A．冰川侵蚀B．断裂下陷C．背斜成谷D．向斜成谷5．甲、乙、丙、丁四河段中，沉积地貌最显著的是A．甲B．乙C．丙D．丁6．与其他河段相比，推测丁河段村庄多洪涝灾害的主要原因可能是A．位于河流凹岸，雨季河流易决堤B．位于河流凸岸，泥沙淤塞河道C．植被稀疏，河水含沙量大D．河谷地势较低，排水不畅图2为我国某城市地理事物分布图，其中，等地租线是指以市中心为圆心，地租价格相同的点连接成而的线。
读图，完成7～9题。
7．沿图中四条线，交通通达度最差的是A．OA B．OB C．OC D. OD8．图中河流的流向为A．由西南向东北B．由东北向西南C．由西北向东南D．由东南向西北9．图中甲、乙、丙、丁四处地理事物，分布比较合理的是A．甲B．乙C．丙 D.丁图3中，我国某中学的旗杆影子，在北京时间14：08为一天中最短。
河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第二次联考数学(文)试卷(含答案)
洛阳市2017—2018学年下学期尖子生第二次联考高三数学试题(文科）本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，毎小题5分，共60分。
在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A= {65|2--x x x <0}，B = {x|-3 < x < 3} ,则A B =A. (-3,3)B. (-3,6)C. (-1,3)D. (-3,1)2.若复数z 满足|34|)43(i x i +=-，则z 的共轭复数的虚部为 A. 54 B. 54- C. i 54 D. i 54- 3.已知a =(2，m), b =(l ，-2)，若a ∥(a + 2b )，则 m 的值是A.-4B. 2C. 0D.-24.若 31)sin(=-απ，且 παπ≤≤2，则 αcos = A. 322 B. 322- C. 924- D. 924 5.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bc a c b 3222=-+且a b 3=, 则△ABC 不可能是A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形 6.已知 41log ,21ln ,)31(3121===c b a ，则 A.a >b >c B.b<a<c C. b < c <a D.b > a >c7.如图是一正方形亩圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，4个黑色小圆 与中间黑色大圆及正方形的内切圆均相切，已知黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍。
若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为A. 8πB. 16πC. 8-1πD. 16-1π8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 13+πB. 213+π C. 2149+πD. π49 9.已知)(x f 在定义域R 上的奇函数，且在上是增函数，则使)22-(＞)(2+x x f x f 成立的x 的取值范围是A. (1,2)B. （-∞,l)C. (2, +∞)D.（-∞，1）∪（2，+∞)10.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)(mod N m n ≡，例如)6(mod 538≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2019B.2023C.2031D.204711.已知双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的左、右焦点分别1F 、2F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线交于 A 、B 两点，, 2AF 、2BF 分别交y 轴于P 、Q 两点，若△PQF 2 的周长为12,则ab 取得最大值时双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 332 D. 233 12.已知函数x x a x f ln 2)1)(-2)(--=（在(0，21)上无零点，则a 的取值范围是A. [2-4ln2,+ ∞)B. [2-41n2, +∞)C. (4-21n2,+ ∞)D.[4-21n2，+∞)第Ⅱ卷(非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题,毎小题5分，共20分。
河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第二次联考数学(文)试卷(有答案)
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2018年河南省洛阳市尖子生高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年河南省洛阳市尖子生高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，6）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）•＝|4+3i|，为z的共轭复数，则z的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D．i3．（5分）已知＝（2，m），＝（l，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4B．2C．0D．﹣24．（5分）若sin（π﹣α）＝，且≤α≤π，则cosα＝（）A．B．﹣C．﹣D．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形6．（5分）已知a＝（），b＝ln，c＝，则（）A．a＞b＞c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．b＞a＞c7．（5分）如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+1B．C．D．9．（5分）已知f（x）在定义域R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则使f（x）＞f （x2﹣2x+2）成立的x的取值范围是（）A．（1，2）B．（﹣∞，l）C．（2，+∞）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）10．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如83≡5（bmod6）．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．2019B．2023C．2031D．204711．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q 两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx在（0，）上无零点，则a的取值范围是（）A．[2﹣4ln2，+∞）B．[2﹣41n2，+∞）C．（4﹣21n2，+∞）D．[4﹣21n2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，毎小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y2＝ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a＝．14．（5分）P（x，y）满足，则x2+y2的最小值为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且sin（B+C）＝6cos B sin C，则的值为．16．（5分）已知点P，Q分别为函数y＝e x与y＝kx（k＞0）图象上的点，若有且只有一组点（P，Q）关于直线y＝x对称，则k＝．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n＝，求数列{b n}的前项和T n．18．（12分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．19．（12分）四棱锥E﹣ABCD中，AP⊥平面ABCD，AD＝DC＝BC＝＝2，AP＝3，E为AP的中点，AB∥CD，过点A作AF⊥BP于F．（1）求证：DE∥平面BCP；（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．20．（12分）已知椭圆C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2丨＝，点A（，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M、N分别是椭圆C的上顶点和右顶点，直线TM交x轴于P，直线交y轴于Q，证明|PN|•|QM丨为定值．21．（12分）已知函数．（1）若g（x）＝a在（0，2）上有两个不等实根，求实数a的取值范围；（2）证明：＞0．选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答瓶卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4，坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝4，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1＝0，曲线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（Ⅰ）求C1与C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C2与C1的交于P点，C2与C3交于A、B两点，求△P AB的面积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2b|+c的最小值为4．（1）求a+2b+c的值；（2）证明：++c2．2018年河南省洛阳市尖子生高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，6）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．故选：C．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）•＝|4+3i|，为z的共轭复数，则z的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D．i【解答】解：由（3﹣4i）•＝|4+3i|，得＝，又∵为z的共轭复数，∴．则z的虚部为：．故选：A．3．（5分）已知＝（2，m），＝（l，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4B．2C．0D．