同济大学材料力学期末复习
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相应的结构许用载荷
A 1
C 2
刚杆 D
[F1]=2[FN1] =2×30＝60kN
2）CD杆的强度计算 CD杆的许用应力
B
200 [ 2 ] 100MPa n n 2 CD杆的许用轴力
0
s
F
( MPa)
500 400 300 200 100
0.02
a)
AB杆材料
[FN2 ] [ 2 ]A2 100106 400106 40kN
FN l1 Tl1 EA FN 1 3.46 6 12 10 30 3.46 200 109 1000 106 l1
B
图a
1
l 2
FN 2 l 2 EA
FN 2 3 20010 100010
9 6
A
A2 l2
300 2
代入变形方程得补充方程
能量法
2 2 2 F ( x ) dx M ( x ) dx M ( x)dx N n 应变能 U 2EA 2GI p 2EI l l l U 卡氏第二定理及应用 i Fi
i
F ( x) FN ( x) U N dx Fi EA Fi l
应力状态和强度理论
斜截面上的应力
x y
2 x y
x y
2
2 sin 2 xy cos 2
(
cos 2 xy sin 2
主应力的大小和方位
max
min
x y
2
x y
2
) 2 xy
2
tg 2 0
l 3m
A
1 2A
C
FN 1 3.46 200109 1000106 12106 30 3.46 FN 2 3 200109 1000106
代入变形方程得补充方程
FN 3l3 F 2 FN1 3 2 N3 EA EA EA
得
F N 3 ＝ 4 F N 2＋ 3F N1
（3 ）
联立（1）、（2）、（3）式，解得各杆的轴力分别为：
FN1 ＝ 7.32kN （压） ;
FN2 ＝ 8.45kN （拉）;
FN3 ＝55.8kN （拉）
根据A点的位移图，变形方程为
即
l 2 l1 l3 0 sin 30 tan 30 0
l3 2l2 3l1
（4）
建立补充方程
l1 FN1l1 FN1 3 EA EA
由虎克定律
FN 2l2 FN 2 2 l2 EA EA F l F 1 l3 N 3 3 N 3 EA EA
3、扭转与弯曲
r3 4 [ ]
2 M 2 T
强度计算
2 2 M T r3 [ ] W
2 2 M 0 . 75 T r4 [ ] W
r4 3 [ ]
2 M 2 T
4、弯曲+拉（压）+扭转
强度计算
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
即
A1＝A2＝A3＝398mm2
例
简单构架如图 a 所示。A 点为铰接，可作水平移动，但不能作竖
向移动。当 AB 杆的温度升高 30℃时，试求两杆内横截面上的应力。已知 两杆的面积均为 A ＝1000mm2 材料的线膨胀系数 α ＝12×10 －6/℃，弹性模 量E＝200GPa。 B 解 （1）画出A点的受力图（见图b） 1 因为节点A有三个未知力，而 图a 平面汇交力系只有两个独立的平衡 方程，所以本题为一次超静定问题 300 2 C 。列静力平衡方程
M nl GI p
max
M n max [ ] Wp
max
M n max [ ] GI p
ymax [ f ]
弯曲
M y IZ * FS S Z IZb
EIy" M ( x) EI M ( x)dx c l EIy M ( x)dxdx cx d
A 1
C 2
刚杆 D
B
F
( MPa)
500 400 300 200 100
0.02
a)
AB杆材料
CD杆材料
400 [ 1 ] 200MPa n n 2
0
0.2
(%)
b)
400 [ 1 ] 200MPa n n 2
AB杆的许用轴力
0
0.2
[FN1 ] [1 ]A1 200106 150106 30kN
FN1＝7.32kN （压） FN2＝8.45kN （拉） FN3＝55.8kN （拉） （5）各杆的横截面面积计算
根据题意，三杆面积相同，由杆③的
强度条件
得
FN 3 3 [ ] A3
FN 3 55.8 103 6 2 2 A3 398 10 m 398 mm [ ] 140 106
材料力学期终复习
应力
轴向 拉压
变形
L Nl EA
强度条件
刚度条件
l [l ] [ ]
N A
max
N max [ ] A
剪切
FS AS F C C AC
FS [ ] AS F C C [ C ] AC
扭转
Mn Ip
r ——相当应力
r1 1 [ ]
r 2 1 ( 2 3 ) [ ]
r 3 1 3 [ ]
组合变形
强度计算
1、斜弯曲
t max M z max M y max [ ] c max Wz Wy
tan Iz I My tan z Iy Iy Mz
２、水平冲击：
Kd 1 1
2h st
动荷系数——
Kd
v2 g st
