《一元二次方程的解法》课件

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课题 2.2 一元二次方程(1)
教学目标1、掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.
2、会用因式分解法解一元二次方程.
教学设想【教学重点】用因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】例3方程中含有无理系数,需将常数项2看成()22,才能分解因式,是本节教学的难点.
教学程序与策略
一、复习引入
1、将下列各式分解因式:
22222
(1)3(2)49(3)(34)(43)(4)222
y y x x x x x
------+
教师指出:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.
2、你能利用因式分解解下列方程吗?(例1)
22
(1)30(2)2516
x x x
-==
请中等学生上来板演,其余学生写在练习本上,教师巡视.之后教师指出:像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(板书课题)
二、新课学习
1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤:
教师首先指出:当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时,用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤:(板书)
①若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;
②将方程的左边分解因式;
③根据若M·N=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次
方程.
2、讲解例2.
(1)解下列一元二次方程:
22
(1)(5)(32)10(2)2(2)(34)(43)
x x x x x x x
--=-=--=-
(3)
教师在讲解中不仅要突出整体的思想:把x-2及3x-4和4x-3看成整体,还要突出化归的思想:通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演,示范表述格式,强调两个一元一次方程之间的连结词要
用“或”,而不能用“且.
(2)想一想:将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左、右两边,等式成立吗?
教 学 程 序 与 策 略
(3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型:
①先变形成\一般形式,再因式分解:
②移项后直接因式分解.
在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式,然后再考虑化简后能否分解因式.
讲解例3. 解方程2222x x =-
在本例中出现无理系数,要注意引导学生将将常数项2看成
()2
2,另外对于方程中出现两个相等的根,教师要做好板书示范.
3、补充例4 若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗? 首先让学生设出未知数,列出方程(2x x =),再让学生求解.根据学生的求解情况强调:对于此类方程不能两边同时约去x ,因为这里的x 可以是0.
三、巩固练习
课本第31页课内练习.
四、体会和分享
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗?
先由学生自由发言,教师再投影演示:
1、能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;
2、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程的右边化为零;
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
(3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
3、用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0.
4、用分解因式法解一元二次方程的注意点:①必须将方程的右边化为零;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
5、数学思想:整体思想和化归思想.
五、课后作业
1、书本作业题
2、作业本




课题 2.2 一元二次方程的解法(2)
教学目标(1)理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义。

(2)会用直接开平方法解一元二次方程。

(3)理解配方法。

(4)会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

教学设想[教学重点] 掌握直接开平方法及配方法解某些一元二次方程。

[教学难点] 理解掌握配方法。

教学程序与策略
一、复习旧知,引入新课
1、用因式分解法解方程x2-4=0。

2、若将方程先移项,得:x2=4。

你能直接得到该方程的解吗?其解是什么?
3、引入新课,板书课题。

二、讲解新课
1.了解直接开平方法解一元二次方程的概念。

将方程:x2-4=0,先移项,得:x2=4。

因此,x=± 2即,x
1=2,x
2
=-2。

讲(或提问)到此,指出:这种解某些一元二次方程的方法叫做开平方法。

2. 初步掌握直接开平方法解一元二次方程。

提问:用直接开平方法解下列方程:
1、x2-144=0;
2、x2-3=0;
3、x2+16=0;
4、x2=0。

(解:1、x
1=12,x
2
=-12;2、x
1
= 3,x
2
=-3;3、无解——负数没有平
方根;4、x=0——0有一个平方根,它是0本身)。

3. 深刻掌握直接开平方法解一元二次方程
例4解方程:(1) 3x2-48=0 (2)(2x-3)2=7。

说明与分析:此例要求解出方程的根,同时通过此例的学习也为进一步解公式法作准备。

实际上,我们将用此例以及类似的题目推导出一元二次方程的另一解法——配方法。

可以看出,原方程中2x-3是7的平方根。

练习:解下列方程:
1、(x+4)2=3;
2、(3x+1)2=-3。

(1、x
1=-4,x
2
=+ 4 ; 2、无解。


4. 合作学习
(1)想一想:你能用直接开平方法解方程x2+6x+7=0吗?
(2)你能将方程x2+6x+7=0转化为(x+a)2=b的形式吗?
(3)请与同伴尝试解这个方程。

