01线性空间

第一讲线性空间
一、线性空间的定义及性质
1. 集合、数域、映射
（1）集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。

集合的表示：列举法、概括法.
集合的运算：并（），交（）.
另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性.
（2）数域：设K是由一些复数组成的集合，其中包括0与1. 如果K中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是K中的数，那么K就称为数域.
注1.数域是一种数集，对四则运算封闭（除数不
为零）.
例1.1 常见的数域：有理数域Q 、实数域R 和复
数域C . 实数域和复数域是工程上较常用的两个数域.
例1.2
{},Q a a b Q =+∈，
{},,Q a a b c Q =++∈，
{}=,K a a b Q +∈，
0101,,,0;,,(0,1,,;0,1,,)n
n m i j m n m Z n m a a a P a b Z i n j m b b b ππππ∈≥⎧⎫+++⎪⎪=⎨⎬∈==++
+⎪⎪⎩⎭
都是数域，但{},Q a a b Q =+∈不是数域.
注2. 所有的数域都包含有理数域Q ，即有理数域Q 是最小的数域.
注3.在有理数域Q 与实数域R 之间存在无穷多个数域；在实数域R 与复数域C 之间不存在其他的数域.
（3）映射
2. 线性空间的定义：
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵理论的重要基础.线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象.
定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，其元素用,,
k l m等表示. 如果V满足下列条件（有8条性质，分两类）（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V
∈时，有唯一的和x y V
+∈（封闭性），且加法运算满足下列性质：
（1）结合律：()()
++=++；
x y z x y z
（2）交换律：x y y x
+=+；
（3）零元律：存在零元素0，使0
+=；
x x
（4）负元律：对于任一元素x V∈，存在一元素y V∈，使0
+=，且称y为x的负元素，记为x-，则有x y
()0
+-=.
x x
（II）在V中定义一个“数乘”运算，即当x V∈，k K
∈时，有唯一的kx V∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质
（5）数因子分配律：()
k x+y=kx+ky；
（6）分配律：()
k+l x=kx+lx；
（7）结合律：()()
k lx=kl x；
（8）单位律：1x=x；
则称V为数域K上的线性空间.
注意：
1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同.
2）两种运算、八条性质.
数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象.
3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性. 唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足.
★☆ 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空
间；当K 为复数域，V 就称为复线性空间.
例 1.3 设R +
＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
x y xy ⊕= , k k x x =o .
证明：R +
是实数域R 上的线性空间. 【证明】首先需要证明两种运算的唯一性和封闭
性
（1）唯一性和封闭性：
唯一性显然；
若00x ,y ,>> k R ∈，则有
x y xy R +⊕=∈ k k x x R +=∈o 封闭性得证.
（2）八条性质
1）()()=()()x y z x yz xy z x y z ⊕⊕==⊕⊕，
2）x y xy yx y x ⊕===⊕ ，
3）1是零元素：11x x x ⊕=⋅=，
4）1x
是x 的负元素：111x x x x ⊕=⋅= ， 5）()()()()k k k k x y xy x y k x k y ⊕===⊕o o o
[数因子分配律]，
6）()()()k l k l
k l x x x x k x l x ++====⊕o o o [分配律]，
7）()()()k l kl
k l x x x kl x ===o o o [结合律] 8） 11x x x ==o [单位律]
由此可证，R +是实数域R 上的线性空间.
例1.4 线性空间举例：
（1）所有实（或复）n 维向量集合n R （或n C ），
对n 维向量的加法及数乘n 维向量的运算，构成线性空
间.
（2）所有n 阶实矩阵的集合n n
R ⨯，n 阶复矩阵的集合n n C ⨯，对于矩阵的加法与数对矩阵的乘法两种运算，都构成线性空间. 一般地，数域K 上全体m n ⨯矩阵的集合m n K ⨯，对于矩阵的加法与数与矩阵的乘法两种运算，构成线性空间.
3. 线性空间性质
定理：线性空间具有如下性质
（1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的；
（2）如下恒等式成立：00x =， 1
x x -=-（）. 【证明】（1）①零元素是唯一的：
设存在两个零元素10和20，则由于10和20 均为零
元素， 按零元律有
112212000000=+=+=
所以1200=， 即 10和20 相同，故只有一个零元素.
②任一元素的负元素也是唯一的：
假设x V ∀∈，存在两个负元素y 和z ，则根据负元
律有
0x y x z +==+
()()00y y y x z y x z z z =+=++=++=+=
即y 和z 相同，故负元素唯一.
（2）000000x x x x x =+=+-
()000000x x x x =+-=-=，
()()()1101x x x x x -=-+=-+-
()()11110x x x x x x x x =-+⋅-=-+-=-=-.
4. 线性相关性
线性空间中线性相关性概念与线性代数中向量组
线性相关性概念类似.
（1）线性组合：
1212m m x ,x x V ,c ,c c K ∀∈∈L L ，
11221
m
m m i i i c x c x c x c x =+++∑L @
称为向量组12m x ,x x L 的一个线性组合.
（2）线性表示：
V 中某个向量x 可表示为其中某个向量组的线性组合，则称x 可由该向量组线性表示.
（3）线性相关性：
如果存在一组不全为零的数12m c ,c c K ∈L ，使
10m i
i i c x ==∑，
则称向量组12m x ,x x L 线性相关，否则称其线性无关.
★☆线性相关性概念是非常重要的概念，有了线
性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。