﹣2【解答】解：∵＝（2，m），＝（l，﹣2），∴＝（4，m﹣4），∵∥（+2），∴，解得m＝﹣4．故选：A．4．（5分）若sin（π﹣α）＝，且≤α≤π，则cosα＝（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵sin（π﹣α）＝sinα＝，且≤α≤π，则cosα＝﹣＝﹣，故选：B．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，可得cos A＝＝，由0＜A＜π，可得A＝，，可得sin B＝sin A，即有sin B＝，可得B＝或，即有C＝π﹣﹣＝，或C＝π﹣﹣＝，可得△ABC为直角三角形或钝角三角形或等腰三角形，不可能是锐角三角形，故选：D．6．（5分）已知a＝（），b＝ln，c＝，则（）A．a＞b＞c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．b＞a＞c【解答】解：a＝（）∈（0，1），b＝ln＝﹣ln2＜0，c＝＝log34＞1，∴b＜a＜c．故选：B．7．（5分）如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设黑色小圆的半径为r，则黑色大圆的半径为2r，由题意可知，8r＝8，即r＝1．∴图中黑色区域的面积为8×8﹣π×42+4×π×12+π×22＝64﹣8π，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为．故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+1B．C．D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为圆柱挖去一部分，圆柱底面半径为1，高为3，∴这个几何体的体积是．故选：C．9．（5分）已知f（x）在定义域R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则使f（x）＞f （x2﹣2x+2）成立的x的取值范围是（）A．（1，2）B．（﹣∞，l）C．（2，+∞）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：根据题意，f（x）是奇函数且在[0，+∞）上是增函数，则函数函数在（﹣∞，0]上也是增函数，则函数在R上为增函数；f（x）＞f（x2﹣2x+2）⇒x＞x2﹣2x+2⇒x2﹣3x+2＜0，解可得：1＜x＜2，即x的取值范围是（1，2），故选：A．10．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如83≡5（bmod6）．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．2019B．2023C．2031D．2047【解答】解：根据正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），则：执行循环时，n＝2017，i＝2，n＝2017+2＝2019，由于2019≡3（mod6），所以2019≡1（mod5），执行下一次循环，…当n＝2031时，2031≡1（mod5）输出n＝2031．故选：C．11．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q 两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，△ABF2的周长为24，∵|AF2|+|BF2|+|AB|＝24，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝4a，|AB|＝，∴＝24﹣4a，∴b2＝a（6﹣a），∴y＝a2b2＝a3（6﹣a），∴y′＝2a2（9﹣2a），0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＞0，∴a＝4.5时，y＝a2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b＝，∴c＝3，∴e＝＝，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx在（0，）上无零点，则a的取值范围是（）A．[2﹣4ln2，+∞）B．[2﹣41n2，+∞）C．（4﹣21n2，+∞）D．[4﹣21n2，+∞）【解答】解：∵f（x）在（0，）上无零点，∴直线y＝（2﹣a）（x﹣1）与y＝2lnx的图象在（0，）上无交点，∴（2﹣a）（）≥2ln，解得a≥2﹣4ln2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，毎小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y2＝ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a＝2．【解答】解：抛物线的标准方程：y2＝ax，焦点坐标为（，0），准线方程为x＝﹣，由抛物线的焦半径公式|PF|＝x0+＝+＝2，解得：a＝2，故答案为：2．14．（5分）P（x，y）满足，则x2+y2的最小值为．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；设z＝x2+y2，则z的几何意义为区域内的点P（x，y）到原点O（0，0）的距离的平方，由图象可知，取点O到直线AC：2x+y﹣2＝0的距离时，z最小，此时d＝＝，则z＝d2＝，即x2+y2的最小值为．故答案为：．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且sin（B+C）＝6cos B sin C，则的值为﹣1．【解答】解：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且sin（B+C）＝6cos B sin C＝sin A，则：a＝6c cos B，整理得：a＝6c，所以：2a2＝3b2﹣3c2，由于：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝c2+b2﹣bc，所以：2c2+2b2﹣2bc＝3b2﹣3c2，即：b2+2bc﹣5c2＝0，则：，解得：（负值舍去），故：，故答案为：16．（5分）已知点P，Q分别为函数y＝e x与y＝kx（k＞0）图象上的点，若有且只有一组点（P，Q）关于直线y＝x对称，则k＝．【解答】解：y＝e x的反函数为y＝lnx，故而y＝lnx与y＝kx（k＞0）图象只有1个交点，∴直线y＝kx（k＞0）为曲线y＝lnx的切线，设切点为（x0，y0），则，解得k＝，x0＝e，y0＝1．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n＝，求数列{b n}的前项和T n．【解答】解：（1）∵a8是a5，a13的等比中项，{a n}是等差数列，∴（1+7d）2＝（1+4d）（1+12d）解得d＝0或d＝2，∴a n＝1或a n＝2n﹣1；（2）由（1）及{a n}是单调数列知a n＝2n﹣1，（i）当n＝1时，T1＝b1＝＝＝．（ii）当n＞1时，b n＝＝，∴T n＝+++…+……①∴T n＝+++…++……②①﹣②得T n＝+++…+﹣＝﹣，∴T n＝﹣．综上所述，T n＝﹣．18．（12分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）由题意求出m＝4，n＝2，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组．………………（3分）（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，则v1＜v2，＜．………………（6分）（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合有6种结果，分别为：（22，22），（22，162），（22，192），（22，162），（22，192），（162，192），记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果，∴这2个数据差的绝对值大于100的概率．………………（13分）19．（12分）四棱锥E﹣ABCD中，AP⊥平面ABCD，AD＝DC＝BC＝＝2，AP＝3，E 为AP的中点，AB∥CD，过点A作AF⊥BP于F．（1）求证：DE∥平面BCP；（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）取PB的中点M，连接EC、MC，因为E是AP的中点，∴EM∥AB，EM＝AB，∴EM∥CD，EM＝CD，∴四边形CDEM为平行四边形，∴ED∥MC，∵CM⊂面CBP，DE⊄面CBP，∴DE∥面BCP．解：（2）过C作CN⊥AB交AB于N点，∵AP⊥平面ABCD，∴AP⊥CN，CN⊥面ABP，∴CN为点C到面PEF的距离，而CN＝＝，在直角△ABP中，AF⊥BP，AP＝3，AB＝4，AP＝5，∴AF＝＝，PF＝＝，∴，∴三棱锥P﹣EFC的体积V P﹣EFC＝V C﹣PEF＝＝＝．20．（12分）已知椭圆C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2丨＝，点A（，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M、N分别是椭圆C的上顶点和右顶点，直线TM交x轴于P，直线交y轴于Q，证明|PN|•|QM丨为定值．【解答】解：（1）∵椭圆C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2丨＝，点A（，）在椭圆C上．∴c＝2，且F1（﹣2，0），F2（2，0），∴2a＝|AF1|+|AF2|＝+＝，∴a＝4，∴b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆C的方程为＝1．证明：（2）设T（x0，y0），其中x0≠0，y0≠0，且＝1，∴＝16，又M（0，2），N（4，0），∴直线TM的方程为＝，令y＝0，得P（，0），直线TN的方程为＝，令x＝0，得Q（0，），∴|PN|＝|4+|＝||，|QM|＝|2+|＝||，∴|PN|•|QM|＝＝＝＝16，∴|PN|•|QM丨为定值16．21．（12分）已知函数．（1）若g（x）＝a在（0，2）上有两个不等实根，求实数a的取值范围；（2）证明：＞0．【解答】解：（1）：由题意知方程为a＝在（0，2）上有两个不等实根，g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，∴g（x）max＝g（1）＝，而g（0）＝0，g（2）＝，若g（x）＝a在（0，2）上有两个不等实根，则＜a＜；证明：（Ⅱ）：要证明f（x）+＞0，即证e x lnx﹣1+＞0，即证明xln x＞xe﹣x﹣，设函数m（x）＝xln x，则m′（x）＝1+ln x，∴当x∈（0，）时，m′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，m′（x）＞0．故m（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而m（x）在（0，+∞）上的最小值为m（）＝﹣，设函数n（x）＝xe﹣x﹣，则n′（x）＝e﹣x（1﹣x）．