2023年南昌市高三第三次模拟 数学(含答案)

南昌市2023年高三第三次模拟测试
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2,3,4,5,6A =,{}2|8120B x x x =
−+≥,则()A R C B =（ ）
A.{}2,3,4,5
B.{}2,3,4,5,6
C.{}3,4,5
D.{}3,4,5,6 2.若虚数z 使得2z z +是实数，则z 满足（ ）
A.实部是12−
B.实部是1
2
C.虚部是12−
D.虚部是1
2
−
3.执行如图所示的程序框图，则输出的i=（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
4.平面向量()a 2,k =
−,()b 2,4=,若a b ⊥则a b −=（ ）
A. 6
B. 5
C. D. 5.函数21
()cos f x x =+的图像大致为（ ）
6.八一广场是南昌市的心脏地带，八一南昌起义纪念塔是八一广场的标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、西、南三门各有一副反映武装起义的人物浮雕，塔身正面为“八一起义纪念塔”铜胎鎏金大字,塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成,现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为纪念塔最顶端，B 为纪念塔的基座（B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C 、D 两点，测得CD 的长为m ，已知兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB 、∠ACD 、∠BCD 、∠ADC 、∠BDC,则根据下列各组中的测量数据，不能计算出纪念塔高度AB 的是（ ）
A. m,∠ACB,∠BCD,∠BDC
B. m,∠ACB,∠BCD,∠ACD
C. m,∠ACB,∠ACD,∠ADC
D. m,∠ACB,∠BCD,∠ADC
7. “数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献。

我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法等等。

已知某数列的
通项2n 51
,26a 252
1,26
n n n n − ≠
=− = ，则1251a a a +++= A.48 B.49 C.50 D.51
8.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中A 0>,0ω>,02
π
ϕ−
<<,在已知
2
1
x x 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为 A.ω B.ϕ
C.
ϕ
ω
D.A sin ϕ 9.函数()22,0
()22,0
x e ax x f x x a x a x −> = −+−+≤ ，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[2,)−+∞，则实
数a 的取值范围是
A.e 22 − ，
B.e 2
0， C.2e 04 ， D.{}2e 0,4 +∞
10.不与x 轴重合的直线L 经过点()N N ,0x ()N 0x ≠,双曲线22
22
C 1(0,0)x y a b a b
−=>>：上存在两点A,B 关于L 对称，AB 中点M 的横坐标为M x ,若4N M x x =,则C 的离心率为
A.5
2
B.
11.已知两个全等的矩形ABCD 与ABEF 所在的平面互相垂直,AB=2,BC=1,点P 为线段CD 上的动点，则三棱锥P-ABE 的外接球体积的最小值为
A.43
π
12.设函数()()01x f x a a =
<<,g()log (1)b x x b =>,若存在实数m,n 满足：①m 1n −≤,②()()0f n g n −=,③()()0f m g m +=，则1m 2
n −的取值范围是
A.1124 −− ,
B.12 −− ，
C.3142
−−
， D.12 − 二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。

13.()5
2x y −的展开式中23x y 的系数是________________。

(用数字作答)
14.两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯发现用平面切割圆锥可以得到不同的曲线,用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支,已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边△OAB(O 为圆锥的顶点)，过OA 的中点M 作截面α与圆锥相交得到抛物线C,将C 放置在合适的平面直角坐标系中可得到方程
2y 2px =,则P=_____________________。

15.小明每天7:00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则下列说法中正确的序号是__________。

①()()P 32Y>32X P >>； ②()()P 3636X P Y ≤=≤；
③若小明计划7:30前到校，应选择坐公交车； ④若小明计划7:40前到校，应选择骑自行车。

16.已知数列{}a n 满足1a 1=,12,21a 1,2n n n a n k a n k +=
− = += 其中k *N ∈，则数列{}a n 的前2n 项和2S n
为___________________。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分.
17.（12分）在△ABC 中，AC=2,∠BAC=3
π,P 为△ABC 内的一点，满足AP ⊥CP,∠APB=23π。

（1）若AP=PC,求△ABC 的面积； （2
）若,求AP 。

18.（12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，∠ABC=120°,△PAC 为等边三角形，点Q 为棱PB 上的动点。

(1)求证：AC ⊥QD ；
(2)若PD ⊥平面ABCD,平面AQD 与平面CQD 的夹角的余弦值为19
35，求PQ QB
的值。

19.(12分)随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念,该市某中学有A,B 两个餐厅为老师和学生提供午餐和晚餐服务,王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月(30天)选择餐厅就餐情况统计如下表：
选择餐厅情况(午餐，晚餐) (A,A) (A,B) (B,A) (B,B)
王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率。

