海门市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

海门市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若命题p ：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，命题q ：∀x ∈R ，
＜x ，则下列说法正确的是（
）
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧（￢q ）是真命题
C ．命题p ∧q 是真命题
D ．命题p ∨（￢q ）是假命题
2． 设方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数为m ，则m 不可能等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4． 已知全集，，，则（
）
{}1,2,3,4,5,6,7U ={}2,4,6A ={}1,3,5,7B =()U A B = ðA ．
B ．
C ．
D ．{}2,4,6{}1,3,5{}2,4,5{}
2,55． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 对于函数f （x ），若∀a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可构造三角形函数”，已知函数f （x ）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（
）
A ．C ．D ．
7． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（
）尺布．
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（
）
A ．导函数为
B ．函数f （x ）的图象关于直线对称
C ．函数f （x ）在区间（﹣
，
）上是增函数
D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移
个单位长度得到
9． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（
）
A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．∁I M ∪∁I N
D ．∁I M ∩∁I N
10．已知a n =（n ∈N *），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）
A ．a 1，a 30
B ．a 1，a 9
C ．a 10，a 9
D ．a 10，a 30
11．已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（
）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
12．若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足约束条，则z=
的最小值为 ．
14．设变量满足约束条件，则的最小值是，则实数y x ,22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
22
(1)3(1)z a x a y =+-+20-a =
______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．在中，已知角的对边分别为，且，则角ABC ∆C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B 为
.
16．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
17．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．
18．（文科）与直线垂直的直线的倾斜角为___________．
10x +-=三、解答题
19．如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=，M 为BC 的中点．
（Ⅰ）证明：AM ⊥PM ； （Ⅱ）求点D 到平面AMP 的距离．
20．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足=+1（n ≥2）．
（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（n ∈N *），求使不等式b 1+b 2+…+b n ＞
成立的最小正整数n ．
21．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形是一个观光区的平面示意图，其中为
，半AOB AOB ∠23
π
径为，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口到出口的观光道路，道路由圆弧
OA 1km A B 、线段及线段组成．其中在线段上，且，设．
AC CD BD D OB //CD AO AOC θ∠=（1）用表示的长度，并写出的取值范围；θCD θ（2）当为何值时，观光道路最长？
θ
22．（本题满分12分）已知向量，，，记函数(sin cos ))a x x x =+ )cos sin ,(cos x x x -=R x ∈.
x f ⋅=)(（1）求函数的单调递增区间；
)(x f （2）在中，角的对边分别为且满足，求的取值范围.
ABC ∆C B A ,,c b a ,,C a c b cos 22=-)(B f 【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，但突出了基础知识的考查，仍属于容易题.
23．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：
生二胎不生二胎合计
70后301545
80后451055
合计7525100
（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
参考数据：
P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.005
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
24．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
x x1x2x3
ωx+φ0π2π
Asin（ωx+φ）+B00﹣0
（Ⅰ）请求出表中的x1，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量与夹角θ的大小．
海门市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；
x＜0时，＜x无解，∴命题q是假命题；
∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；
故选：B．
【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．
2．【答案】A
【解析】解：方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数，
作函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象如下，
，
结合图象可知，
m的可能值有2，3，4；
故选A．
3．【答案】A
【解析】解：设=t∈（0，1]，a n=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），
∴a n=5t2﹣4t=﹣，
∴a n∈，
当且仅当n=1时，t=1，此时a n取得最大值；同理n=2时，a n取得最小值．
∴q﹣p=2﹣1=1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【答案】A
考点：集合交集，并集和补集．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
5．【答案】B
【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），
设异面直线BE与AC所成角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
6．【答案】D
【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）==1+，
①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．
③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．
综上可得，≤t≤2，
故实数t的取值范围是[，2]，
故选D．
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
7．【答案】D
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m
则由题意知，