例 结构受力如图a所示。BD杆可视为刚体，AB和CD两杆的横截面面积 分别为A1＝150mm2，A2＝400mm2，其材料的应力-应变曲线分别表示 于图b中。求（1）当F到达何值时，BD杆 开始明显倾斜（以AB杆或BC杆中的应力 A C 到达屈服极限时作为杆件产生明显变形的 1 2 标志）？（2）若设计要求安全系数 B 刚杆 D n＝2，试求结构能承受的许用载荷[F]。 解 1、求BC杆开始明显倾斜F值
2 EI Fcr ( l ) 2
临界应力总图[a]
cr
S P
粗短杆
cr a b
——直线型经验公式
2E cr 2
中柔度杆 大柔度杆
细长压杆
o
s
P
l i
临界应力总图[b]
对于
c 的非细长杆，临界应力采用抛物线公式进行计算。
E 0.57 s
l
M n ( x) M n ( x) M ( x) M ( x) dx dx GI p Fi EI Fi l
压杆稳定
临界载荷欧拉公式的一般形式:
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支 : : : :
＝ ＝ ＝ ＝
2.0 0.7 0.5 1.0
1
CD杆材料
F1 2FN1 2 60 120kN
(%)
b)
CD杆： 由图b可知，CD杆的屈服极限 s 200MPa
FN 2 s A2 200106 400106 80kN
F2 2FN2 2 80 160kN
由以上计算可知，当外力F＝F1＝120kN时， AB杆内的应力首先达到材料的屈服极限， 这时AB杆将开始产生显著的变形（伸长）， BD杆则开始明显地向左倾斜。 2、计算许用载荷[F] 1）AB杆的强度计算 AB杆的许用应力
相应的结构许用载荷为 [F2]=2[FN2]A2=2×40＝80kN
CD杆材料
3）由以上计算可知，该结构的许用载荷 [F]＝60kN.
(%)
b)
例1 如图a所示结构中三杆的截面和材 料均相同。若 F ＝60kN ，[σ ] ＝140MPa ，试 计算各杆所需的横截面面积。 解 这是一次超静定问题。 （1）画出A点的受力图（见图b） 静力平衡方程 ∑Fix＝0 ， FN1－FN2cs30°＝0 (1) ∑Fiy＝0， FN3＋FN2sin30°－F＝0 (2) （2）画节点A的位移图 根据内力和变形一致的原则，绘A点位移 图如图c所示。 （3）建立变形方程
中性轴与z 轴的夹角 变形及刚度条件
f max
tan
f y2 f z2
f z Fz I z I z tan f y I y Fy I y
f max f
2、偏心拉(压)
t max F M z max M y max [ ] 强度计算 c max A Wz Wy 2 2 iy iz ay ; az 中性轴在 z, y 轴的截距 ey ez
l
max max
M max [ ] WZ * Fs max S z max [ ] IZb
max [ ]
超静定的求解步骤：
1）根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。 2）根据变形协调条件列出变形几何方程。 3）根据物理关系写出补充方程。 4）联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。
2 xy
x y
x y
) 2 xy
2
max (
最大切应力大小和方位
min
2 x y tan 21 2 xy
1
主应力表示的 广义虎克定律
1 1 ( 2 3 ) E 1 2 2 ( 3 1 ) E 1 3 3 ( 1 2 ) E
( MPa)
500 400 300 200 100
0.02
F
a)
AB杆材料
AB杆： 由图b 可知，AB杆是塑性材料， 但由于没有明显的屈服阶段，因此以名义 屈服极限 0.2 作为它的屈服极限。
0.2 s 400MPa FN s A1 400106 150106 60kN
zl
iz
得出)
判断{确定临界力 (应力)计算公式 }
p 2 EI Fcr ( l ) 2 cr E 2
2
(1)s p
s
Fcr cr A
cr a b , (2) c cr a ' b '2 ,
强度计算
A
∑Fix＝0， FN1 cos30°＋FN2＝0
l 3m
1
(1)
FN 1
300
（2）画节点A的位移图（见图c） （3）建立变形方程
A2 l2
A
△L1＝△L2cos30°
（4）建立补充方程
△L1＝△LN1＋△LT，
A1 l1 图c
300
2A
FN 2
图b
FRA
即杆①的伸长△l1由两部份组成，△l N1表示由轴力FN1引起的变形， △lT表示温度升高引起的变形，因为△T 升温，故△lT 是正值。
x
广义胡克定律 的一般形式:
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E
xy
xy
G
yz
zx
yz
zx
G
G
强度理论的统一表达式： r [ ]
c
cr
s
2 cr s 1 中柔度杆 c
c
2E cr 2
步骤
确定长度系数 ( y和z )
计算max (由y
yl
iy
和z
Fcr cr A
稳定计算
1、安全系数法:
稳定条件：
2、折减系数法: 稳定条件：
Fcr F Fcr . nst
cr cr . nst