(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望E(X)；
(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >, 已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅多餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()
P |N |N M P M >。

20.(12分)已知函数() (x f x ae x a a R =−−∈）。

(1)讨论()f x 的单调性；
(2)证明：对任意()0,1a ∈,存在正数b 使得b ae a b =+,且2ln 0a b +<。

21.(12分)已知椭圆2
2
22C : 1 (0)x y a b a b +=>>的离心率为12，左、右焦点分别为1F ，2F ，过v 1F 的直线L 交C 于A,B 两点，当L ⊥x 轴时，△AB 2F 用的面积为3。

(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在定圆E,使其与以AB 为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E 的方程；若不存在，请说明理由。

(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分。

22.(10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线
L
的参数方程为44x y = =+
(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=,A 为曲线C 上一点。

(1)求点A 到直线L 距离的最大值；
(2)若点B 为直线L 与曲线C 在第一象限的交点，且7AOB 12
π
∠=，求△AOB 的面积。

23.(10分)选修4-5：不等式选讲
已知()32f x x a x a =−++−,2g()2 1 ()x x ax a R =−++∈。

(1)若2α=时，求不等式()7f x ≥的解集；
(2)若对12,x x R ∀∈,都有12()()f x g x >成立，求a 的取值范围。

理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B B A B D B C C C
D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。

13.-40 14.
1
2
15.②③④ 16.13236n
n +×−−
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.【解析】（1）在△APC 中，因为AP ⊥CP,且AP=PC,所以∠CAP=4
π
,
由AC=2,可得AP=，又∠BAC=3π,则∠BAP=3412
πππ
−=,…………2分
在△APB 中，因为∠APB=23π,∠BAP=12π,所以∠ABP=23124πππ
π−−=
, 在△APB 中，由正弦定理AB 2sin 3π
=
，解得,……………5分 ∴113
S sin 2222
ABC AB AC BAC =⋅⋅∠==△,……………6分
（2）在△ABC 中，由余弦定理得222BC 2cos AB AC AB AC BAC =+
−⋅⋅∠，
即27AB 422cos 3
AB π
=+−⋅⋅⋅，也即2AB 230AB −−=
解得
AB=3(-1舍去)，…………………………………………………7分
令∠CAP=0,3παα
∈
,则在△APC 中，AP=2cos α,
在△APB 中，∠BAP=
3π
α−,所以∠ABP=233πππαα
−
−−=
, ……9分 在△APB 中，由正弦定理得AB
AP sin APB sin ABP =∠∠
，32cos 2
sin sin 3
α
πα
=
， 解得tan α=,∵03πα
∈
，
∴6
π
α=
,则AP=2cos 2
α………………………………12分 18.【解析】（1）连接BD 交AC 于点O,连接PO,
∵PO ⊥AC, BD ⊥AC, ∴AC ⊥平面PBD,
又∵QD PBD ⊆平面，∴AC ⊥QD;………………………………………5分
（2）以点O 为原点，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，以过点O 垂直于平面ABCD
向上的方向为Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设OB=1
依据题意B(1,0,0),D(-1,0,0),P(-1,0,),A(0,设PQ PB λ=，
设平面AQD
1111DA n DQ n 2x x λ ⋅=
⋅=⋅+ 令1)x λ=−设平面CQD 2222DC n DQ n 2x x λ ⋅=+
⋅=⋅ 令2)x λ=−因此1cos n <，2n 解得1
3
λ=，即PQ 13PB =，
PQ 1Q 2B = ………………………………12分 19.【解析】（1）设事件C 为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王
同学午餐和晚餐选择不两只餐厅就餐的天数位6+12=18（天），
所以()18
P 0.630
C ==；……………………………………4分
（2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.3，
王同学午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为0.1 张老师午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.2， 张老师午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为0.4，
记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1，2；
所以()P 10.30.20.10.40.1X ==×+×=，()()P 21P 110.10.9X X =
=−==−=； 所以X 的分布列为：
X 1 2
P 0.1 0.9
所以()E 10.120.9 1.9X =×+×= …………………………………………8分 （3）证明：由题意知()()
P N |M P N |M >，
即()()(
)
()
()()()NM
P 1M
P NM P N P NM P M P M P −>=
−，即()()()P NM P N P M >⋅， 即()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM −⋅>⋅−⋅，
即()()()()
P NM P N P N P NM ⋅>⋅，所以()()(
)
()
P P NM
NM P N P N
>
，
20。

