2 向量组的线性相关性

b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
注意
也可用矩阵形式表示：
1若所给向量均为行向量， 则有 2若所给向量均为列向量， 则有
返回
上一页
下一页
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
§3 向量组间的关系
1 每一个向量组都可以经它自身线性表出。 2 如果向量组 可以经向量组 线性表出，向量组 可以经向量组 线性表出，那么向量组 可以经向量组 线性表出。
( 1 , 2 , s ) ( b 1 , b 2 , b t )K ts ( b 1 , b 2 , b t ) ( 1 , 2 , p )K pt ( 1 , 2 , s ) ( b 1 , b 2 , b t )K ts ( 1 , 2 , p )K pt K ts ( 1 , 2 , p )K ps
即 可由
线性表出。
返回 上一页 下一页
设
为任意两个表达式。
且
线性无关
得到 l1=h1, l2=h2, …，lt=ht 因此表示式是唯一的。
返回
上一页
下一页
定理3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相 关。 证 设向量组 有一个部分组线性相关。 设这个部分组为 k1,k2, …,kr，使 。则有不全为零的数
知识点小结1
知识点小结2
① ② ③ ④
对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关． 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． 一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关．
⑤ 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量 组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何 一个部分组都线性无关． ⑥ ⑦ ⑧ 两向量线性相关两向量对应成比例 两向量线性无关两向量不对应成比例 几何上：两向量线性相关两向量共线； 三向量线性相关三向量共面.
当且仅当
所以
和
有相同的线性相关性。
返回 上一页 下一页
定理5
在r维向量组 。 线性相关，
的各向量添上n-r个分
量变成n维向量组 (1)如果 那么 (2)如果 那么 证
也线性相关。 线性无关， 也线性无关。
对列向量来证明定理。
返回
上一页
下一页
如果
线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使
因此,
也线性相关,即(1)式成立。
仅考虑 Kx 0,
由于ｒ＞ｓ 所以Ｋ构成的列向量线性相关.
(当m>n时,m个n维向量必线性相关) 故 Kx 0有非零解.
亦即 x x1
x2
xr 0
T
所以Ａ线性相关.
推论1 如果向量组 线性表出，且 推论2
，可由向量组 线性无关，那么 。
两个线性无关的等价的向量组必含有相同个
当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非 零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
当 为列向量时，它们线性相关就是指有非 零的s×1矩阵 ，使
例3 判断向量组 解
的线性相关性。
假设存在一组常数k1,k2,…,kn 使得
所以
即 k1=k2=…=kn=0
因此 线性关。
返回 上一页 下一页
例5
设向量组
2. 对于任一向量组 , 不是线性无关就是 线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例，几何意 义 是两向量共线；三个向 量相关的几何意义是三 向 量共面.
二、线性相关性的判断准则 定理 向量组线性无关齐次线性方程组 x11 x2 2 xr r 0 只有零解； 定理 向量组线性相关齐次线性方程组. x11 x2 2 xr r 0 有非零解 推论 推论 定理 定理 ｎ个ｎ维向量线性无关 aij 0 . ｎ个ｎ维向量线性相关 aij 0.
因此
也线性相关。
推论
含有零向量的向量组必线性相关。
返回 上一页 下一页
定理4 设p1,p2, …,pn为1，2，…，n的一个排列，
和
为两向量组，其中
即 是对 各分量的顺序进行重 排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线 性相关性。
证 对任意的常数k1,k2,…,ks，
返回 上一页 下一页
上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
定义 设两向量组 A : 1 , 2 , , r，B : b1 , b 2 , , b s . 若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示， 则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示. 即存在矩阵 若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价. 向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性. 定义 设ｎ维向量组 A : 1 , 2 , , r ，如果存在不全 为零的数 k1，k2， , kr ，使得 k11 k2 2 kr r 0, 则称向量组 A : 1 , 2 , , r 线性相关. 反之，若当且仅当 k1 = k2 = kr 0 ，才有 k11 k2 2 kr r 0, 则称向量组 A : 1 , 2 , , r 线性无关
b j k1j1 k 2 j2 k sjs
k 1j k2j （ 1 , 2 , , s ) , k sj
