变量分离和恒成立问题

恒成立问题与变量别离
含参数不等式的“恒成立〞的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，假设函数()x f 在定义域为D ，那么当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立
()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因此,含参数不等式的恒成立问题常
根据不等式的构造特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 〔1〕数形结合解恒成立问题
如：假设不等式0log 32
<-x x a 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈31,0x 内恒成立，务实数a 的取值范围。

分析与解： 由题意知 ： x x a log 32
< 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈31,0x 内恒成立。

在同一坐标系内分别作出2
3x y = 和 x y a log =的图象
因为⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈31,0x 时，x y a log =的图象位于函数2
3x y =的图象上方，
当 a> 1时，显见不成立，故 0<a<1 ①
由图可知：x y a log =的图象必须过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,31或在这个点的上方，那么： 3
131log ≥a
∴ 271≥
a ② 由 ①，② 知 ： 1271<≤a ，∴ a 的取值范围为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,271 〔2〕明显的恒成立问题，解决时挑选方法：
一次函数、二次函数可先考虑图形特点解决；明显是恒成立问题，而又不归结到前三种，那么我们可以尝试变量别离〔当然有的时候需要讨论，然后才变量别离〕.
如：奇函数f(x)在R 上为减函数，假设对任意的],1,0(∈x 不等式
0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，那么实数k 的取值范围是
显然结合题意，问题明晰的展现为],1,0(∈x 22
+-<x x kx 恒成立，进而变为],1,0(∈x
x x k 21+
-<恒成立，那么22
1min =+-<）（x
x k .
〔3〕没明确是恒成立问题但同样可转化而用变量别离求解，特别如有解〔详细几个解没说
的题〕问题.
如07年广东数学高考的大题：函数2()223f x ax x a 在[-1,1]上有零点，求a
的取值范围.
显然此题看成03222
=--+a x ax 在[-1,1]上有解问题，从而别离变量：
]1,1[,23)12(2-∈-=-x x x a 显然0122≠-x ，从而]1,1[,1
2232
-∈--=
x x x
a 有解，故而a 的范围就是函数]1,1[,1
2232-∈--=
x x x
y 的值域，从而利用换元法求出
),1[]2
7
3,(+∞⋃+-
-∞∈a . 练习：
1．函数x y a log =在),2[+∞∈x 上恒有1>y ，那么a 的取值范围是
122
1
≠<<a a 且 。

2．函数3
47
2+++=kx kx kx y 的定义域是一实在数，那么k 的取值范围是
)4
3
,0[ 。

3。

不等式-2cos 2x +4sinx-k 2+k<0对一实在数x 恒成立，求参数k 的取值范围。

分析与解：所给不等式可化为：〔2 sinx+1〕2< k 2-k+3
<==>〔2 sinx+1〕2max < k 2-k+3 而〔2 sinx+1〕2max =9 ∴k 2-k+3=9，解之得：k > 3或k < -2 故k 的取值范围是〔-∞，-2〕∪〔3，+∞〕。

4。

设()()(
)⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且
n ≥2，假设()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。

分析与解：因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子()()
a n n x x x +-+++121 就必须也是正数。

并容易看出，可以将a 别离出来。

当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有
()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++x
x x x
x
x
n n n a a n n 11210121
令()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x
x x n n n x 1121 ϑ，只要对()x ϑ在(]1,∞-上的最大值，此不等式
成立即可。

故我们可以利用函数的最值别离出参数a 。

由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：
()0121>+-+++a n n x
x
x
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔x
x x n n n a 1121 ，由指数函数单
调性知上式右边的函数()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x
x x n n n x 1121 ϑ的最大值是
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n 1211 ϑ＝()n -12
1
，故 a >()n -121
5假设对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++222
2log 21log log 恒成立，务实数x 的取值范围。

分析与解：原不等式变形为()()01log 2log 1log 22
22>+-+-x x x p ，
如今考虑p 的一次函数： ()()()1log 2log 1log 22
22+-+-=x x x p p f
∴ ()0>p f 在(]2,2-∈p 上恒成立.
∴ ()()()()()()2
2222
22222log 1log 2log 1022log 1log 2log 10
f x x x f x x x ⎧-=--+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩ 解得： 8>x 或210<
<x ， ∴ x 的取值范围为()+∞⋃⎪⎭
⎫
⎝⎛,821,0 6对于⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πθ，022sin 2cos 2
<--+m m θθ恒成立，务实数m 的范围。

分析与解： 原不等式变形为： 012sin 2sin 2
<--+-m m θθ
即 012sin 2sin 2
>++-m m θθ
令 t =θsin ，[]1,0∈t ，∴ 01222
>++-m mt t ，令()t f ＝1222
++-m mt t ，
∴ 题意为()t f >0在[]1,0∈t 上恒成立。

故 ()20210210m
f m -⎧-
<⎪⨯⎨⎪=+>⎩
或220121(2)41(21)m m m -⎧
≤-≤⎪⨯⎨⎪∆=--⨯⨯+⎩或()20121112210
m g m m -⎧≤-≤⎪
⨯⎨
⎪=-++>⎩ 解得 ： 021<<-
m 或10≤≤m 或1>m ， ∴ 2
1->m ， 即 m 的取值范围为：⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-
,21 7．函数f(x)=x
a
x x ++22,x ∈),1[+∞.
〔1〕当a=
2
1
时，求函数f(x)的最小值； 〔2〕假设对任意的x ∈),1[+∞，0)(>x f 恒成立，试求a 的取值范围。

解：〔1〕当21=
a 时，221)(++=x
x x f ，)(x f 在区间[),1+∞上为增函数， )(x f ∴在区间[),1+∞上的最小值为2
7
)1(=f 〔2〕[解法一]在区间的[),1+∞上，
2)(2>++=x
a x x x f 的恒成立
22>++⇔a x x 恒成立，设
),1[,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，
∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故
3->a
[解法二]),1[.2)(+∞∈++
=x x
a
x x f ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正，当0<a 时，函数)(x f 递增，故当1=x 时，03)(min >+=a x f ，于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a
8定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意x ∈R ，务实 数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。

∵ f(x)在R 上为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数， ∴ f(x)在()+∞∞-,上为增函数 又 ∵ ()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f
∴ ()32cos -θf ＞－()θcos 24m m f -＝()m m f 4cos 2-θ ∴ m m 4cos 232cos ->-θθ 即()θθ2cos 3cos 22->-m
∵ 2－cos θ[]3,1∈， ∴ 2θθ
θθcos 2cos 24cos 22cos 32--=-->m
∴ m>θθθθcos 22cos 2cos 2cos 22--+=--]cos 22
cos 2[4θ
θ-+--=
令2－[]3,1,cos ∈=t t θ， ∴ m>4－⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+t t 2 即4－m<t t 2+
在[]3,1∈t 上恒成立，即求()t t t g 2
+=在[]3,1∈t 上的最小值 ∵ ()t t t g 2+=≥22等号成立条件t=t
2
,即[]3,12∈=t 成立， ∴ ()22min =t g
∴ 4－m<22即m>4－22，∴ m 的取值范围为〔4－22，＋∞〕 9、〔07年高考〕函数2()223f x ax x a 在[-1,1]上有零点，求a 的取值范围.。