事件的相互独立性 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

－
B.
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课堂精炼
【训练 3】 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是 0.96，乙机 床的次品率是 0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件是正品的概率.
解 用 A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用 B 表示“从乙机床生产的 产品中抽得正品”，用 C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用 D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”， 则 C＝(AB－)∪(A－B)，D＝C∪(AB). (1)由题意知，A 与 B 是相互独立事件，
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课堂精炼
【训练 3】 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是 0.96，乙机 床的次品率是 0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件是正品的概率. (3)由于事件 AB 与 C 互斥， 所以 P(D)＝P[(AB)∪C]＝P(AB)＋P(C)
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课堂精讲
【例 2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8， 乙射中的概率为 0.9，求： (1)2 人都射中目标的概率； (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率； (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率； (4)2 人至多有 1 人射中目标的概率. (4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人都未射中”两种情况， 故所求概率为 p＝P(A－ B－)＋P(AB－ )＋P(A－B) ＝P(A－ )·P(B－ )＋P(A)·P(B－ )＋P(A－ )·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
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课堂精讲
两种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验 P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
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课堂精炼
【训练 1】 掷一枚正方体骰子一次，设事件 A：“出现偶数点”， 事件 B：“出现 3 点或 6 点”，则事件 A，B 的关系是( ) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
p2＝1－P(A－
－
B
C－)＝1－P(A－ )P(B－)P(C－)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
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课堂精讲
【迁移】 (变问法)在例 3 条件下，求恰有一列火车正点到达的概率.
解
恰有一列火车正点到达的概率
p3＝P(AB－
C－ )＋P(A－ BC－ )＋P(A－
10.2 事件的相互独立性
数学
1
10.2 事件的相互独立性
题型一 相互独立事件的判断
数学
2
知识梳理
1.相互独立事件 对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝__P_(_A_)_P_(_B_)___成立，则称 事件 A 与事件 B 相互独立，简称为__独__立____.
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课堂精讲
【例 1】 从一副扑克牌(除去大小王，共 52 张)中任抽一张，设 A＝“抽到老 K”，B＝“抽得红牌”，判断事件 A 与 B 是否相互独立？是否互斥？是否对 立？为什么？ 解 由于事件 A 为“抽得老 K”，事件 B 为“抽到红牌”，且抽得 红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K，即有可能抽到老 K， 故事件 A，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件， 更不是对立事件， 以下考虑它们是否互为独立事件： 抽到老 K 的概率为 P(A)＝542＝113，
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课堂精讲
【例 1】 从一副扑克牌(除去大小王，共 52 张)中任抽一张，设 A＝“抽到老 K”，B＝“抽得红牌”，判断事件 A 与 B 是否相互独立？是否互斥？是否对 立？为什么？
抽到红牌的概率 P(B)＝2562＝12， 故 P(A)P(B)＝113×12＝216，
事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽得红牌”，亦即“抽到红桃老 K 或方块老 K”， 故 P(AB)＝522＝216，从而有 P(A)·P(B)＝P(AB) 因此 A 与 B 互为独立事件.
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课堂精讲
【例 2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8， 乙射中的概率为 0.9，求： (1)2 人都射中目标的概率； (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率； (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率； (4)2 人至多有 1 人射中目标的概率. (2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况： 一种是甲射中、乙未射中(事件 AB－发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A－B 发生).根据题意， 事件 AB－与A－B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法 公式，所求的概率为
＝0.912＋0.086＝0.998.
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课堂小结
1.通过学习事件独立性的含义，培养数学抽象素养.通过利用独立性计算概
率，提升数学运算素养.
2.相互独立事件与互斥事件的区别
k
q
n
k
b(k;n,p )
C
k n
p
k
q
n
k
,k
0,1,2 ,n
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课堂精讲
【例 3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的
三列火车正点到达的概率分别为 0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是
否正点到达互不影响.求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 解 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件， 则 P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以 P(A－)＝0.2，P(B－)＝0.3，P(C－)＝0.1. (1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 p1＝P(A－ BC)＋P(AB－C)＋P(ABC－)
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课堂精讲
【例 2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8， 乙射中的概率为 0.9，求： (1)2 人都射中目标的概率； (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率； (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率； (4)2 人至多有 1 人射中目标的概率. P(AB－ )＋P(A－ B)＝P(A)·P(B－ )＋P(A－ )·P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26. (3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人射中”两种情况,其概率为 p＝P(AB)＋[P(AB－ )＋P(A－ B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
一般地，已知两个事件 A，B，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B 中至少有一个发生为事件 A＋B.