∴以当x∈（0，1）时，n′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0．故n（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而n（x）在（0，+∞）上的最大值为n（1）＝﹣；∵m min（x）＝m（1）＝n max（x），所以当x＞0时，m（x）＞n（x），∴xln x＞xe﹣x﹣，故＞0选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答瓶卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4，坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝4，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1＝0，曲线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（Ⅰ）求C1与C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C2与C1的交于P点，C2与C3交于A、B两点，求△P AB的面积．【解答】[选修4﹣4，坐标系与参数方程]（10分）解：（Ⅰ）∵曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝4，∴根据题意，曲线C1的普通方程为y＝4，…（2分）∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1＝0，∴曲线C2的普通方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．…（4分）（Ⅱ）∵曲线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．∴曲线C3的普通方程为y＝x，联立C1与C2：，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，∴点P坐标（1，4）点P到C3的距离d＝＝．…（6分）设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．将代入C2，得，则ρ1+ρ2＝3，ρ1ρ2＝1，|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝，…（8分）∴S△P AB＝|AB|d＝＝．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2b|+c的最小值为4．（1）求a+2b+c的值；（2）证明：++c2．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴f（x）＝|x+a|+|x﹣2b|+c≥|x+a﹣x+2b|+c＝a+2b+c．函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2b|+c的最小值为4．∴a+2b+c＝4．（2）∵（32+42+12）（++c2）≥（3×+4×+1×c）2＝（a+2b+c）2＝42．∴++c 2．第21页（共21页）。
2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M ＝{y |y ＝x 2﹣1，x ∈R }，N ={x|y =√3−x 2}，则M ∩N ＝（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．[−1，√3]C ．[√3，+∞)D ．∅【解答】解：当x ∈R 时，y ＝x 2﹣1≥﹣1 ∴M ＝[﹣1，+∞）又当3﹣x 2≥0时，−√3≤x ≤√3 ∴N =[−√3，√3] ∴M ∩N =[−1，√3] 故选：B ．2．（5分）已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i −ai1−i 是实数，则a 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4【解答】解：∵2i −ai1−i =2i −ai(1+i)(1−i)(1+i)=2i +a2−ai2=a2+4−a2i 是实数， ∴4−a 2=0，即a ＝4．故选：D ．3．（5分）在边长为2的正三角形△ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是（ ） A ．1−√3π3B ．√3π3C ．1−√3π6D ．√3π6【解答】解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示： 其中正三角形ABC 的面积S 三角形=√34×4=√3， 满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示， 则S 阴影=12π，则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于1的概率是： P ＝112π√3=1−√3π6． 故选：C ．4．（5分）已知点（a ，12）在幂函数f （x ）＝（a ﹣1）x b 的图象上，则函数f （x ）是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数【解答】解：点(a ，12)在幂函数f （x ）＝（a ﹣1）x b 的图象上， ∴a ﹣1＝1，解得a ＝2； 又2b =12，解得b ＝﹣1， ∴f （x ）＝x ﹣1；∴函数f （x ）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数． 故选：A ．5．（5分）已知焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√132B ．√133C ．√102D ．√153【解答】解：根据题意，双曲线C 的点在y 轴上且渐近线方程为3x ±2y ＝0， 设双曲线的方程为y 29t−x 24t=1，（t ＞0），则a =√9t =3√t ，b =√4t =2√t ， 则c =√a 2+b 2=√13t ， 该双曲线的离心率e =c a √133， 故选：B ． 6．（5分）定义n p 1+p 2+⋯+p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }，的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n =an 5，则1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 10b 11=（ ） A ．817B ．919C ．1021D ．1123【解答】解：∵数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n，∴n S n=15n，∴S n =5n 2，∴a 1＝S 1＝5，n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝（5n 2）﹣[5（n ﹣1）2]＝10n ﹣5， n ＝1时，上式成立， ∴a n ＝10n ﹣5， ∴b n =a n5=2n ﹣1，1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1）， ∴1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 10b 11=12（1−13+13−15+15−17+⋯+119−121） =12(1−121) =1021． 故选：C ．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．17π2B ．9πC ．19π2D ．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与14球的组合体． 圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+4π×12×14+12π×12+12π×12=9π． 故选：B ．8．（5分）已知条件p ：关于x 的不等式|x ﹣1|+|x ﹣3|＜m 有解；条件q ：f （x ）＝（7﹣3m ）x为减函数，则p 成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：条件p ：∵|x ﹣1|+|x ﹣3|≥|3﹣1|＝2，而关于x 的不等式|x ﹣1|+|x ﹣3|＜m 有解，∴m ＞2；条件q ：f （x ）＝（7﹣3m ）x 为减函数，∴0＜7﹣3m ＜1，解得2＜m ＜73． 则p 成立是q 成立的必要不充分条件． 故选：B ．9．（5分）已知函数f(x)=2x+11−2x ⋅cosx ，则y ＝f （x ）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【解答】解：当x ∈[−π2，0）时，f （x ）＞0，所以排除A ，C ，； 当x ∈（0，π2）时f （x ）＜0，故选D ．故选：D ．10．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是1.99，则（ ）A ．a ＝98B ．a ＝99C ．a ＝100D ．a ＝101【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S =11×2+12×3+13×4+⋯+1k(k+1)=1−12+12−13+⋯+1k −1k+1=1−1k+1=1.99， 解得：k ＝99，k +1＝100＞99，故a ＝99， 故选：B ．11．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，PC 为球O 的直径，该三棱锥的体积为√26，则球O 的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【解答】解：根据题意作出图形设球心为O ，球的半径r ．过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ， 延长CO 1交球于点D ，则PD ⊥平面ABC ． ∵CO 1=√33， ∴OO 1=√r 2−13，∴高PD ＝2OO 1＝2√r 2−13， ∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =√34，∴V 三棱锥P ﹣ABC =13×√34×2√r 2−13=√26， ∴r ＝1．则球O 的表面积为4π． 故选：A ．12．（5分）已知函数f(x)={x 2+4x ，x ≤0xlnx ，x ＞0，g （x ）＝kx ﹣1，若方程f （x ）﹣g （x ）＝0在x ∈（﹣2，2）有三个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(1，ln2√e) B ．(ln2√e ，32) C ．(32，2)D ．(1，ln2√e)∪(32，2)【解答】解：显然，x ＝0不是方程f （x ）﹣g （x ）＝0的根， 则f （x ）﹣g （x ）＝0，即为k =f(x)+1x， 可设k =φ(x)={x +1x +4，x ＜01x+lnx ，x ＞0， 由x ＜0，可得φ（x ）＝x +1x+4≤﹣2√(−x)⋅1−x+4＝2，即有φ（x ）在x ＜0时，有最大值φ（﹣1）＝2； 当x ＞0时，φ（x ）=1x +lnx 的导数为φ′（x ）=−1x 2+1x =x−1x2， 在x ＞1时，φ′（x ）＞0，φ（x ）递增；在0＜x ＜1时，φ′（x ）＜0，φ（x ）递减． 