2.3向量间的线性关系-2(线性相关与无关)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1 1 D 1 2 3 0 1 2 0 1 3 5 0 2 4
方程组(**)的系数行列式 1 1 1
方程组(﹡﹡)有非零解, 故存在不全为0 的 k1 , k2 , k3 * 使(**) 式成立, 所以1 ,2 线性相关.
1 1, 0, 0, ... 0 n维单位向量组 1 , 2 ,..., n 线性无关 2 0, 1, 0, ... 0 证 设k1 1 k2 2 ... kn n 0 3 0, 0, 1, ... 0 即 k1 1, 0, 0, ... 0 n 0, 0, 0, ... 1 k2 0, 1, 0, ... 0
1 ( 1, 1, 0 ,0 ) 2 ( 0, 0, 1, 1 )
01 0 2 ( 0, 0, 0 ,0 ) 0
k1 1 k2 2 k1 (1,1,0,0) k2 (0,0,1,1)
( k1 , k1 ,0,0) (0,0, k2 , k2 ) ( k1 , k1 , k2 , k2 ) ( 0, 0, 0 ,0 )
1 2 4 1 3 2 1 3 5 0 1 1
01 0 2 0 3 o 很平常.
例
0 1 0 2 0 3 o 很平常. 有没有凑巧的情况？ 2 0 0 2k1 0 k1 0 0 k 0 k 0 k 0 k11 k2 2 k3 3 k1 k2 1 3 2 2 0 1 1 k2 k3 如果 0 k2 0 只有当系数k1,k2,k3都是0 时,才有 k11 k2 2 k3 3 0 即只有0 1 0 2 0 3 0 没有很凑巧的情况.
k1 k2 k3 0 1 1 0 1 1 k 3 0 即 k1 2k2 3k3 0 k1 (﹡﹡) k2 2 3 k 3k 5k 0 1 5 0 3 2 3 1
1 3 0 T T T T 31 2 3 1 3 0 1 , 2 线性相关. 1 3 0
(1) 设 k11 k2 2 ... k s s 0
例如： 1 ( 1, 1, 1 ) 2 ( 3, 3, 3 ) 1,2线性相关.
31 2 3(1,1,1) ( 3, 3, 3 ) =( 0,0,0 )
1 T 1 1 1
3 T 2 3 3
称1, 2 , 3 线性无关.
定义3.6 对于向量组1, 2, …,s,如果存在一组 不全为0的数 k1,k2,…,ks 使关系式
k11 k2 2 ... k s s 0
成立,则称向量组1, 2, …, s 线性相关. 如果没有不全为0的k1,k2,…,ks,使 k11 k2 2 ... k s s 0 即只有当系数 k1=k2 = … = ks= 0时,才有
( 二 ) 例
线性相关与线性无关 称1, 2, 3线性相关
4 0 1 2 3 0 1 0 5 0 01 0 2 0 3 0 1 0 0 1
问:当k1,k2 ,… ,ks不全为0时,上式是否也可能成立? 若有k1,k2 ,… ,ks不全为0,使上式成立, 称1,2,…,s 线性相关;若没有不全为0的k1,k2 ,… ,ks, 使上式成立, 则称1, 2,…,s线性无关.
例如 1 ( 1, 1, 1 ) 2 ( 3, 3, 3 ) 01 0 2 0 31 2 3(1,1,1) (3,3,3) 0 向量组1, 2线性相关.
即只有平凡的关系式 01 0 2 ... 0 s 0 成立， 则称向量组1, 2, …, s 线性无关.
k11 k2 2 ... k s s 0
k11 k2 2 ... k s s 0 当系数k1=k2= …= ks=0时当然成立.
1 1 1 1 1 1 D 1 2 3 0 1 2 0
方程组(**)的系数行列式
1 3 7
0 2 6
方程组(﹡﹡)只有零解,故只有当 k1 k2 k3 0 时 * (**)式才成立, 所以1 ,2,3 线性无关.
