内蒙古包头四中2019届高三数学上学期期中模拟测试试题(二)理

内蒙古包头四中2019届高三数学上学期期中模拟测试试题（二）理
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x
，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝
A ．[1，3)
B ．(1，3)
C ．[0，2]
D ．(1，4)
2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3
＋x ≥0”的否定是
A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0
B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3
＋x ≥0
C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0
D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 3
0＋x 0≥0
4．函数f (x )＝1
（log 2x ）2
－1
的定义域为 A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞)
5．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为
A ．2
B ．－2 C.12 D ．－1
2
6．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像
A ．向右平移π4个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π4个单位
D ．向左平移π
12个单位
7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝
A ．1
B ． 2
C ．3
D ．5
8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝
A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
9．某几何体三视图如图1­1所示，则该几何体的体积为
A ．8－2π
B ． 8－π
C ．8－π2
D ．8－π
4
10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为
A.
81π4 B ．16π C ．9π D.27π
4
11．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ， DF
＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →
＝－23
，则λ＋μ＝
A.12
B.23
C.56
D.712
12．已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足：
①f (0)＝f (1)＝0；
②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1
2
|x －y |.
若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为 A.12 B.14 C.12π D.18
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
一，填空题（本
大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →
的夹角为________．
14. 若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．
15．若曲线y ＝e －x
上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．
16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.
二，解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．（本小题满分10分）、已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．
18．（本小题满分12分）、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且a >c .已知BA →·BC →
＝2，cos B ＝13
，b ＝3.求：
(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．
19（本小题满分12分）．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *
)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.
(1)令c n ＝a n b n
，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3
n －1
，求数列{a n }的前n 项和S n .
20．（本小题满分12分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.
(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；
(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
21．（本小题满分12分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD 。

(1)求证：AB ⊥CD ；
(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
22、（本小题满分12分）设函数f (x )＝e x
x
2－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数
的底数)．
(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．
答 案
一、选择题（每小题5分，共60分） (1) A (2) D (3) C (4) C (5) D (6) B
(7) A (8) C (9) B (10) A (11) C (12) B 二、填空题（每小题5分，共20分） (13) 90° （14）3π8
(15) (－ln 2，2) (16) 49-
三、解答题（共70分，按步骤得分）
17解：(1)由已知，有
f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin x ＋
32cos x －3cos 2
x ＋34
＝12sin x ·cos x －32cos 2
x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34
＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1
4
， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.
18，解：(1)由BA →·BC →
＝2得c ·a ·cos B ＝2，
又cos B ＝1
3
，所以ac ＝6.
由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2
＋2ac cos B ，
又b ＝3，所以a 2＋c 2
＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2
＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2
B ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝223.
由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 2
9
.
因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，
因此cos C ＝1－sin 2
C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4 292＝79
.
所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝23
27.
19．(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *
)，所以
a n ＋1
b n ＋1－a n
b n
＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.
(2)由b n＝3n－1，知a n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2S n＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，
所以S n＝(n－1)3n＋1.
20．解：
21．(1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴
AB ⊥平面BCD .
又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .
(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD .
由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .
以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 (如图所示)．
依题意，得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，12. 则BC →＝(1，1，0)，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，AD →
＝(0，1，－1)．
设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＋y 0＝0，12
y 0＋1
2z 0＝0， 取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1)．
设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，
则sin θ＝||
cos 〈n ，AD →〉＝|n ·AD →||n |·|AD →|
＝6
3
.
22. 解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝x 2e x －2x e x x
4
－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2
＝（x －2）（e x
－kx ）x
3
. 由k ≤0可得e x
－kx >0，
所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．
所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点；
当k >0时，设函数g (x )＝e x
－kx ，x ∈(0，＋∞)．
因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k
， 当0<k ≤1时，
当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x
－k >0，y ＝g (x )单调递增， 故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．
当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，
g （2）>0，0<ln k <2，
解得e<k <e
2
2
.
综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫e ，e 2
2.。