(天津专用)2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.3二项分布与正态分布课件

-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.
(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=
48 3
1
p1.
由于p8=1,故p1=
3 48
1
,
所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)= 44 1 p1= 1 .
3
257
p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.
8时,认为甲药更有效的概率为p4= 1 ≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试
257
验方案合理.
试题分析 本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创
解析 本题主要考查独立事件概率的求解;考查学生的数据处理能力、推理论证能力;考查的
核心素养是逻辑推理与数学建模.
由题意可知七场四胜制且甲队以4∶1获胜,则共比赛了5场,且第5场甲胜,前4场中甲胜3场.第
一类:第1场、第2场中甲胜1场,第3场、第4场甲胜,则P1=
C12
×0.6×0.4×0.52=2×
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数
学期望Eξ.
解析 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 1 ,去参加乙游戏的概率为 2.
3
3
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=
Ci4
1 3
X
-1
0
1
P
(1-α)β
αβ+(1-α)(1-β)
α(1-β)
(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.
因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
2.(2012天津理,16,13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选
择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点
数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
五年高考
A组 自主命题·天津卷题组
1.(2019天津理,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 2.假定
3
甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的
3
评析 本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法,考查计算能力.
6.(2019课标Ⅱ理,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交 换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时 甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平 后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束. (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率. 解析 本题主要考查独立事件概率的求解.考查学生的逻辑推理及数据处理能力;考查的核心 素养是数据分析和逻辑推理. (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得 分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5. (2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为: 前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分. 因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
8
40
17
27
81
81
随机变量ξ的数学期望Eξ=0× 8 +2× 40 +4× 17 = 148 .
27 81 81 81
评析 本题考查概率知识的求解,考查互斥事件的概率公式,考查离散型随机变量的分布列与
期望,属于中档题.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
27 9 9 27 243
思路分析 (1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断X~B(n,p),从而利用二项分
布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即
X Y
3,或
1
X Y
2,从而利用
0.
互斥与相互独立事件的概率计算公式求解.
解后反思 本题关键是将实际问题转化为数学问题.
3
B
3,
2 3
,从而P(X=k)= C3k
2 3
k
1 3
3k
,k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
2
4
8
27
9
9
27
随机变量X的数学期望E(X)=3× 2 =2.
3
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B
3,
2 3
,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,
前4场比赛中胜3场.
4.(2017课标Ⅱ理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地
抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=
.
答案 1.96
解析 本题主要考查二项分布. 由题意可知X~B(100,0.02),由二项分布可得DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96.
新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较
高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.
考点二 正态分布
1.(2015湖北理,4,5分)设X~N(μ1, σ12 ),Y~N(μ2, σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中 正确的是 ( )
1 3
4=
1 9
.
所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
1 9
.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,
故P(ξ=0)=P(A2)=
8 27
,
40
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= 81 ,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=
17 81
评析 本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法,判断概率类型满足二项分布是解题的 关键.
5.(2015广东理,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=
.
答案 1
3
解析 因为X~B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p= 1 .
i
2 3
4i
.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=
C24
×
1 3
2
×
2 3
2
=
8 27
.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.由于
A3与A4互斥,
故P(B)=P(A3)+P(A4)= C34×
1 3
3×
2 3
+
C44×
思路分析 (1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分类求出独立事件的概率,求和即可. (2)X=4且甲获胜,即又打了4个球,且后两球甲得分,前两个球甲、乙各得1分,由独立事件的概 率公式可求解.
解题关键 某局打成10∶10平后,每球交换发球权,甲先发球,求出甲得分的概率分别为0.5,0.4, 0.5,0.4是解决本题的关键.
7.(2019课标Ⅰ理,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效, 为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠, 随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一 种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则 甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药 得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试 验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认 为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X =0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8. (i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列; (ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
解析 本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累 加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生 的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识. (1)X的所有可能取值为-1,0,1. P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β), P(X=1)=α(1-β). 所以X的分布列为
3.(2019课标Ⅰ理,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,
该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲
队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜
的概率是
.
答案 0.18
1.(2018课标Ⅲ理,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相 互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p= ( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
答案 B 本题考查相互独立事件及二项分布. 由题知X~B(10,p),则DX=10×p×(1-p)=2.4,解得p=0.4或0.6.又∵P(X=4)<P(X=6),即 C140p4(1-p)6< C160 p6(1-p)4⇒(1-p)2<p2⇒p>0.5,∴p=0.6,故选B. 评析 本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法,独立重复事件的应用,考查转化 思想以及计算能力.
Y=0}.
由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互
独=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=
2)P(Y=0)= 8 × 2 + 4 × 1 = 20 .
2.(2015课标Ⅰ理,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投 篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案 A 该同学通过测试的概率P=C32 ×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648,故选A. 评析 本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查.
3 5
×
2 5
×
1 4
=
3 25
;第二
类:第1场、第2场甲胜,第3场、第4场中甲胜1场,则P2=0.62×
C12
×0.5×0.5=
3 5
2
×2×
1 4
=
9 50
,所以甲
队以4∶1获胜的概率为P=
3 25
9 50
×0.6=0.18.
疑难突破 采用七场四胜制,由题意分析得若甲队以4∶1获胜,则甲队在第5场比赛中必胜,且
天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解析 本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概
率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数
学运算的核心素养.满分13分.
(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为 2,故X~