可得x ＝1处取得最小值1． 作出φ（x ）在x ∈（﹣2，2）图象得在1＜k ＜ln 2+12或﹣2−12+4＜k ＜2时，直线y ＝k 和y ＝φ（x ）的图象均有三个交点．则k 的取值范围是（1，ln 2√e ）∪（32，2）．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x ，y 满足{y ≥x x +y ≤1y ≥−1，则目标函数z ＝2x ﹣y 的最大值是 12 ．【解答】解：由约束条件满足{y ≥xx +y ≤1y ≥−1，则目作出可行域如图，联立{y =xx +y =1，解得A （12，12）．化目标函数z ＝2x ﹣y 为y ＝2x ﹣z ，由图可知， 当直线y ＝2x ﹣z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为 1−12=12． 故答案为：12．14．（5分）已知|a →|=1，|b →|=2，(a →+b →)⋅b →=3，设a →与b →的夹角为θ，则θ等于 23π ．【解答】解：由|a →|=1，|b →|=2，(a →+b →)⋅b →=3， 得a →•b →+b →2＝3， 即|a →|•|b →|cos θ+b →2＝3，则2cos θ+4＝3，则cos θ=−12， ∵0≤θ≤π，∴θ=2π3， 故答案为：2π315．（5分）已知圆C 的圆心是直线x ﹣y +2＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝9相外切，若过点P （﹣1，1）的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 x +y ＝0 ．【解答】解：圆C 的圆心是直线x ﹣y +2＝0与x 轴的交点， 则：圆心C （﹣2，0）．设圆C 的半径为r ． 由于：圆C 与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝9相外切， 则：r +3=√32+42=5， 解得：r ＝2．故圆C 的方程为：（x +2）2+y 2＝4，若过点P （﹣1，1）的直线l 与圆C 交于两点，则点P 在圆的内部， 当过P 的直线与圆的直径垂直时，∠ACB 最小，所以：直线A 和B 的交点的直线方程为：y ﹣1＝﹣1（x +1）， 整理得：x +y ＝0． 故答案为：x +y ＝0．16．（5分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1=23，a n+1=2S n −2n ，则a 5＝ ﹣11 ． 【解答】解：∵a n +1＝2S n ﹣2n ，① 当n ＝1时，a 2＝2a 1﹣2＝3﹣2＝1， ∴a n ＝2S n ﹣1﹣2n ﹣1，n ≥2，②．由①﹣②可得a n +1﹣a n ＝2a n ﹣2n ﹣1，即a n +1＝3a n ﹣2n ﹣1，即a n +1﹣2n ＝3（a n ﹣2n ﹣1），∵a 2＝1， ∴a 2﹣2＝﹣1，∴{a n ﹣2n ﹣1}是从第二项开始是以﹣1为首项以3为公比的等比数列，∴a n ﹣2n ﹣1＝（﹣1）×3n ﹣2，∴a n ＝2n ﹣1﹣1×3n ﹣2，n ≥2，∴a 5＝16﹣27＝﹣11． 故答案为：﹣11．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）如图，已知扇形的圆心角∠AOB =2π3，半径为4√2，若点C 是AB̂上一动点（不与点A ，B 重合）．（1）若弦BC =4(√3−1)，求BC ̂的长； （2）求四边形OACB 面积的最大值．【解答】解：（1）在△OBC 中，BC =4(√3−1)，OB =OC =4√2，由余弦定理cos∠BOC =OB 2+OC 2−BC 22OB⋅OC =√32，所以∠BOC =π6， 于是BĈ的长为π6⋅4√2=2√23π． （2）设∠AOC =θ，θ∈(0，23π)⇒∠BOC =2π3−θ， 所以四边形的面积为S ， 则S =S △AOC +S △BOC =12⋅4√2⋅4√2sinθ+12⋅4√2⋅4√2sin(2π3−θ)=24sinθ+8√3cosθ=16√3sin(θ+π6)由θ∈(0，23π)，所以θ+π6∈(π6，5π6)，当θ=π3时，四边形OACB 的面积取得最大值16√3．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝AC ＝4，AB⊥AC，点E，F分别在线段AB，PD上．（1）证明：平面PDC⊥平面P AC；（2）若三棱锥E﹣DCF的体积为4，求FDPD的值．【解答】（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，∴AC ⊥CD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AC∩P A＝A，∴CD⊥平面P AC，∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面P AC；（2）解：∵AC⊥CD，AB＝AC＝CD＝4，∴S△DEC=12×4×4=8，设点F到平面ABCD的距离为d，∴V E−DCF=V F−DEC=13S△DEC×d=4，解得d=3 2，∴FDPD =dPA=38．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度x/℃212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：x=16∑6i=1x i=26，y=16∑6i=1y i=33，∑6i=1(x i−x)(y i−y)=557，∑6i=1(x i−x)2=84，∑6i=1(y i−y)2=3930，线性回归模型的残差平方和∑6i=1(y i−y i)2=236.64，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i＝1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程y=b x+a（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为y=0.06e0.2303x，且相关指数R2＝0.9522．（i）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计为b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x；相关指数R2=1−∑ni=1(y i−y i)2∑n i=1(y i−y)2．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n＝6，b=∑6i=1(x i−x)(y i−y)∑6i=1(x i−x)2=55784≈6.6，…．…（2分）≈33﹣6.6×26＝﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为y=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i）利用所给数据，∑6i=1(y i−y i)2=236.64，∑6i=1(y i−y)2=3930得，线性回归方程y=6.6x﹣138.6的相关指数R2=1−∑6i=1(y i−y i)2∑6i=1(y i−y)2=1−236.643930≈1−0.0602=0.9398．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程y=0.06e0.2303x比线性回归方程y=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i）得温度x＝35℃时，y=0.06e0.2303×35＝0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴y≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x ＝35℃时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）在直角坐标xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，长轴长为8，椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2﹣4x +2＝0的圆心． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上y 轴左侧的一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．【解答】（1）由圆的方程x 2+y 2﹣4x +2＝0，得C ：（x ﹣2）2+y 2＝2， 则圆心为点C （2，0）， 从而可设椭圆E 的方程为x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，其焦距为2c ，由题意设2a ＝8，c ＝2，所以a ＝4，b 2＝a 2﹣c 2＝12， 故椭圆E 的方程为x 216+y 212=1．（2）设点P 的坐标为（x 0，y 0），直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2， 则l 1，l 2的方程分别为l 1：y ﹣y 0＝k 1（x ﹣x 0），l 2：y ﹣y 0＝k 2（x ﹣x 0），由题意知，k 1⋅k 2=12，由l 1与圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝2相切得1010√k 12+1=√2，即[(2−x 0)2−2]k 12+2(2−x 0)y 0k 1+y 02−2=0， 同理可得[(2−x 0)2−2]k 22+2(2−x 0)y 0k 2+y 02−2=0从而k 1，k 2是方程[(2−x 0)2−2]k 2+2(2−x 0)y 0k +y 02−2=0的两个实根，于是，{(2−x 0)2−2≠0△=8[(2−x 0)2+y 02−2]＞0且k 1k 2=y 02(2−x 0)2−2=12， 由{ x 0216+y 0212=1y 02−2(2−x 0)2−2=12得5x 02−8x 0−36=0，解得x 0=−2(x 0=185舍去）， 由x 0＝﹣2得y 0＝±3，它们均满足上式， 故点P 的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3）． 21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）．（Ⅰ）若曲线y ＝f （x ）与直线x ﹣y ﹣1﹣ln 2＝0相切，求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式（x +1）f （x ）≤lnx −xe 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由f （x ）＝lnx ﹣ax ，得f′(x)=1x −a ，设切点横坐标为x 0，依题意得{1x 0−a =1x 0−1−ln2=lnx 0−ax 0，解得{x 0=12a =1，即实数a 的值为1．