(2)A，B 都发生为事件 AB.
(3)A，B 都不发生为事件A－
－
B.
(4)A，B 恰有一个发生为事件 AB－＋A－B.
(5)A，B 中至多有一个发生为事件 AB－＋A－B＋A－
概率公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P(A·B)=P(A)·P(B)
2.相互独立事件的性质
如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与B－，A－与 B，A－与B－也__相__互__独__立___.
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课堂精讲
【例 2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8， 乙射中的概率为 0.9，求： (1)2 人都射中目标的概率； (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率； (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率； (4)2 人至多有 1 人射中目标的概率. 解 设“甲射击 1 次，击中目标”为事件 A，“乙射击 1 次，击中目标”为事件 B， 则 A 与 B，A－与 B，A 与B－，A－与B－为相互独立事件. (1)2 人都射中目标的概率为 P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
因此，事件 A 与 B 相互独立.当“出现 6 点”时，事件 A，B A
同时发生，
所以 A，B 不是互斥事件.
B
答案 B
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10.2 事件的相互独立性
题型二 相互独立事件同时发生的概率
数学
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知识梳理
1、互斥事件与孤立事件的区别
互斥事件
相互独立事件
定义 不可能同时发 事件A是否发生对事件B 生的两个事件 发生的概率没有影响
解析
事件 A＝{2，4，6}，事件 B＝{3，6}，事件 AB＝{6}，样
A
本点空间 Ω＝{1，2，3，4，5，6}.
B
所以 P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝61＝12×13，
即 P(AB)＝P(A)P(B)，
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课堂精炼
【训练 1】 掷一枚正方体骰子一次，设事件 A：“出现偶数点”， 事件 B：“出现 3 点或 6 点”，则事件 A，B 的关系是( ) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥
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课堂精讲
【例 3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的 三列火车正点到达的概率分别为 0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是 否正点到达互不影响.求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
＝P(A－ )P(B)P(C)＋P(A)P(B－ )P(C)＋P(A)P(B)P(C－ ) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
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课堂精讲
解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若 A，B 相互独立，则A－与 B，A 与B－ ，A－与B－也是相互独立的，代入相互独立 事件的概率公式求解.
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课堂精炼
【训练 2】 设事件 A 与事件 B 相互独立，两个事件中只有 A 发生
的概率与只有 B 发生的概率都是14，求 P(A)、P(B).
－
BC)
＝P(A)P(B－)P(C－)＋P(A－)P(B)P(C－)＋P(A－)P(B－ )P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
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课堂精讲
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一
个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验，若试验共进行 n 次，
即称为 n 重独立重复试验。
n 重伯努利试验中事件 A 恰好出现 k 次的概率简记为 b(k;n,p),则 P(Bk)=
P(A1 A2 Ak Ak 1 An A1 A2 A A n k n k 1 An)
C
k n
p
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课堂精炼
【训练 3】 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是 0.96，乙机
床的次品率是 0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率. P(B)＝1－P(B－ )＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96， 所以两件都是正品的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912. (2)由于事件 AB－与A－B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为 P(C)＝P[(AB－ )∪(A－ B)]＝P(AB－ )＋P(A－ B)＝P(A)P(B－ )＋P(A－ )P(B) ＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.
解得PP（（AB））＝＝1212，.
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10.2 事件的相互独立性
题型三 相互独立事件概率的综合应用
数学
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知识梳理
n 重独立重复试验(n 重伯努利试验) ：
试验模型的特点：
(1)每次试验都在相同条件下进行；
(2)各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立; (3)每次试验有且仅有两种结果：A 发生或 A－发生； (4)每次试验的结果发生的概率相同，即 P(A)=p，P(A－ )=1-p=q
解
只有 A 发生，即 AB－发生；只有 B 发生，即A－B 发生.因为 A，B 相互独立，
所以A－与 B，B－ 与 A 也相互独立.
所以 P(AB－)＝P(A)P(B－)＝P(A)[1－P(B)]＝41， P(A－ B)＝P(A－ )P(BPP（ （AA） ）PP（ （BB） ）＝ ＝4141， .