解得d=．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．　
8．【答案】B
【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣）•2=﹣6sin（2x﹣），A错误；
对于B，当x=时，f（）=3cos（2×﹣）=﹣3取得最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对称，B正确；
对于C，当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），
函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；
对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x﹣）=3co s（2x﹣）的图象，
这不是函数f（x）的图象，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
9．【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，
∴M∪N={1，2，3，6，7，8}，
M∩N={3}；
∁I M∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}；
∁I M∩∁I N={2，7，8}，
故选：D．
10．【答案】C
【解析】解：a n==1+，该函数在（0，）和（，+∞）上都是递减的，
图象如图，
∵9＜＜10．
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9．
故选：C．
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，是基础题．
11．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
12．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，
即a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z==32x+y，
设t=2x+y，
则y=﹣2x+t，
平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，
此时t最小．
由，解得，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
14．【答案】2
【解析】
15．【答案】4
π
【
解
析
】
考
点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是，消去多余的变量，从而解出角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三︒180B 角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出
2016现.
16．【答案】　充分不必要　
【解析】解：∵复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）=a+2+（a ﹣2）i ，∴在复平面内对应的点M 的坐标是（a+2，a ﹣2），若点在第四象限则a+2＞0，a ﹣2＜0，∴﹣2＜a ＜2，
∴“a=1”是“点M 在第四象限”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．
17．【答案】　2　．
【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），
∴z=，∴|z|===2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．
π
18．【答案】
3
【解析】
π
3
考点：直线方程与倾斜角．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA
∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理得EM=，AM=，AE=3
∴EM2+AM2=AE2，∴∠AME=90°
∴AM⊥PM
（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V P﹣ADM=V D﹣PAM
∴
而
在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=
∴
∴
∴，即点D到平面PAM的距离为
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n≥2），
所以是首项为1，公差为1的等差数列，…
则=1+（n﹣1）1=n，…
从而S n=n2．…
当n=1时，a1=S1=1，
当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
因为a1=1也符合上式，
所以a n=2n﹣1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n===，…
所以b1+b2+…+b n=
==，…
由，解得n＞12．…
所以使不等式成立的最小正整数为13．…
【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想　
21．【答案】（1）;（2）
设当时，取得最大值，即当cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
∴6πθ=()L θ6πθ=时，观光道路最长.
【解析】试题分析：（1）在中，由正弦定理得：OCD ∆sin sin sin CD OD CO
COD DCO CDO
==
∠∠∠
，2cos 3CD πθθθ⎛⎫
∴=-=+ ⎪⎝⎭
OD θ
=
1sin 03OD OB π
θθθ<<∴<<<
cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
∴=+∈ ⎪
⎝⎭
（2）设观光道路长度为，()L θ则()L BD CD AC θ=++弧的长
= = ，1cos θθθθ++cos 1θθθ++0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∴()sin 1L θθθ=-+'
由得：，又()0L θ'=sin 6πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭0,3πθ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
6πθ∴=列表：
θ
0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
6
π
,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()L θ'+
-
()
L θ↗极大值↘
当时，取得最大值，即当时，观光道路最长.
∴6
π
θ=
()L θ6
π
θ=
考点：本题考查了三角函数的实际运用
点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。

如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。

除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题22．【答案】
【解析】（1）由题意知，)cos )(sin cos (sin 2
3
cos sin )(x x x x x x b a x f +-+
=⋅=……………………………………3分3
2sin(2cos 232sin 21π-=-=x x x 令，，则可得，.2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k Z k ∈12
512
π
ππ
π+
≤≤-
k x k Z k ∈∴的单调递增区间为（）.…………………………5分)(x f ]12
5,12
[π
ππ
π+
-
k k Z k ∈
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X ～B （3，），
P （X=0）==
，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==，
其分布列如下：
X 01
2
3
P
（每算对一个结果给1分）
∴E（X）=3×=2．
（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，
K2==≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由条件知，，，
∴，，
∴，．
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，
∴，
∵函数g（x）在区间[0，m]（m∈（3，4））上的图象的最高点和最低点分别为M，N，
∴最高点为，最低点为，∴，，∴，又0≤θ≤π，∴．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，向量夹角公式的应用，属于基本知识的考查．。