P F cr 13 14 A
冲击
1、自由落体冲击 动荷系数——
A 1
C 2
刚杆 D
[F1]=2[FN1] =2×30＝60kN
2）CD杆的强度计算 CD杆的许用应力
B
200 [ 2 ] 100MPa n n 2 CD杆的许用轴力
0
s
F
( MPa)
500 400 300 200 100
0.02
a)
AB杆材料
[FN2 ] [ 2 ]A2 100106 400106 40kN
FN l1 Tl1 EA FN 1 3.46 6 12 10 30 3.46 200 109 1000 106 l1
B
图a
1
l 2
FN 2 l 2 EA
FN 2 3 20010 100010
9 6
A
A2 l2
300 2
代入变形方程得补充方程
能量法
2 2 2 F ( x ) dx M ( x ) dx M ( x)dx N n 应变能 U 2EA 2GI p 2EI l l l U 卡氏第二定理及应用 i Fi
i
F ( x) FN ( x) U N dx Fi EA Fi l
应力状态和强度理论
斜截面上的应力
x y
2 x y
x y
2
2 sin 2 xy cos 2
(
cos 2 xy sin 2
主应力的大小和方位
max
min
x y
2
x y
2
) 2 xy
2
tg 2 0
l 3m
A
1 2A
C
FN 1 3.46 200109 1000106 12106 30 3.46 FN 2 3 200109 1000106
代入变形方程得补充方程
FN 3l3 F 2 FN1 3 2 N3 EA EA EA
得
F N 3 ＝ 4 F N 2＋ 3F N1
（3 ）
联立（1）、（2）、（3）式，解得各杆的轴力分别为：
FN1 ＝ 7.32kN （压） ;
FN2 ＝ 8.45kN （拉）;
FN3 ＝55.8kN （拉）
根据A点的位移图，变形方程为
即
l 2 l1 l3 0 sin 30 tan 30 0
l3 2l2 3l1
（4）
建立补充方程
l1 FN1l1 FN1 3 EA EA
由虎克定律
FN 2l2 FN 2 2 l2 EA EA F l F 1 l3 N 3 3 N 3 EA EA
3、扭转与弯曲
r3 4 [ ]
2 M 2 T
强度计算
2 2 M T r3 [ ] W
2 2 M 0 . 75 T r4 [ ] W
r4 3 [ ]
2 M 2 T
4、弯曲+拉（压）+扭转
强度计算
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
即
A1＝A2＝A3＝398mm2
例
简单构架如图 a 所示。A 点为铰接，可作水平移动，但不能作竖
向移动。当 AB 杆的温度升高 30℃时，试求两杆内横截面上的应力。已知 两杆的面积均为 A ＝1000mm2 材料的线膨胀系数 α ＝12×10 －6/℃，弹性模 量E＝200GPa。 B 解 （1）画出A点的受力图（见图b） 1 因为节点A有三个未知力，而 图a 平面汇交力系只有两个独立的平衡 方程，所以本题为一次超静定问题 300 2 C 。列静力平衡方程
M nl GI p
max
M n max [ ] Wp
max
M n max [ ] GI p
ymax [ f ]
弯曲
M y IZ * FS S Z IZb
EIy" M ( x) EI M ( x)dx c l EIy M ( x)dxdx cx d
A 1
C 2
刚杆 D
B
F
( MPa)
500 400 300 200 100
0.02
a)
AB杆材料
CD杆材料
400 [ 1 ] 200MPa n n 2
0
0.2
(%)
b)
400 [ 1 ] 200MPa n n 2
AB杆的许用轴力
0
0.2
[FN1 ] [1 ]A1 200106 150106 30kN
FN1＝7.32kN （压） FN2＝8.45kN （拉） FN3＝55.8kN （拉） （5）各杆的横截面面积计算
根据题意，三杆面积相同，由杆③的
强度条件
得
FN 3 3 [ ] A3
FN 3 55.8 103 6 2 2 A3 398 10 m 398 mm [ ] 140 106
材料力学期终复习
应力
轴向 拉压
变形
L Nl EA
强度条件
刚度条件
l [l ] [ ]
N A
max
N max [ ] A
剪切
FS AS F C C AC
FS [ ] AS F C C [ C ] AC
扭转
Mn Ip
r ——相当应力
r1 1 [ ]
r 2 1 ( 2 3 ) [ ]
r 3 1 3 [ ]
组合变形
强度计算
1、斜弯曲
t max M z max M y max [ ] c max Wz Wy
tan Iz I My tan z Iy Iy Mz
２、水平冲击：
Kd 1 1
2h st
动荷系数——
Kd
v2 g st
