湖南省中考数学 第一部分 教材知识梳理 第四单元 三角

第四单元三角形
第18课时全等三角形
湖南3年中考（2014～2016）
1．（2016永州9题4分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已
知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能
．．判定△ABE≌△ACD
（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．BD＝CE D．BE＝CD
第1题图第2题图2．（2015娄底13题3分）如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是________．（只需写一个，不添加辅助线）
3．（2015邵阳12题3分）如图，在□ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：________________．
第3题图第4题图
4．（2014长沙17题3分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝________．
（2015怀化14题4分）如图，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度数是________．5．
第5题图第6题图
6．（2015株洲15题3分）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等
的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于________．7．（2016衡阳21题6分）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE ＝∠BCF．
求证：DE＝CF．
第7题图
8．（2014衡阳23题6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
第8题图
9．（2014郴州23题8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE＝DF．
求证：AE＝CF．
第9题图
10．（2016湘西州21题8分）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．
（1）求证：△AOD≌△BOC；
（2）求证：AD∥BC．
第10题图
11．（2016怀化17题8分）如图，已知AD＝BC，AC＝BD．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
第11题图
12．（2015永州23题8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝DC，延长AD到E点，使DE＝AB．
（1）求证：∠ABC＝∠EDC；
（2）求证：△ABC≌△EDC．
第12题图
13．（2014株洲22题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．
（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值．
第13题图
答案
1．D 【解析】A．当∠B＝∠C时，在△ABE与△ACD中，
A A A
B A
C B C ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△ABE≌△ACD（ASA），
此选项不符合题意；B．当AD＝AE时，在△ABE与△ACD中，
AB AC
A A
AE AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ABE≌△ACD
（SAS），此选项不符合题意；C．当BD＝CE时，∵AB＝AC，∴AD＝AE，根据B选项可得，此选项不符合题意；D．当BE＝CD时，在△ABE与△ACD中，有AB＝AC，BE＝CD，∠A＝∠A，只满足两边及一对角对应相等的两个三角形不一定全等，此选项符合题意．
2．AD＝CD（答案不唯一）【解析】根据已知可知两个三角形已经具备了两组对应边相等，所以根据全等三角形的判定方法，可以添加一组对应边相等或两边的夹角相等，则可添加AD＝CD或∠ABD＝∠CBD．
3．△ADC≌△CBA或△DCF≌△BAE或△ADF≌△CB E(写一对即可)
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，∵AC＝CA，∴△ADC≌△CBA （SSS）；∴∠DCF＝∠BAE，∵BE∥DF，∴∠DFC＝∠BEA，又CD＝AB，∴△DCF≌△BAE（AAS）；∴DF＝BE，FC＝AE，∴CE＋EF＝AF＋EF，∴CE＝AF，∴△ADF≌△CBE（SSS）．
4．6【解析】∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，又∵BE＝CF，点B、E、C、F在同一条直线上，∴BE＋EC＝CF＋EC，则BC＝EF，又∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(SAS)，则DF＝AC＝6．5．90°【解析】在△ABE和△DAF中，∵BE＝AF，∠B＝∠FAD，AD＝AB，∴△ABE≌△DAF （SAS），∴∠FAE＝∠ADF，又∵∠FAE＋∠EAD＝90°，∴∠EAD＋∠ADF＝90°，∴∠AOD＝90°．
6．6 【解析】设AH＝x，则AE＝x＋2，由四个全等的直角三角形可得DE＝AH＝x，在Rt△DAE 中，由勾股定理得AD2＝AE2＋DE2，即102＝(x＋2)2＋x2，解得x＝6．
7．证明：∵点A、C、D、B共线，且AC＝BD，
∴AC＋CD＝BD＋CD，
∴AD＝BC．………………………………………………………………（3分）
∵∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，
∴△ADE≌△BCF，
∴DE＝CF．………………………………………………………………（6分）
8．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，……………………………………………………………（3分）
∴在△BED和△CFD中，
BED CFD B C
BD CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BED ≌△CFD （AAS ）．…………………………………………（6分） 9．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，AB ＝CD ， ∴∠ABD ＝∠CDB ，
又∵点E 、B 、D 、F 在同一直线上，
∴∠ABE ＝∠CDF ，………………………………………………………（4分） ∵BE ＝DF ，
∴△ABE ≌△CDF (SAS)，……………………………………………（6分） ∴AE ＝CF ．………………………………………………………………（8分） 10．证明：（1）∵O 是AB 的中点，
∴AO ＝BO ， 同理DO ＝CO ， ∵∠AOD ＝∠BOC ，
∴△AOD ≌△BOC (SAS)；………………………………………………（4分） （2）∵△AOD ≌△BOC ， ∴∠A ＝∠B ，
∴AD ∥BC ．………………………………………………………………（8分） 11．（1）证明：在△ADB 和△BCA 中，
AD BC BD AC AB BA =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴△ADB ≌△BCA （SSS ）；………………………………………………（4分） （2）解：相等．理由如下： 由（1）得，△ADB ≌△BCA ， ∴∠DBA ＝∠CAB ，即∠OBA ＝∠OAB ，
∴OA ＝OB ．………………………………………………………………（8分）
12．证明：（1）∵∠A ＝∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∵∠ADC ＋∠EDC ＝180°，
第12题解图
∴∠ABC＝∠EDC；………………………………………………………（3分） （2）如解图，连接AC ，在△ABC 和△EDC 中，
AB ED
ABC EDC BC DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，…………………………………………………………（7分） ∴△ABC ≌△EDC （SAS ）．………………………………………………（8分） 13．（1）证明：∵AE 是∠BAC 的平分线，EC ⊥AC ，EF ⊥AF ， ∴CE ＝EF ，
在Rt△ACE 与Rt△AFE 中，
CE EF
AE AE
=⎧⎨
=⎩， ∴Rt△ACE ≌Rt△AFE （HL ）；…………………………………………（4分） （2）解：由（1）可知△ACE ≌△AFE ， ∴AC ＝AF ，CE ＝EF ，
设BF ＝m ，则AC ＝2m ，AF ＝2m ，AB ＝3m ， ∴2222945BC AB AC m m m =
-=-=，
∴在Rt△ABC 中，tan 55
AC B BC m ∠=
==， 在Rt△EFB 中，tan 55
EF BF B m m =⋅∠==， ∴CE ＝EF ＝
2
5
m ，
在Rt△ACE中，
5
5
tan
m
CE
CAE
AC
∠===；
∴tan∠CAE＝
5
5
．………………………………………………………（8分）。