（Ⅱ）由在(x +1)f(x)=(x +1)(lnx −ax)≤lnx −x e定义域内恒成立， 得a ≥lnx x+1+1e(x+1)在定义域内恒成立，令g(x)=lnx x+1+1e(x+1)(x ＞0)，则g′(x)=1−1e +1x −lnx (x+1)2， 再令ℎ(x)=1−1e +1x −lnx ，则ℎ′(x)=−(1x+1x 2)＜0， 即y ＝h （x ）在（0，+∞）上递减，又h （e ）＝0，所以当x ∈（0，e ）时，h （x ）＞0，从而g '（x ）＞0，g （x ）在x ∈（0，e ）递增； 当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＜0，从而g '（x ）＜0，g （x ）在x ∈（e ，+∞）递减， 所以g （x ）在x ＝e 处取得最大值g(e)=lne e+1+1e(e+1)=1e ， 所以实数a 的取值范围是[1e，+∞)．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程是ρ=2√2sin(θ−π4)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα（t 为参数，0≤α＜π），设P （1，2），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． （1）当α＝0时，求|AB |的长度； （2）求|P A |2+|PB |2的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 的方程是ρ＝2√2sin （θ−π4），化为ρ2=2√2ρ(√22sinθ−√22cosθ)，化为ρ2＝2ρsin θ﹣2ρcos θ， ∴x 2+y 2＝2y ﹣2x ，曲线C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2． 当α＝0时，直线l ：y ＝2，代入曲线C 可得x +1＝±1．解得x ＝0或﹣2． ∴|AB |＝2．（2）设t 1，t 2为相应参数值t 2+（4cos α+2sin α）t +3＝0，△＞0，∴35＜sin 2(α+φ)≤1，∴t 1+t 2＝﹣（4cos α+2sin α），t 1t 2＝3．∴|P A |2+|PB |2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=（4cos α+2sin α）2﹣6＝20sin 2（α+φ）﹣6， ∴|P A |2+|PB |2∈（6，14]．23．已知函数f(x)=|x −a|+12a (a ≠0)（1）若不等式f （x ）﹣f （x +m ）≤1恒成立，求实数m 的最大值；（2）当a ＜12时，函数g （x ）＝f （x ）+|2x ﹣1|有零点，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f(x)=|x −a|+12a ，∴f(x +m)=|x +m −a|+12a ， ∴f （x ）﹣f （x +m ）＝|x ﹣a |﹣|x +m ﹣a |≤|m |， ∴|m |≤1，∴﹣1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1； （2）当a ＜12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a={−3x +a +12a +1，x ＜a −x −a +12a +1，a ≤x ≤123x −a +12a−1，x ＞12∴g （x ）在（﹣∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增．∴g(x)min =g(12)=12−a +12a =−2a 2+a+12a ≤0，∴{0＜a ＜12−2a 2+a +1≤0或{a ＜0−2a 2+a +1≥0，∴−12≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是[−12，0)．。
2018年河南省洛阳市高考二模数学文
2018年河南省洛阳市高考二模数学文一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={y|y=x 2-1，x ∈R}，}，则M ∩N=( )A.[-1，+∞)B.[-1+∞)D.∅解析：先确定每个集合的元素是什么，然后根据要求求出每个集合的范围，在进行集合运算即可.当x ∈R 时，y=x 2-1≥-1 ∴M=[-1，+∞)又当3-x2≥0时，≤≤x∴N=[∴M ∩N=[-1答案：B2.已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数21--aii i是实数，则a 的值为( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a 值. ∵()()()142221112222+--=-=+-=+--+ai i ai a ai a ai i i i i i i 是实数， ∴402-=a，即a=4. 答案：D3.在边长为2的正三角形△ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是( )B.3C.1-6解析：求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案. 满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积44==三角形S满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=12π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：1116π==-P.答案：C4.已知点(a，12)在幂函数f(x)=(a-1)x b的图象上，则函数f(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数解析：根据题意求出a、b的值，写出f(x)的解析式，即可判断它的奇偶性. 点(a，12)在幂函数f(x)=(a-1)x b的图象上，∴a-1=1，解得a=2；又2b=12，解得b=-1， ∴f(x)=x -1；∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数. 答案：A5.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y=0，则该双曲线的离心率为( )B.3C.2解析：根据题意，曲线的方程为22194-=y x t t，(t ＞0)，据此计算分析可得a 、b 的值，计算可得c 的值，由双曲线离心率公式计算可得答案.根据题意，双曲线C 的点在y 轴上且渐近线方程为3x ±2y=0，设双曲线的方程为22194-=y x t t，(t ＞0)，则==a==b则=c ，该双曲线的离心率==c e a 答案：B 6.定义12++⋯+nnp p p 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }，的前n项的“均倒数”为15n ，又5=n n a b ，则12231011111++⋯+=b b b b b b ( )A.817B.919 C.1021 D.1123解析：∵数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n， ∴15=n n S n，∴S n =5n 2， ∴a 1=S 1=5，n ≥2时，a n =S n -S n-1=(5n 2)-[5(n-1)2]=10n-5， n=1时，上式成立， ∴a n =10n-5， ∴215==-n n a b n ，()()112111*********+⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭n n b b n n n n ， ∴1223101111111123311111111110557192121212⎛⎫++⋯+=+-⎛⎫-+⋯+-=-= ⎪⎝⎭+- ⎪⎝⎭bb b b b b . 答案：C7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A.172πB.9πC.192πD.10π解析：由三视图可知几何体为圆柱与14球的组合体. 圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1.所以几何体的表面积为2222111214213411921ππππππ⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=. 答案：B8.已知条件p ：关于x 的不等式|x-1|+|x-3|＜m 有解；条件q ：f(x)=(7-3m)x 为减函数，则p 成立是q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：条件p ：由于|x-1|+|x-3|≥2，即可得出m 的取值范围；条件q ：f(x)=(7-3m)x为减函数，可得0＜7-3m ＜1，解得m 范围即可得出.条件p ：∵|x-1|+|x-3|≥|3-1|=2，而关于x 的不等式|x-1|+|x-3|＜m 有解，∴m ＞2； 条件q ：f(x)=(7-3m)x为减函数，∴0＜7-3m ＜1，解得2＜m ＜73. 则p 成立是q 成立的必要不充分条件. 答案：B9.已知函数()21cos 12+=-g x xf x x ，则y=f(x)的图象大致是( ) A.B.C.D.解析：当x ∈[2π-，0)时，f(x)＞0，所以排除A ，C ，；当x ∈(0，2π)时f(x)＜0，故选D. 答案：D10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是1.99，则( )A.a=98B.a=99C.a=100D.a=101解析：由程序框图知：算法的功能是求()11121211111111 1.991223341113=+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯+++S k k k k k ， 解得：k=99，k+1=100＞99，故a=99. 答案：B11.已知三棱锥P-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，PC 为球O的直径，该三棱锥的体积为6，则球O的表面积为( )A.4πB.8πC.12πD.16π解析：根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r.利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题.根据题意作出图形：设球心为O，球的半径r.过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC.∵CO1=3，∴OO1∴高PD=2OO1∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=4，∴1346-=⨯三棱锥P ABCV，∴r=1.则球O的表面积为4π. 答案：A12.已知函数()240ln0⎧+≤=⎨⎩，，＞x x xf xx x x ，g(x)=kx-1，若方程f(x)-g(x)=0在x∈(-2，2)有三个实根，则实数k的取值范围为( ) A.