例 结构受力如图a所示。BD杆可视为刚体，AB和CD两杆的横截面面积 分别为A1＝150mm2，A2＝400mm2，其材料的应力-应变曲线分别表示 于图b中。求（1）当F到达何值时，BD杆 开始明显倾斜（以AB杆或BC杆中的应力 A C 到达屈服极限时作为杆件产生明显变形的 1 2 标志）？（2）若设计要求安全系数 B 刚杆 D n＝2，试求结构能承受的许用载荷[F]。 解 1、求BC杆开始明显倾斜F值
2 EI Fcr ( l ) 2
临界应力总图[a]
cr
S P
粗短杆
cr a b
——直线型经验公式
2E cr 2
中柔度杆 大柔度杆
细长压杆
o
s
P
l i
临界应力总图[b]
对于
c 的非细长杆，临界应力采用抛物线公式进行计算。
E 0.57 s
l
M n ( x) M n ( x) M ( x) M ( x) dx dx GI p Fi EI Fi l
压杆稳定
临界载荷欧拉公式的一般形式:
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支 : : : :
＝ ＝ ＝ ＝
2.0 0.7 0.5 1.0
1
CD杆材料
F1 2FN1 2 60 120kN
(%)
b)
CD杆： 由图b可知，CD杆的屈服极限 s 200MPa
FN 2 s A2 200106 400106 80kN
F2 2FN2 2 80 160kN
由以上计算可知，当外力F＝F1＝120kN时， AB杆内的应力首先达到材料的屈服极限， 这时AB杆将开始产生显著的变形（伸长）， BD杆则开始明显地向左倾斜。 2、计算许用载荷[F] 1）AB杆的强度计算 AB杆的许用应力
相应的结构许用载荷为 [F2]=2[FN2]A2=2×40＝80kN
CD杆材料
3）由以上计算可知，该结构的许用载荷 [F]＝60kN.
(%)
b)
例1 如图a所示结构中三杆的截面和材 料均相同。若 F ＝60kN ，[σ ] ＝140MPa ，试 计算各杆所需的横截面面积。 解 这是一次超静定问题。 （1）画出A点的受力图（见图b） 静力平衡方程 ∑Fix＝0 ， FN1－FN2cs30°＝0 (1) ∑Fiy＝0， FN3＋FN2sin30°－F＝0 (2) （2）画节点A的位移图 根据内力和变形一致的原则，绘A点位移 图如图c所示。 （3）建立变形方程
中性轴与z 轴的夹角 变形及刚度条件
f max
tan
f y2 f z2
f z Fz I z I z tan f y I y Fy I y
f max f
2、偏心拉(压)
t max F M z max M y max [ ] 强度计算 c max A Wz Wy 2 2 iy iz ay ; az 中性轴在 z, y 轴的截距 ey ez
l
max max
M max [ ] WZ * Fs max S z max [ ] IZb
max [ ]
超静定的求解步骤：
1）根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。 2）根据变形协调条件列出变形几何方程。 3）根据物理关系写出补充方程。 4）联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。
2 xy
x y
x y
) 2 xy
2
max (
最大切应力大小和方位
min
2 x y tan 21 2 xy
1
主应力表示的 广义虎克定律
1 1 ( 2 3 ) E 1 2 2 ( 3 1 ) E 1 3 3 ( 1 2 ) E
( MPa)
500 400 300 200 100
0.02
F
a)
AB杆材料
AB杆： 由图b 可知，AB杆是塑性材料， 但由于没有明显的屈服阶段，因此以名义 屈服极限 0.2 作为它的屈服极限。
0.2 s 400MPa FN s A1 400106 150106 60kN
zl
iz
得出)
判断{确定临界力 (应力)计算公式 }
p 2 EI Fcr ( l ) 2 cr E 2
2
(1)s p
s
Fcr cr A
cr a b , (2) c cr a ' b '2 ,
强度计算
A
∑Fix＝0， FN1 cos30°＋FN2＝0
l 3m
1
(1)
FN 1
300
（2）画节点A的位移图（见图c） （3）建立变形方程
A2 l2
A
△L1＝△L2cos30°
（4）建立补充方程
△L1＝△LN1＋△LT，
A1 l1 图c
300
2A
FN 2
图b
FRA
即杆①的伸长△l1由两部份组成，△l N1表示由轴力FN1引起的变形， △lT表示温度升高引起的变形，因为△T 升温，故△lT 是正值。
x
广义胡克定律 的一般形式:
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E
xy
xy
G
yz
zx
yz
zx
G
G
强度理论的统一表达式： r [ ]
c
cr
s
2 cr s 1 中柔度杆 c
c
2E cr 2
步骤
确定长度系数 ( y和z )
计算max (由y
yl
iy
和z
Fcr cr A
稳定计算
1、安全系数法:
稳定条件：
2、折减系数法: 稳定条件：
Fcr F Fcr . nst
cr cr . nst
P F cr 13 14 A
冲击
1、自由落体冲击 动荷系数——