例 设 1 ( 1, 1, 1 ) 2 ( 1, 2, 3 ) ( 1, 3, 5 ) 判断向量组1 2 的线性相关性 解 设 k11 k2 2 k3 0 (*),则
k1 0, k2 0
只有当系数 k1= k2 =0时,才有 k11 k2 2 0
向量组1,
2
1 0 0 例 0 2 a22 3 a32 ... s a s 2 1 a a a 2n 3n sn 0 0 0 a 21 a s1 0 0 a31 0 0 a 22 a32 ... a s 2 0 0 1 0 0 0 a 0 0 0 a a sn 3n 0 2n 11 0 2 0 3 ... 0 s
例 设 1 ( 1, 1, 1 )
2 ( 1, 2, 3 ) 3 ( 1, 3, 7 )
判断向量组1 ,2 ,3 的线性相关性. 解 设k11 k2 2 k3 3 0(*),则
1 1 0 1 k1 k2 k3 0 1 k 3 0 即 k 2k 3k 0 k1 2 3 1 (﹡﹡) k2 2 3 k 3k 7 k 0 1 7 0 3 2 3 1
a21 a11 a s1 说明:对任意s个n 维向量 a12 a22 as 2 1 2 ... s a a a 01 0 2 ... 0 s 2n 1n sn a11 a21 a s1 0 a a a 12 0 22 ... 0 s 2 0 0 0 0 a1 n a2 n a sn
0
系数1,0,0,…,0不全为0, 所以1,2 …,s线性相关.
一个向量组中若含有零向量， 则这个向量组必线性相关.
kb1 b1 a31 a s1 kb b 2 2 2 3 a32 ... s a s 2 例 1 a a 3n sn kbn b3 a s1 kb1 kb1 0 b1 kb1 a31 kb 0 b kb a 32 ... 0 a s 2 kb2 2 k 2 (1) 2 0 a a 0 3n sn kbn kbn b3 kbn k1 ( 1) 2 0 3 ... 0 s 0
(2) 讨论k1,k2 ,… , ks的情况.
讨论1, 2, …, s 是否线性相关的步骤:
如果找到了,或者证明能找到 一组数
k1 , k2 ,..., k s 其中至少有一个不等于0, 使(1)式成立,
则1, 2, …, s 线性相关; 如果从(1)式出发, 最终推出 k1 k2 ... k s 0 则1, 2,…,s 线性无关.
2 2 4 0 21 2 3 o 21 2 3 6 1 5 0 很凑巧. 0 1 1 0
系数k,－1,0,…,0不全为0 所以1,2 …,s线性相关. 一个向量组中 若有两个向量的对应分量成比例， 则这个向量组必线性相关。
1,2, …,s 线性相关 1, 2,…,s 线性无关
T T T 1 , 2 ,..., s 线性相关. T T T 1 , 2 ,..., s 线性无关.
0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 1 1 0 0
2 0 0 1 0 2 1 3 0 0 1 1
方程组(**)的系数行列式 1 1 1
方程组(﹡﹡)有非零解, 故存在不全为0 的 k1 , k2 , k3 * 使(**) 式成立, 所以1 ,2 线性相关.
1 1, 0, 0, ... 0 n维单位向量组 1 , 2 ,..., n 线性无关 2 0, 1, 0, ... 0 证 设k1 1 k2 2 ... kn n 0 3 0, 0, 1, ... 0 即 k1 1, 0, 0, ... 0 n 0, 0, 0, ... 1 k2 0, 1, 0, ... 0
1 ( 1, 1, 0 ,0 ) 2 ( 0, 0, 1, 1 )
01 0 2 ( 0, 0, 0 ,0 ) 0
k1 1 k2 2 k1 (1,1,0,0) k2 (0,0,1,1)
( k1 , k1 ,0,0) (0,0, k2 , k2 ) ( k1 , k1 , k2 , k2 ) ( 0, 0, 0 ,0 )
1 2 4 1 3 2 1 3 5 0 1 1
01 0 2 0 3 o 很平常.
例
0 1 0 2 0 3 o 很平常. 有没有凑巧的情况？ 2 0 0 2k1 0 k1 0 0 k 0 k 0 k 0 k11 k2 2 k3 3 k1 k2 1 3 2 2 0 1 1 k2 k3 如果 0 k2 0 只有当系数k1,k2,k3都是0 时,才有 k11 k2 2 k3 3 0 即只有0 1 0 2 0 3 0 没有很凑巧的情况.
k1 k2 k3 0 1 1 0 1 1 k 3 0 即 k1 2k2 3k3 0 k1 (﹡﹡) k2 2 3 k 3k 5k 0 1 5 0 3 2 3 1
1 3 0 T T T T 31 2 3 1 3 0 1 , 2 线性相关. 1 3 0
(1) 设 k11 k2 2 ... k s s 0
例如： 1 ( 1, 1, 1 ) 2 ( 3, 3, 3 ) 1,2线性相关.
31 2 3(1,1,1) ( 3, 3, 3 ) =( 0,0,0 )
1 T 1 1 1
3 T 2 3 3
称1, 2 , 3 线性无关.