k 11 k 12 k 1t k 21 k 22 k 2 t （b1, b 2 ,, b t ) （ 1 , 2 , , s ) k k k s2 st s1
，
线性无关，
，试证向量组
，
也
线性无关。 证 假设存在一组常数k1,k2,k3 使得
由
线性无关，故有
由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0
所以
线性无关。
返回
上一页
下一页
定理1 向量组 （s≥2）线性相关的充要条件 是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。 证 充分性：设 中有一个向量能由其他向 量线性表出，不妨设
如果
有
向量组
中每一个向量都可以经向量组
线性表出。因而，向量组
可以经向量组
线性表出。
返回 上一页 下一页
向量组的等价具有下述性质：
(1)反身性：向量组
(2)对称性:如果向量组 那么 也与 (3)传递性:如果向量组 而向量组 向量组 又与 与
与它自己等价；
与 等价。 与 等价,那么 等价 等价，
等价，
所以 线性相关。 必要性：如果 线性相关，就有不全为零的 数k1,k2,…,ks，使
设k1≠0,那么
即
能由
上一页 下一页
线性表出。 返回
例如，向量组
是线性相关的，因为
对于只有两个向量 ，b的向量组，由定理可得，，
b线性相关的充分必要条件是， b的对应分量成比
例。
返回
上一页
下一页
． • 例 讨论向量组
定理8
如果向量组
可由 线性相关。
线性
表出且r>s，那么
证：设 x11 x2 2
即 1 2
xr r 0 x1 x r 2 0. 记 Ax 0 xr
返回
上一页
下一页
又Ａ可由Ｂ线性表示，则
Ax 0 BKx 0
利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。
返回
上一页
下一页
定理6 设A是一个n阶方阵,则A的行（列）向量组线性 相关的充分必要条件是 A 0
推论 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的行（列） 向量组线性无关.
定理7 当m>n时,m个n维向量必线性相关。
( 因为 r (A) min (m , n) = n < m )
从而
矩阵Kst (k ij )称为这一线性表示的系 数矩阵 .
如果向量组
中每个向量都可以由
线性表出 则必存在 k st使
如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们等价。
( b 1, b 2 , b t ) (1, 2 , s )K st (1, 2 , s ) ( b 1, b 2 , b t )K ts
§2 向量组的线性相关性
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合，
个线性组合的系数 .
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
因其系数行列式
2 1
3
2 1 5
D 3 2 2 3 1 5 0 1 1 1 1 0 0
所以方程组有非零解，从而 1 , 2 , 3 线性相关．
定理2
设向量组
线性无关，而向量组
线性相关，则
能由向量组
线性表出，且表示式是唯一的。 证 由于 线性相关，就有不全为零的 数k1,k2,…, kt,k，使 由 （否则， 线性无关有k≠0。 线性相关）
2 1 3 1 3 , 2 , 2 3 2 1 1 1
的线性相关性． 解 设有一组数 x1 , x2 , x3 ，使
x11 x22 x33 0
• 则有方程组
2 x1 x2 3 x3 0, 3 x1 2 x2 2 x3 0, x x x 0. 1 2 3
数的向量。
返回
上一页
下一页
定理2
向量组 1 , 2 , , m 线性相关的充分必要
条件是它所构成的 矩阵 A ( 1 , 2 , , m )的秩小 于向量个数 m ;向量组线性无关的充分必要条件是 R( A ) m .
知识点小结1
若α＝kβ，则称向量α与β成比例． 零向量Ｏ是任一向量组的线性组合． 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． an 都是基本向量组 任一ｎ维向量 a1 a2 1 1 0 0 ， 2 0 1 0 ， ， n 0 0 1， 的一个线性组合．事实上，有 a1 1 a2 2 an n . ⑤ 向量β可由 A : 1 , 2 , , m 线性表示， x1 x 2 m b 有解. 即方程组 1 2 xm ① ② ③ ④
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当 注意
1 n 0时, 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
推论 n+1个n维向量必线性相关。
返回 上一页 下一页
§3 向量组间的关系
定义7 如果向量组 中每个向量都可以由
线性表出，就称向量组
线性表出，就称它们等价。
可由
线性表出，如果两个向量组互相可以
返回
上一页
下一页
若 记A （ 1 , 2 , , s )和B （b 1 , b 2 , , b t ).B 能 由A线 性 表 示 ， 即 对 每 个 量 向b j ( j 1,2, , t )存 在 数k 1j , k 2 j ,k sj , 使
返回

若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 性独立） .
结论
其 中A ( 1 , 2 , m ).
1向 量 组 A线 性 相 关 就 是 齐 次 线 方 性程组 x1 1 x 2 2 x m m 0, 即 Ax 0有 非 零 解 . 2向量组 A线 性无关 就 是 齐 次 线 性 方 程 组 x1 1 x 2 2 x m m 0, 即 Ax 0只有 零 解 .