5. 线性空间的维数
定义：线性空间V 中线性无关向量组所含向量最
大个数称为V 的维数，记为dim V .
注1：线性空间V 的维数也就是V 中最大线性无关
向量组所含向量个数。

注2：维数是n 的线性空间称为数域K 上的n 维
线性空间，记为n V .
注3：当n =+∞时，称为无限维线性空间.
★☆本课程主要讨论有限维线性空间。

例 1.5 全体m n ⨯阶实矩阵的集合m n R ⨯构成一个
实线性空间（对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算），求其维数.
【解】一个直接的方法就是找一个最大线性无关
组，其向量尽可能简单。

令ij E 为这样的一个m n ⨯阶矩阵，其（i ,j ）元素
为1，其余元素为零.
显然，这样的矩阵共有mn 个，构成一个具有mn 个向量的线性无关向量组
{}n n m m mn E ,E ,,E E ,E ,,E E ,E ,,E 111212122212,,,L L L L
另一方面，还需说明向量个数最大. 对于任意的
()
ij
m n
A a ⨯=，都可由以上向量组线性表示，
ij ij i ,j
A a E =∑ ——> ij ij i ,j
a E A -=∑0
即{}ij E |i m,j n ==11::构成了最大线性无关向量组，所以该空间的维数为mn .
二、线性空间的基与坐标
1. 基的定义：
设V 是数域K 上的线性空间，
()121r x ,x x r ≥L ,,是属于V 的任意r 个向量，如果它满足 （1）12r x ,x ,,x L 线性无关；
（2）V 中任一向量x 均可由12r x ,x ,,x L 线性表示.
则称12r x ,x ,,x L 为V 的一个基或基底，并称12r x ,x ,,x L 为该基的基向量。

注1.基就是V 中最大线性无关组；V 的维数就是基中所含向量的个数。

注2.基是不唯一的，但不同的基所含向量个数相等。

例 1.6 考虑全体复数所形成的集合C . 如果K C =（复数域）
，则该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取K R =（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数
的数乘构成线性空间，其基可取为i {1,}，空间维数为
2.
2. 坐标的定义：
称线性空间n
V 的一个基12r x ,x ,,x L 为n
V 的一个
坐标系，n
x V ∀∈，它在该基下的线性表示式为：
n
i i i x x ξ==∑1
()i i K ,x V ,i ,,n ξ∈∈=12L ，
则称12n ,,,ξξξL 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为 ()T
n ,ξξξ12L
讨论：
（1）一般来说，线性空间及其向量是抽象的对象，不同空间的向量完全可以具有千差万别的类别及性质。