定义3.6 对于向量组1, 2, …,s,如果存在一组 不全为0的数 k1,k2,…,ks 使关系式
k11 k2 2 ... k s s 0
成立,则称向量组1, 2, …, s 线性相关. 如果没有不全为0的k1,k2,…,ks,使 k11 k2 2 ... k s s 0 即只有当系数 k1=k2 = … = ks= 0时,才有
( 二 ) 例
线性相关与线性无关 称1, 2, 3线性相关
4 0 1 2 3 0 1 0 5 0 01 0 2 0 3 0 1 0 0 1
问:当k1,k2 ,… ,ks不全为0时,上式是否也可能成立? 若有k1,k2 ,… ,ks不全为0,使上式成立, 称1,2,…,s 线性相关;若没有不全为0的k1,k2 ,… ,ks, 使上式成立, 则称1, 2,…,s线性无关.
例如 1 ( 1, 1, 1 ) 2 ( 3, 3, 3 ) 01 0 2 0 31 2 3(1,1,1) (3,3,3) 0 向量组1, 2线性相关.
即只有平凡的关系式 01 0 2 ... 0 s 0 成立， 则称向量组1, 2, …, s 线性无关.
k11 k2 2 ... k s s 0
k11 k2 2 ... k s s 0 当系数k1=k2= …= ks=0时当然成立.
1 1 1 1 1 1 D 1 2 3 0 1 2 0
方程组(**)的系数行列式
1 3 7
0 2 6
方程组(﹡﹡)只有零解,故只有当 k1 k2 k3 0 时 * (**)式才成立, 所以1 ,2,3 线性无关.
例 设 1 ( 1, 1, 1 ) 2 ( 1, 2, 3 ) ( 1, 3, 5 ) 判断向量组1 2 的线性相关性 解 设 k11 k2 2 k3 0 (*),则
k1 0, k2 0
只有当系数 k1= k2 =0时,才有 k11 k2 2 0
向量组1,
2
1 0 0 例 0 2 a22 3 a32 ... s a s 2 1 a a a 2n 3n sn 0 0 0 a 21 a s1 0 0 a31 0 0 a 22 a32 ... a s 2 0 0 1 0 0 0 a 0 0 0 a a sn 3n 0 2n 11 0 2 0 3 ... 0 s
例 设 1 ( 1, 1, 1 )
2 ( 1, 2, 3 ) 3 ( 1, 3, 7 )
判断向量组1 ,2 ,3 的线性相关性. 解 设k11 k2 2 k3 3 0(*),则
1 1 0 1 k1 k2 k3 0 1 k 3 0 即 k 2k 3k 0 k1 2 3 1 (﹡﹡) k2 2 3 k 3k 7 k 0 1 7 0 3 2 3 1
a21 a11 a s1 说明:对任意s个n 维向量 a12 a22 as 2 1 2 ... s a a a 01 0 2 ... 0 s 2n 1n sn a11 a21 a s1 0 a a a 12 0 22 ... 0 s 2 0 0 0 0 a1 n a2 n a sn
0
系数1,0,0,…,0不全为0, 所以1,2 …,s线性相关.
一个向量组中若含有零向量， 则这个向量组必线性相关.
kb1 b1 a31 a s1 kb b 2 2 2 3 a32 ... s a s 2 例 1 a a 3n sn kbn b3 a s1 kb1 kb1 0 b1 kb1 a31 kb 0 b kb a 32 ... 0 a s 2 kb2 2 k 2 (1) 2 0 a a 0 3n sn kbn kbn b3 kbn k1 ( 1) 2 0 3 ... 0 s 0
(2) 讨论k1,k2 ,… , ks的情况.
讨论1, 2, …, s 是否线性相关的步骤:
如果找到了,或者证明能找到 一组数
k1 , k2 ,..., k s 其中至少有一个不等于0, 使(1)式成立,
则1, 2, …, s 线性相关; 如果从(1)式出发, 最终推出 k1 k2 ... k s 0 则1, 2,…,s 线性无关.
2 2 4 0 21 2 3 o 21 2 3 6 1 5 0 很凑巧. 0 1 1 0
系数k,－1,0,…,0不全为0 所以1,2 …,s线性相关. 一个向量组中 若有两个向量的对应分量成比例， 则这个向量组必线性相关。
1,2, …,s 线性相关 1, 2,…,s 线性无关
T T T 1 , 2 ,..., s 线性相关. T T T 1 , 2 ,..., s 线性无关.
0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 1 1 0 0
2 0 0 1 0 2 1 3 0 0 1 1