(1，32)C.(32，2)D.(1，∪(32，2)解析：显然x=0时，原方程无解；可化为()1+=f xkx，讨论x＜0，x＞0时，通过导数或基本不等式可得最值和单调区间，作出φ(x)在x∈(-2，2)图象，和直线y=k，观察可得三个交点的情况，即可得到所求k的范围.显然，x=0不是方程f(x)-g(x)=0的根，则f(x)-g(x)=0，即为()1+=f xkx，可设()1401ln0ϕ⎧++⎪⎪==⎨⎪+⎪⎩，＜，＞x xxk xx xx，由x＜0，可得1442ϕ=++≤-=（）x xx，即有φ(x)在x＜0时，有最大值φ(-1)=2；当x＞0时，φ(x)=1x+lnx的导数为φ′(x)22111-=-+=xx x x，在x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)递增；在0＜x＜1时，φ′(x)＜0，φ(x)递减.可得x=1处取得最小值1.作出φ(x)在x∈(-2，2)图象得在1＜k＜ln2+12或-2-12+4＜k＜2时，直线y=k和y=φ(x)的图象均有三个交点.则k 的取值范围是(1，∪(32，2). 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知实数x ，y 满足11≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩y x x y y ，则目标函数z=2x-y 的最大值是 .解析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.由约束条件满足11≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩y x x y y ，则目作出可行域如图，联立1=⎧⎨+=⎩y x x y ，解得A(12，12).化目标函数z=2x-y 为y=2x-z ，由图可知，当直线y=2x-z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为11122-=. 答案：1214.已知|r a |=1，|r b |=2，()3+=gr r r a b b ，设r a 与rb 的夹角为θ，则θ等于 . 解析：根据向量数量积的定义以及向量夹角公式进行求解即可.由|r a |=1，|rb |=2，()3+=gr r r a b b ，得23+=rgr ra b b，即2cos3θ+=rgr ra b b，则2cosθ+4=3，则cosθ=12 -，∵0≤θ≤π，∴θ=23π.答案：2 3π15.已知圆C的圆心是直线x-y+2=0与x轴的交点，且圆C与圆(x-2)2+(y-3)2=9相外切，若过点P(-1，1)的直线l与圆C交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为 . 解析：首先利用已知条件求出圆的方程，进一步利用圆与圆的位置关系的应用求出直线的方程.圆C的圆心是直线x-y+2=0与x轴的交点，则：圆心C(-2，0).设圆C的半径为r.由于：圆C与圆(x-2)2+(y-3)2=9相外切，则：，解得：r=2.故圆C的方程为：(x+2)2+y2=4，若过点P(-1，1)的直线l与圆C交于两点，则点P在圆的内部，当过P的直线与圆的直径垂直时，∠ACB最小，所以：直线A和B的交点的直线方程为：y-1=-1(x+1)，整理得：x+y=0.答案：x+y=016.设S n为数列{a n}的前n项和，且a1=23，a n+1=2S n-2n，则a5= .解析：根据数列的递推公式可得{a n-2n-1}是从第二项开始是以-1为首项以3为公比的等比数列，即可求出通项公式，代值计算即可∵a n+1=2S n-2n，①当n=1时，a2=2a1-2=3-2=1，∴a n=2S n-1-2n-1，n≥2，②.由①-②可得a n+1-a n=2a n-2n-1，即a n+1=3a n-2n-1，即a n+1-2n=3(a n-2n-1)，∵a2=1，∴a2-2=-1，∴{a n-2n-1}是从第二项开始是以-1为首项以3为公比的等比数列，∴a n-2n-1=(-1)³3n-2，∴a n=2n-1-1³3n-2，n≥2，∴a5=16-27=-11.答案：-11三、解答题(本大题共6小题，共70分，第17~21题为必考题，每小题12分，共60分；第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.如图，已知扇形的圆心角∠AOB=23π，半径为C 是»AB 上一动点(不与点A ，B 重合).(1)若弦，求»BC的长. 解析：(1)在△OBC 中，由余弦定理计算可得cos ∠BOC 的值，即可得∠BOC 的值，由弧长公式计算可得答案.答案：(1)在△OBC 中，，由余弦定理222o c s 2+-∠==g OB OC BC BOC OB OC ， 所以∠BOC=6π，于是»BC的长为63π⨯=.(2)求四边形OACB 面积的最大值.解析：(2)根据题意，设∠AOC=θ，由三角形面积公式分析可得四边形的面积为S 的值，结合三角函数的性质分析可得答案. 答案：(2)设∠AOC=θ，θ∈(0，23π)⇒∠BOC=23π-θ， 所以四边形的面积为S ，则211223πθθ⎛⎫⎪⎝⎭=+=⨯+⨯-V V AOC BOC S S S24sin 6πθθθ⎛⎫ ⎪⎝=+=⎭+，由θ∈(0，23π)，所以θ+6π∈(6π，56π)，当θ=3π时，四边形OACB 的面积取得最大值18.已知四棱锥P-ABCD 的底面是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AC=4，AB ⊥AC ，点E ，F 分别在线段AB ，PD 上.(1)证明：平面PDC ⊥平面PAC.解析：(1)由底面ABCD 是平行四边形，且AB ⊥AC ，得AC ⊥CD ，再由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥CD ，利用线面垂直的判定可得CD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定可得平面PDC ⊥平面PAC. 答案：(1)证明：∵四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，AB ⊥AC ，∴AC ⊥CD ， ∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ， ∵AC ∩PA=A ，∴CD ⊥平面PAC ，∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAC.(2)若三棱锥E-DCF 的体积为4，求FDPD的值. 解析：(2)由已知求得三角形DEC 的面积，设点F 到平面ABCD 的距离为d ，利用等积法求解d ，则FDPD的值可求. 答案：(2)∵AC ⊥CD ，AB=AC=CD=4，∴S △DEC =12³4³4=8， 设点F 到平面ABCD 的距离为d ， ∴V E-DCF =V F-DEC =13S △DEC ³d=4， 解得d=32， ∴38==FD d PD PA .19.一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：616162===∑i i x x ，613163===∑i i y y ，()()61557=--=∑iii x x y y ，()62184=-=∑ii x x ，()6213930=-=∑ii y y ，线性回归模型的残差平方和µ()621236.64=-=∑i i i y y ，e 8.0605≈3167，其中x i ，y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6.(1)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程y bx a =+$$$(精确到0.1). 解析：(1)求出n 的值，计算相关系数，求出回归方程即可.答案：(1)依题意，n=6，()()()616215576.684==--==≈-∑∑$iii ii x x y y b x x ， a y bx =-$$≈33-6.6³26=-138.6，∴y 关于x 的线性回归方程为$y =6.6x-138.6.(2)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为$y =0.06e0.2303x，且相关指数R 2=0.9522.(i)试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35°C 时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数). 附：一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计为()()()121==--=-∑∑$niii nii x x y y b x x ，a y bx =-$$；相关指数µ()()221211==-=--∑∑ni ii n ii y y R y y .解析：(2)(i)根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣.(ii)代入求值计算即可. 答案：(2)(i)利用所给数据，µ()621236.64=-=∑i i i y y ，()6213930=-=∑i i y y得，线性回归方程$y =6.6x-138.6的相关指数µ()()22121236.641110.06020.93983930==-=-=-≈-=-∑∑ni iiniiy yRy y.∵0.9398＜0.9522，因此，回归方程$y=0.06e0.2303x比线性回归方程$y=6.6x-138.6拟合效果更好.(ii)由(i)得温度x=35°C时，$y=0.06e0.2303³35=0.06³e8.0605，又∵e8.0605≈3167，∴$y≈0.06³3167≈190(个)，所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.20.在直角坐标xOy中，已知椭圆E中心在原点，长轴长为8，椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的标准方程.解析：(1)求得圆心坐标，设椭圆的标准方程，根据椭圆的性质，即可求得椭圆的标准方程. 答案：(1)由圆的方程x2+y2-4x+2=0，得C：(x-2)2+y2=2，则圆心为点C(2，0)，从而可设椭圆E的方程为22221+=x ya b(a＞b＞0)，其焦距为2c，由题意设2a=8，c=2，所以a=4，b2=a2-c2=12，故椭圆E的方程为221 1612+=x y.(2)设P是椭圆E上y轴左侧的一点，过P作两条斜率之积为12的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.解析：(2)设直线l1，l2的方程，利用点到直线的距离公式公式及韦达定理即可求得k1k2，与椭圆方程联立，即可求得P点坐标.