缓和曲线要素及公式介绍

11.2.1 带缓和曲线的圆曲线的测设
为了保障车辆行驶安全，在直线与圆曲线之间加入一段半径由∞逐渐变化到R的曲线，这种曲线称为缓和曲线。

目前常用的缓和曲线多为螺旋线，它有一个特性，曲率半径ρ与曲线长度l成反比。

数学表达为：
ρ∝1/l 或ρ·l = k ( k为常数)
若缓和曲线长度为l0，与它相连的圆曲线半径为R，则有：
ρ·l = R·l0 = k
目前我国公路采用k = 0.035V3（V为车速，单位为km/h），铁路采用k = 0.09808V3，则公路缓和曲线的长度为l
= 0.035V3/R ,
= 0.09808V3/R 。

铁路缓和曲线的长度为：l
11.2.2 带缓和曲线的圆曲线的主点及主元素的计算
带缓和曲线的圆曲线的主点有直缓点ZH、缓圆点HY、曲中点QZ、圆缓点YH、缓直点HZ 。

带缓和曲线的圆曲线的主元素及计算公式：
切线长 T h = q ＋(R ＋p)·tan(α/2)
曲线长 L h = 2l 0＋R ·(α－2β0)·π/180°
外矢距 E h = (R ＋p)·sec(α/2)－R
切线加长 q = l 0/2－l 03/(240R 2)
圆曲线相对切线内移量 p = l 02/(24R)
切曲差 D h = 2T h －L h
式中：α 为线路转向角；β0为缓和曲线角； 其中q 、p 、β0缓和曲线参数。

11.2.3 缓和曲线参数推导
d β = dl/ρ = l/k ·dl
两边分别积分，得：
β= l 2/(2k) = l/(2ρ)
当ρ = R 时，则 β =β0
β0 = l 0/(2R)
若选用点为ZH 原点，切线方向为X 轴，垂直切线的方向为Y 轴，建立坐标系，则： dx = dl ·cos β = cos[l 2/(2k)]·dl
dy = dl ·sin β = sin[l 2/(2k)]·dl
考虑β很小，sin β和cos β即sin(l 2/(2k))和cos(l 2/(2k))可以用级数展开，等式两边分别积分，并把k = R ·l 0 代入，得以曲线
长度l 为参数的缓和曲线方程式：
X = l －l 5/(40R 2l 02)＋……
Y = l 3/(6Rl 0)＋……
通常应用上式时，只取前一、二项，即：
X = l －l 5/(40R 2l 02)
Y = l 3/(6Rl 0)
另外，由图可知，
q = X HY －R ·sin β0
p = Y HY －R(1－cos β0)
以β0 = l 0/(2R)代入，并对sin[l 0/(2R)]、cos[l 0/(2R)]进行级数展开，取前一、二项整理可得： q = l 0/2－l 03/(240R 2)
p = l 02/(24R)
若仍用上述坐标系，对于圆曲线上任意一点i ，则i 点的坐标X i 、Y i 可以表示为：
Xi = R ·sin ψi ＋q
Yi = R ·(1－cos ψi )＋p
11.2.4 带缓和曲线的圆曲线的主点桩号计算及检核
ZH 桩号 = JD 桩号－T h
HY 桩号 = ZH 桩号＋l 0
QZ 桩号 = HY 桩号＋L/2
YH 桩号 = QZ 桩号＋L/2 = HY 桩号＋L = ZH 桩号＋l 0＋L
HZ 桩号 = YH 桩号＋l 0 = ZH 桩号＋L h
JD 桩号 = ZY 桩号－T h ＋D h （检核）
11.2.5 带缓和曲线的圆曲线的主点的测设过程：
(1)在JD 点安置经纬仪（对中、整平），用盘左瞄准直圆方向，将水平度盘的读数配到0°00′00″，在此方向量取T h ，定出ZH 点；
(2)从JD 沿切线方向量取T h －X HY ，然后再从此点沿切线垂直方向量取Y HY , 定出HY 点；
(3)倒转望远镜，转动照准部到度盘读数为α，量取T h ，定出HZ 点；
(4)从JD 沿切线方向量取T h －X HY ，然后再从此点沿切线垂直方向量取Y HY , 定出YH 点；
(5)继续转动照准部到度盘读数为（α＋180°）/2，量取E h ，定出QZ 点。

11.2.6 偏角法测设带缓和曲线的圆曲线的中桩
(一)缓和曲线的偏角计算：
tan δ = Y/X
考虑到δ很小，则tan δ≈δ，因此可得:
δ = Y/X
= l 2/(6Rl 0)
上式表明偏角δ与曲线长度的平方l 2成正比。

因此，可以得出
δi ∶δ1= l i 2∶ l 12
HY 点的偏角δ0= l 02/(6Rl 0) = l 0/(6R) =β0/3
若用整桩距进行测设时，l 2 = 2l 1 ，l 3 = 3l 1 ，…… ，由此可得:
δ1 = （l 12/ l 02）·δ0
δ2 = 22δ1
┋
δn = n 2δ1
(二)缓和曲线的偏角法测设过程：
①在ZH 点安置经纬仪（对中、整平），用盘左瞄准JD ，将水平度盘的读数配到0°00′00″；
②转动照准部到度盘读数为δ1，从ZH 点量取C ，定出1点；
③转动照准部到度盘读数为 δi ，从第i －1点量取C ，与此方向交出第i 点；
④检核，观测者将水平度盘读数放到β0/3 时，应能看到HY 桩；
⑤另一半缓和曲线在HZ 点同样过程测设。

（三)缓和曲线的偏角法测设完成后的圆曲线偏角法测设过程：
①在HY 点安置经纬仪（对中、整平），用盘右瞄准ZH ，将水平度盘的读数配到360°－ 2β0/3 ； ②转动照准部使水平度盘读数为0°00′00″，此时望远镜照准的方向为圆曲线线的切线方向，倒转望远镜；
③按照圆曲线偏角法进行测设；
④检核，如同圆曲线偏角法测设中的检核一样。

(四)直角坐标法放样过程：
①从ZY 点沿切线方向量取X 1，自此点沿垂直方向量取Y 1，定出1点
②重复依次定出i 点
③检查。

与偏角法互检。

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