【解析】（1）()1x f x ae ′=−，
若0a ≤，则()0f x ′<，()f x 在R 单调递减，
若0a >，令()0f x ′=，得ln x a =−, ……………………………………3分
当ln x a <−时，则()0f x ′<，()f x 在()ln a −∞−，
单调递减， 当ln x a >−时，则()0f x ′>，()f x 在()ln a −+∞，
单调递增， 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 单调递减，当0a >时，()f x 在()ln a −∞−，
单调递减，在()ln a −+∞，
单调递增， ………………………………………………5分 （2）由（1）可知当01a <<时，ln 0a −>，且()f x 在()ln a −∞−，
单调递减，在()ln a −+∞，单调递增，
∵(0)0f =，∴(ln )0f a < ………………………………7分
∵1
(2ln )2ln f a a a a
−=+−，设()()1h 2ln 01x x x x x =+−<≤，
则()2
21
21h 110x x x x
′=
−+−=−−≤ ，所以()h x 在（0，1）上单调递减， 所以()()h 10x h >=
，即(2ln )0f a −>， ………………………………10分 由零点的存在性定理可知()0ln ,2ln x a a ∃∈−−，使得()00f x =， 取0b x =，则b ae a b =+，且2ln 0a b +<。

……………………………12分
21。

【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c,则1
e 2
c a ==
， 设()1F ,0c −，()2F ,0c ，()11A ,x y ，()22B ,x y ,
当L ⊥x 轴时，L 的方程为x c =−,代入椭圆方程得2
2
22c 1y a b
+=，解得2
y b a =±
， 所以222
122S 232
ABF b c c b a a =⋅⋅=⋅=△，即2b 3=，则2a =, 1c =, 所以椭圆C 的方程为：22
x 143
y += ……………………………………5分 （2）由椭圆的对称性可知，若存在满足题意的定圆E,则定圆E 的圆心E 一定在x 轴上，设
()0E 0x ，,定圆E 的半径为r,
当L 与x 轴重合时，以AB 为直径的圆的方程为224x y +=，
当L ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为()2
2914
x y ++=，
依题意003122x r x r +=− =− ，解得0059r r 443144
x x == =−=− 或
则圆E 的方程为22
22325181416416x y x y
++=++=
或，
以上证明圆22
221325181E E 416416x y x y ++=++=
2：或圆:都符合要求， 设直线L :m 1x y =−与椭圆的方程联立得22
114
3x my x y =−
+= 整理得()
2234690m y my +−−=，则1226y 34m y m +=+，1229
y 34
y m =−+，
设AB 的中点为D,则224
3m D 3434m m − ++
，，
()
2
2
121AB 34
m m +=
=+……9分 则()
2
261AB 234
m m +=+，因为13E ,04 − ，
所以212
9m 1
4DE 34m +=+， 即()
221229m 161AB 5424
3434m DE m m ++−=−=++， 即1AB r 2DE =−，所以圆221325E 416x y ++=
：与以AB 为直径的圆内切， 又∵21E ,04 −
，所以2
22
3m 34DE 34m +=+， 所以()
222223m 161AB 94243434
m DE m m +++=−=++， 即2AB r-2DE =，所以2
2181E 416x y
++=
2:与以AB 为直径的圆内切， 综上所述，存在满足条件的定圆，方程为2
2325416x y
++=
或2
2181416x y ++=
22.【解析】（
1）因为直线L
的参数方程为44x y =
=+ (t 为参数) 所以直线L 的普通广告为80x y +−=，…………………………………………2分
又曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，即28sin ρρθ=，
所以曲线C 的普通方程为228x y y +=，即()2
2416x y +−=， 又因为点A 在曲线C 上，且圆心C 到直线
L
的距离为d
，
（2）联立直线L 与曲线C 的方程22
808x y x y y +−= +=
，得2
40x x −=，解得04x =或， 因为点B 在第一象限，所以B(4,4),则点B 的极坐标为4π
，，
因为7AOB 12π∠=，则可设点A 的极坐标为7412ππρ +
，，……………………7分 又因为点A 在曲线C 上，所以7OA 8sin 4412ππρ
==+=
，
所以117S sin 442212
AOB OA OB AOB π
=⋅∠=××=+△……………10分
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
【解析】（1）当2a =时，()24f x x x =−++，
当4x ≤−时，()24227f x x x x =−−−=−−≥，解得92
x ≤−；
当42x −<<时，()2467f x x x =−++=≥无解；
当2x ≥时，()24227f x x x x =−++=+≥，解得5
2
x ≥
综上所述：95,,22x
∈−∞−+∞
； …………………………5分
（2）由题意知()max min ()f x g x >，
∵()323242f x x a x a x a x a a =−++−≥−−−+=−，即()min 42f x a =−，
又()2
222g()2111x x ax x a a a =−++=−−++≤+，即2max ()1g x a =+ ∴2421a a −>+，即22421241a a a a −>+−
>+或
解得1322a a <<−<<−或 ……………………………………………10分。