答案：(2)设点P的坐标为(x0，y0)，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1，l2的方程分别为l1：y-y0=k1(x-x0)，l2：y-y0=k2(x-x0)，由题意知，k1²k2=12，由l1与圆C：(x-2)2+y2=2=即[(2-x0)2-2]k12+2(2-x0)y0k1+y02-2=0，同理可得[(2-x0)2-2]k22+2(2-x0)y0k2+y02-2=0，从而k1，k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的两个实根，于是，()()2022002208220--≠=-+⎧⎪⎨⎡⎤⎪⎣⎦⎩-V ＞x x y 且()2012201222==--y k k x ， 由()220020201161222212⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩x y y x 得5 x 02-8x 0-36=0，解得x 0=-2(x 0=185舍去)， 由x 0=-2得y 0=±3，它们均满足上式， 故点P 的坐标为(-2，3)或(-2，-3).21.已知函数f(x)=lnx-ax(a ∈R).(1)若曲线y=f(x)与直线x-y-1-ln2=0相切，求实数a 的值.解析：(1)根据题意，由函数的解析式求出其导数，设切点横坐标为x 0，则有00111ln 2ln ⎧-=⎪⎨⎪--=-⎩a x x x ax，解可得a 的值，即可得答案. 答案：(1)根据题意，由f(x)=lnx-ax ，得f ′(x)=1x-a ， 设切点横坐标为x 0，依题意得0000111ln 2ln ⎧-=⎪⎨⎪--=-⎩a x x x ax，解得0121⎧=⎪⎨⎪=⎩x a ，即实数a 的值为1.(2)若不等式(x+1)f(x)≤lnx-xe在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 解析：(2)根据题意，原问题可以转化为()ln 111≥+++x a x e x ，在定义域内恒成立，令()()ln 111=+++x g x x e x (x ＞0)，求出g(x)的导数，利用导数分析g(x)的最大值，据此分析即可得答案.答案：(2)由在(x+1)f(x)=(x+1)(lnx-x e )≤lnx-x e定义域内恒成立， 得()ln 111≥+++x a x e x 在定义域内恒成立， 令()()ln 111=+++x g x x e x (x ＞0)， 则()()2111ln 1-+-'=+x e x g x x ， 再令()111ln =-+-h x x e x ，则()2110'=-+⎛⎫⎪⎝⎭＜h x x x ， 即y=h(x)在(0，+∞)上递减，又h(e)=0，所以当x ∈(0，e)时，h(x)＞0，从而g ′(x)＞0，g(x)在x ∈(0，e)递增； 当x ∈(e ，+∞)时，h(x)＜0，从而g ′(x)＜0，g(x)在x ∈(e ，+∞)递减， 所以g(x)在x=e 处取得最大值()()ln 1111=+=++e g e e e e e， 所以实数a 的取值范围是[1e，+∞).请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线C的方程是4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为1cos 2sin αα=+⎧⎨=+⎩x t y t (t 为参数，0≤α＜π)，设P(1，2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)当α=0时，求|AB|的长度.解析：(1)把极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可得出. 答案：(1)曲线C的方程是4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化为2sin 22ρθθ⎛⎫ ⎪=⎝⎭-⎪，化为ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ， ∴x 2+y 2=2y-2x ，曲线C 的方程为(x+1)2+(y-1)2=2. 当α=0时，直线l ：y=2，代入曲线C 可得x+1=±1.解得x=0或-2. ∴|AB|=2.(2)求|PA|2+|PB|2的取值范围.解析：(2)设t 1，t 2为相应参数值t 2+(4cos α+2sin α)t+3=0，△＞0，利用根与系数的关系可得|PA|2+|PB|2=(t 1+t 2)2-2t 1t 2即可得出.答案：(2)设t 1，t 2为相应参数值t 2+(4cos α+2sin α)t+3=0，△＞0， ∴35＜sin 2(α+φ)≤1， ∴t 1+t 2=-(4cos α+2sin α)，t 1t 2=3.∴|PA|2+|PB|2=(t 1+t 2)2-2t 1t 2=(4cos α+2sin α)2-8=20sin 2(α+φ)-6，∴|PA|2+|PB|2∈(6，14].23.已知函数f(x)=|x-a|+12a(a ≠0)(1)若不等式f(x)-f(x+m)≤1恒成立，求实数m 的最大值.解析：(1)若不等式f(x)-f(x+m)≤1恒成立，利用f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤|m|，求实数m 的最大值. 答案：(1)∵f(x)=|x-a|+12a ，∴f(x+m)=|x+m-a|+12a， ∴f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤|m|，∴|m|≤1，∴-1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1.(2)当a ＜12时，函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点，求实数a 的取值范围. 解析：(2)当a ＜12时，函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点，()2min1121210222⎛⎫--++==+=⎭≤ ⎪⎝a a g x g a a a ，可得2120210⎧⎪⎨⎪+-+≤⎩＜＜a a a 或2210⎧⎨+-+≤⎩＜a a a ，即可求实数a 的取值范围. 答案：(2)当a＜12时，()()121213121121211221312⎧-+++⎪⎪⎪=+-=-+-+=--++≤≤⎨⎪⎪-+-⎪⎩，＜，，＞x a x a a g x f x x x a x x a a x a a x a x a ，∴()2min1121210222⎛⎫--++==+=⎭≤ ⎪⎝a a g x g a a a ，∴2120210⎧⎪⎨⎪+-+≤⎩＜＜a a a 或20210⎧⎨+-+≤⎩＜a a a ， ∴12-≤a ＜0， ∴实数a 的取值范围是[12-，0).。
资料：【数学】河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第二次联考试题 (理)(扫描版)
河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第二次联考数学题库（理）第I 卷一、选择题1.若复数z 满足|3|z )1(i i +-=-，则z 在复平面内的对应的点位于 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合 M = {3),1(log |y 21≥+=x x y }，N = {032|x 2≤-+x x } ,则M N =（ ）A. [-3,1)B. (-2,1)C. (-3,-2)D. (-2,3) 3. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 0,x 00≤∈∃x e R B. 2＞2,x R x x ∈∀C. ),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π D. 01-,2≥+∈∀x x R x 4. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）A.328 B. 33 C. 334 D. 35.在△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知22=a ，C B A sin 2sin ,43cos ==, 则△ABC 的面积是（ ） A.47B. 7C.516 D. 58 6. 在区间[0, 2π]上任选两个数x 和y ，则y <x sin 的概率为（ ）A.24π B. 221π- C. 22π D. 241π-7.从1，3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数，记为共可得到s t lg lg -的不同值的个数记作m .若函数)2cos()2sin()(βπαπ+++=x b x a x f 满足m f =)0(，则)2(f 的值为（ ）A. -15B. -16C. -17D. -188. 设变量y x ,满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+-≥+03-20302y x y x x ，则目标函数y x 6z +=的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 18D. 409.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)(mod N m n ≡，例如)6(mod 538≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.2019B.2023C.2031D.2047 10.若a >b >1，-1 < c < 0，则（ ） A. ccba <abB. c cb>aC.|c |log |<|log b c a D.|c |alog > ||log b c b a 11.已知双曲线12222=-by a x (b >a >0)的两条渐近线为1l 、2l ，过右焦点P 作垂直于1l 的直线,分别交于1l 、2l 于A ，B 两点.若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，则双曲线的离心率为（ ） A.5 B.25C. 3D. 13+12.已知函数)(e )(2R a ax x f x ∈+=，若曲线)(x f y =在点 P ))(,(x f m ， (m > 1) 处的切线为l ，且直线l 在y 轴上的截距小于1，则实数a 的取值范围是（ ）A. (21-,+∞) B. [-1, +∞) C. [21-,+∞) D.(-1,21-) 第Ⅱ卷二、填空题13.在(12)2x (+的展开式中，5x 项的系数为____________.14.若互相垂直的两向量b a ,，满足|||a b a λ=+，且b a +与b a -的夹角为060， 则实数λ的值为 .15.已知抛物线px y 22= (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线1322=-x y 相交于M ，N 两点，若MF 丄NF ,则p = .16.在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若12tan tan -=bcB A ，且 sin(B +C )=6cos B sin C ，则cb的值为 . 三、解答题17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =4S 2，a 2n = 2 a n + 1 . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足）1(25b 1++=+n n a n n n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18. 某市共有户籍人口约400万，其中老人(60岁及以上）约66万,为了解老人们的身体 健康状况，相关部门从这些老人中随机抽取600人进行健康评估.健康状况共分为不能自 理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计， 由样本数据制得如下条形图.(1)根据条形图完成下表：并估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比；(2)据统计，该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，该市政府计划给这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上老人每人每月发放生活补贴200元, ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元； ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元，试估算该市政府为执行此计划每年所需资金的总额(单位:亿元，保留两位小数）19. 如图，等边△ABC 的边长为3,点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且满足21EA CE DB AD == (如图1).将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 2-DE -B 成直二面角，连接(如图2).（1）求证:A 1D 丄平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°?若存在， 求出PB 的长；若不存在，请说明理由.20. 已知椭圆C : 12222=+by a x (a >b >0)的离心率为22，过右焦点F 且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，0为坐标原点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设经过点M (0,2)作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值及相应的直线l 的方程.21. 已知函数bx ae x f x+=)(,曲线)(x f y =在点(1，)1(f )处的切线方程为)1(4+=x e y .(1)求a ,b 的值；(2)证明：当:x >0 且1≠x 时，xx x f ln 1>)(-.选考部分:请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4,坐标系与参数方程]在直角坐标系: xOy 中，以O 为极点—轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 1的极坐标方程为4sin =θρ,曲线C 2的极坐标方程01sin 4cos 22=+--θρθρρ,曲线C 3的极坐标方程为），（R 4ρπθ=.（1）求C 1与C 2的直角坐标方程；（2）若C 2与Q 交于P 点，C 2与C 3交于A ， B 两点，求△P AB 的面积.23.[选修4 — 5:不等式选讲]已知 a >0，b >0，c > 0,函数c |2b -x ||a x |)(+++=x f 的最小值为 4. (1)求a +2b + c 的值；(2)证明：13849222≥++c b a .【参考答案】模板资料资源共享。
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河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第二次联考
数学试题（文）
第I 卷
一、选择题
1.已知集合 A = {65|2--x x x <0}，B = {x |-3 < x < 3} ,则A B =（ ） A. (-3,3) B. (-3,6) C. (-1,3) D. (-3,1)
2.若复数z 满足|34|)43(i x i +=-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A.
54 B. 54- C. i 5
4 D. i 54- 3.已知=(2，m ), =(l ，-2)，若 ∥(+ 2)，则 m 的值是 （ ） A.-4
B. 2
C. 0
D.-2
4.若 3
1
)sin(=
-απ，且 παπ≤≤2，则 αcos =（ ） A.
322 B. 322- C. 924- D. 9
2
4
5.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若bc a c b 3222=-+且a b 3=, 则△ABC 不可能是（ ）
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形 D .锐角三角形
6.已知 41
log ,21ln ,)31(3
121
===c b a ，则（ ）
A.a >b >c
B.b <a <c
C. b < c <a
D.b > a >c
7.如图是一正方形亩圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，4个黑色小圆 与中间黑色大圆及正方形的内切圆均相切，已知黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍。
若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）
A.
8
π
B.
16π C. 8-1π D. 16
-1π
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 13+π
B. 213+
π C. 2149+π
D. π4
9
9.已知)(x f 在定义域R 上的奇函数，且在上是增函数，则使)22-(＞)(2+x x f x f 成立的x 的取值范围是 （ ） A. (1,2) B. （-∞,l) C. (2,
+∞)
D.（-∞，1）∪（2，+∞)
10.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)(mod N m n ≡，例如)6(mod 538≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A.2019
B.2023
C.2031
D.2047
11.已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b >0)的左、右焦点分别1F 、2F ，过点1F 且垂直于x 轴的
直线与该双曲线交于 A 、B 两点，, 2AF 、2BF 分别交y 轴于P 、Q 两点，若△PQF 2 的周长为12,则ab 取得最大值时双曲线的离心率为 （ ） A.
2 B.
3 C.
332 D. 2
3
3 12.已知函数x x a x f ln 2)1)(-2)(--=
（在(0，2
1
)上无零点，则a 的取值范围是（ ） A. [2-4ln2,+ ∞) B. [2-41n2, +∞) C. (4-21n2,+ ∞) D.[4-21n2，+∞)
第Ⅱ卷
二、填空题
13.抛物线ax y =2 (a >0)上的点P （
2
3
，y 0)到焦点F 的距离为2,则a = . 14.若),(y x P 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤--≥+420122y x y x y x ,则)22y x +的最小值为 .
15.在△ABC 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ，b ，c ，若3
π
=A ，且 sin(B + C ) = 6cos B sin C ，
则
c
b
的值为 . 16.已知点P ，Q 分别为函数x e y =与kx y =( k >0)图象上的点，若有且只有一组点 (P ，Q )关于直线x y =对称，则k = . 三、解答题
17. 已知首项为1的等差数列{a n }中，a 8是a 5，a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{a n }是单调数列，且数列{b n }满足n
n a 31
b 2n +=，求数列{b n }的前n 项和T n .
18.抢“微信红包”巳经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动。
小明收集班内20 名同学今年春节期间抢到红包金额x (元）如下（四舍五人取整数）：
对这20个数据进行分组,各组的频数如下:
（1）写出m ，n 的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别； （2）记C 组红包金额的平均数与方差分别为Vl ,E 组红包金额的平均数与方差分别为2υ、2
2s ，试分别比较1υ与2υ、2
1s 与2
2s 的大小(只需写出结论）；
（3）从A ，E 两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率.
19.四棱锥 P -ABCD 中,AP 丄面ABCD ，AD = DC = BC =2
1
AB =2，AP =3，E 为AP 的中点,AB //CD ,过点A 作AF 丄 BP 于 F .
（1）求证://平面BCP , （2）求三棱锥P -EFC 的体积.
20.已知椭圆C : 122
22=+b
y a x (a >0,b >0)的左、右焦点分别为1F 、2F ，且|1F 2F 丨=34，
点A (3, 2
13
-
)在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若T 为椭圆C 上异于顶点的任意一点，M 、N 分别是椭圆C 的上顶点和右顶点，直 线TM 交x 轴于P ，直线交y 轴于Q ，证明|PN |·|Q 丨为定值.
21.已知函数x
x
e x
x g x e x f =
-=)(,1ln )(= （1）若a x g =)(在(0,2)上有两个不等实根，求实数a 的取值范围；
（2）证明：)
(2
)(x eg x f +>0.
选考部分:请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4,坐标系与参数方程]
在直角坐标系: xOy 中，以O 为极点—轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 1的极坐标方程为4sin =θρ,曲线C 2的极坐标方程01sin 4cos 22=+--θρθρρ,曲线C 3的极坐标方程为），（R 4
ρπ
θ=.
（1）求C 1与C 2的直角坐标方程；
（2）若C 2与Q 交于P 点，C 2与C 3交于A ， B 两点，求△P AB 的面积。
23.[选修4 — 5:不等式选讲]
已知 a >0，b >0，c > 0,函数c |2b -x ||a x |)(+++=x f 的最小值为 4. (1)求a +2b + c 的值；
(2)证明：13
849222≥++c b a .
【参考答案】
11。