2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 Word版含答案.docx

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定
是高考的重点；命题的真假判断常以函数、
不等式为载体，考查学生的推理判断能力，
题型为选择、填空题，低档难度.
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p q p且q p或q非p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称语言表示符号表示命题的否定
全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)
知识拓展
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．
(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．
(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．(√)
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)
(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)
(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(×)
(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)
题组二教材改编
2．[P18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
答案B
解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是_______________________________．
答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形
题组三易错自纠
4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，
从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A. 5．下列命题中， 为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0
B ．∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＝－1
C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0
D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A
6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 1
解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π
4上是增函数， ∴y max ＝tan π
4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.
∴m 的最小值为1.
题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝
1
3x＋1的值域
为(0,1)，则下列命题是真命题的为()
A．p∧q B．p∨q
C．p∧(綈q) D．綈q
答案B
解析函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．
由3x>0，得0<1
3x＋1
<1，
所以函数y＝1
3x＋1的值域为(0,1)，
故命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B. 2．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案B
解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.
∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．
∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，
此时a2＜b2，
∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．
∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.
3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
答案 ②
解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；
(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －
1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2
答案 B
解析 当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.
命题点2 含一个量词的命题的否定
典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x
＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x
≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ≤0
答案 D
解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．
(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R,1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D
解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝3
2
B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1
C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0
D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B
解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<3
2，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0， ∴∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；
当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B.
(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ， －x 0－1≤0”，则綈p 为( )
A ．∃x 0∈R ， －x 0－1≥0
B ．∃x 0∈R ， －x 0
－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. 题型三 含参命题中参数的取值范围
典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)
解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a
4
≤3，即a ≥－12.
∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．
0e
x 00e x
(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭
⎫1
4，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝1
4－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，
得0≥14－m ，所以m ≥14.
引申探究
本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞
解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝1
2－m ，
由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥1
2
.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋1
2≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1)
答案 B
解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋1
2＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2
－4×2×1
2
＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.
(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2
＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m
的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)
B ．(－∞，－2]
C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D ．[－2,2]
答案 A
解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q
是假命题时，
则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2. 因此由p ，q 均为假命题，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.
常用逻辑用语
考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断
典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立． 答案 B
(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p ：∀x ∈R,3x <5x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下
列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q )
D ．(綈p )∧(綈q )
解析 若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题， ∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题， ∴(綈p )∧q 是真命题． 答案 B
二、充要条件的判断
典例2 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
⎪
x 2＋x
x －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析 x 2＋x x －1≥0等价于x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，
解得－1≤x ≤0或x >1.
由log 3(2x ＋1)≤0，得0<2x ＋1≤1，得－1
2<x ≤0.
∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B. 答案 B
(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|
2＝2.
当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 答案 C
三、求参数的取值范围
典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．
解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]． 答案 [e,4]
(2)已知函数f (x )＝x ＋4
x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，
∴f (x )≥2 x ·4
x
＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0. 答案 (－∞，0]
1．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a 2>b 2”是“a >b ”的充要条件，则下列判断正确的是( ) A ．p ∨q 为真 B ．p ∧q 为真 C ．p 真q 假 D ．p ∨q 为假
答案 D
解析 ∵p 假，q 假，∴p ∨q 为假．
2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π
2对
称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真
答案 C
解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π
2不是y ＝cos x 的对称
轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.
3．(2017·唐山一模)已知命题p ：∃x 0∈N ，x 30<x 20；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )
＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则下列判断正确的是( ) A ．p 假q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 假 D ．p 真q 真
答案 A
解析 对∀x ∈N ，x 3≥x 2，∴p 假， 又当x ＝2时，f (2)＝log a 1＝0， ∴f (x )的图象过点(2,0)，∴q 真．
4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )
A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )
B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )
C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)
D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0) 答案 C
解析 由题意知∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)是
真命题．
5．(2017·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0
＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )
A ．p ∧(綈q )
B ．(綈p )∧q
C ．p ∧q
D ．(綈p )∨q 答案 A
解析 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174
＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得02x ＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(綈q )为真命题，故选A.
6．已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则下列结论正确的是( )
A ．p ∧q 是真命题
B ．p ∧q 是假命题
C ．綈p 是真命题
D ．綈q 是真命题 答案 A
解析 对于p ：取α＝π2
，则cos(π－α)＝cos α， 所以命题p 是真命题；
对于命题q ：因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，所以q 是真命题．
由此可得p ∧q 是真命题．
7．下列命题中，真命题是( )
A ．∃x 0∈R ， ≤0
B ．∀x ∈R,2x ＞x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b
＝－1 D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件
答案 D
解析 因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；
因为当x ＝－5时，2－
5＜(－5)2，所以B 不正确；
“a b
＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．
8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,4]
B ．[0,4] 0e x
C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 D 解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，
所以綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，
则a ＜0或⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．命题“∃n 0∈N ，n 20＞02n
”的否定是________________． 答案 ∀n ∈N ，n 2≤2n
10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.
答案 0
解析 若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.
11．以下四个命题：
①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；
④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．
答案 0
解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，
∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，
∴①为假命题；
当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，
∴不存在x 0∈Q ，使得x 20＝2，∴②为假命题；
对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；
4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，
即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
故真命题的个数为0.
12．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋
152
a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____________．
答案 ⎝⎛⎭
⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式
x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152
a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152
a <0， 解得a >56
，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞.
13．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．
答案 [－1,6]
解析 p ：－4<x －a <4等价于a －4<x <a ＋4；
q ：(x －2)(3－x )>0等价于2<x <3.
又綈p 是綈q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4>3，或⎩⎪⎨⎪⎧
a －4<2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. 14．下列结论：
①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b
＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，
所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；
②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；
③正确，所以正确结论的序号为①③.
15．已知命题p ：∃x 0∈R ，e 0x －mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．
由e x
－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x
，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x
x 2
， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x
在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x
在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x
的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.
所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.
16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1
(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；
(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．
答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]
解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1
＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．
(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。