但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基向量，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。

（2）更进一步，原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。

① x y +1122()n n x x x ξξξ=+++L 1122()n n x x x ηηη++++L
n n n x x x ξηξηξη=++++++111222()()()L
对应于
()12112212(,,,),,,(,,,)
n n n n T T
T
ξξξξξηξηξηξηηηηη⎧=→+=+++⎨=⎩L L L ② ()n n kx k x x x ξξξ=+++1122L ()()()n n k x k x k x ξξξ=+++1122L
对应于
12(,,,)n T
ξξξξ=L ()12,,,n k k k k T
ξξξξ→=L
（3）同一向量在不同基（坐标系）下的坐标是不同的。

后面我们还要研究这一变换关系。

定理：设12r x ,x ,,x L 是n
V 的一个基，
n
x V ∈,则x 可唯一地表成12r x ,x ,,x L 的线性组合。

三、基变换与坐标变换
基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。

1.过度矩阵与基变换
设12r x ,x ,,x L 是n V 的旧基，12,,,n y y y L 是n
V 的新
基，由于两者都是基，所以可以相互线性表示
1n
j ij i i y c x ==∑ (1,2,i n =L )，
即 1112
1212221212
12
,,,,,,n n n n n n nn c c c c c c y y y x x x c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
L
L L L M M O M L
12,,,n x x x C =⎡⎤⎣⎦L 240
其中C 称为由基12r x ,x ,,x L 到基12,,,n y y y L 的过渡矩阵。

上式就给出了基变换关系，可以证明，C 是可逆的。

2.坐标变换
设n
x V ∈，它在旧基下的线性表示为
12121
,,n
i i n i n x x x x x ξξξξ=⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑L M 它在新基下的线性表示为
12'''
121
',,i n n
i n i x y y y y ξξξξ=⎡⎤⎢⎥
⎢⎥==⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑L M
则 12'
1'21212',,,,n n n n y y y x x x ξξξξξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
L L M M ， 又 1212,,,n n y y y x x x C =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L ，
所以 12'1'21212',,,,n n n n x x x C x x x ξξξξξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
L L M M .
由于基向量的线性无关性，得到坐标变换关系
12'
1
'2'n n C ξξξξξξ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
M M ⇒
12'
1'21'n n C ξξξξξξ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
M M
例1.7 设矩阵空间22
R
⨯的两个基
（Ⅰ）：121011,,0000A A ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦ 341111,;1011A A ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦ （Ⅱ）：121001,,1111B B ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦ 341111,;1001B B ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2）求在基（Ⅰ）与基（Ⅱ）下有相同坐标的矩阵.
【解】（1）取n n
R
⨯的基11122122,,,,E E E E 则有
1234111221221(,,,)(,,,)A A A A E E E E C = 1234111221222(,,,)(,,,)B B B B E E E E C =
其中
于是 11234123412(,,,)(,,,)B B B B A A A A C C -=
1234(,,,)A A A A C =
即由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为
1
1211
010********
01C C C --⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥==⎢⎥
-⎢
⎥⎣⎦
（2）设n n
A R
⨯∈在基（Ⅰ）与基（Ⅱ）下的坐标均
为Τ
1234(,,,)ξξξξξ=，则由坐标变换公式得
C ξξ=
即 ()0I C ξ-=， 可求得该齐次线性方程组的通解为
12340,0,,0k ξξξξ==== （k R ∈）
于是在基（Ⅰ）与基（Ⅱ）下有相同坐标的矩阵为 123431100010A A A kA A kA k ⎡⎤
=+++==⎢⎥
⎣⎦
，（k R ∈）.。