5. 探索配方法解一元二次方程一般步骤
将方程:x2+6x+7=0的常数项移到右边,并将一次项6x改写成2·x·3,得:x2+2·x·3=-7。

由此可以看出,为使左边成为完全平方式,只需在方程两边
都加上32,即:x 2+2·x·3+32=-7+32,(x+3)2=2。

解这个方程,得:x 1=-3+2 ,x 2=-3-2 。

6. 总结配方法的概念:把一个一元二次方程左边配成一个完全平方式,右边为一个非负数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

7. 做一做——进一步理解配方的过程。

填空:
1、x 2+6x+ =(x+ )2;
2、x 2-5x+ =(x - )
2;
3、x 2+ x+ =(x+ )2;
4、x 2-9x+ =(x - )
2
填空后总结配方的关键:对二次项系数为1的一元二次方程x 2+bx=c 配方,只需在方程两边都加上一次项系数一半的平方。

8. 教学例5 用配方法解下列一元二次方程
(1) x 2+6x=1 (2) x 2+5x-6=0
解答过程由学生口述,教师板书的形式完成。

通过例题5的讲解,帮助学生总结出配方的步骤:
教 学 程 序 与 策 略
(1)先把方程x 2+bx+c=0 移项,得 x 2+bx=-c ;
(2)方程的两边同加一次项系数一半的平方,得x 2+bx+22⎪⎭⎫ ⎝⎛b =-c+2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛b , 得2
2⎪⎭⎫ ⎝
⎛+b x =442b c +-;若-4c+b 2≥0,就可以用因式分解法或开平方法解出方程的根。

9. 课堂练习
课本P 33课内练习第3、4两题。

三、课堂小结
(1)开平方法可解下列类型的一元二次方程:x 2=b (b≥0);(x -a )2=b (b≥0)。

根据平方根的定义,要特别注意:由于负数没有平方根,所以,上列两式中的b≥0,当b <0时,方程无解。

(2) 配方的关键是:在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。

四、课外作业
课后作业题




课题 2.2 一元二次方程的解法(3)
教学目标1、巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤;
2、会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。

教学设想1、教学的重点是用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。

2、当二次项系数为小数或分数时,用配方法解一元二次方程是本节教学的难点。

教学程序与策略
一、回顾:解方程
板演 (并对的练习进行讲评)
一元二次方程开平方法和配方法(a=1)解法的区别与联系(思考与领悟)
1、开平方法:形如)0(2≥=a a x
2、①先把02=++c bx x 移项得c bx x -=+2
②方程两边同时加一次项系数一半的平方,得222)2
()2(b c b bx x +-=++,即4
4)2(2
2b c b x +-=+,当042≥+-b c 时,就可以通过开平方法求出方程的根 二、新课教学
1、引例(当1≠a 时)解方程11052+=x x
观察与思考,小组讨论:领悟将二次项系数化为1的转化思想。

2、例6 用配方法解下列一元二次方程
(1)03422=-+x x
(2)03832=--x x
遇到二次项系数不是1的一元二次方程,只要将方程的两边都除以二次项系数,转化为我们能用配方法解二次项系数是1的一元二次方法。

教 学 程 序 与 策 略
2
2
2
2
(1)68(2)840(3)560(4)4311x x x x x x x x x -=---=-++==-
例7 已知 是一个关于x 的完全平方式,求常数n 的值.
(教学生学会怎样去配方)
课堂练习
3、课本P35页,课内练习1
学生完成解题后出示答案
4、增加二次项系数为小数与分数的方程:用配方法解下列方程
(1)11.02.02=+x x
(2)06
134322=+-x x 5、课本P35页,课内练习2
学生先做,后挑选部分屏幕展示 三、课堂小结
问:这一节课学习了什么
四、布置作业
完成课本作业(做在书上)和作业本
教后反思录
课 题
2.2一元二次方程的解法(4) 教 学
目 标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2、会用公式法解一元二次方程.
教 学 重点:用公式法解一元二次方程. 难点:一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂,涉及多方
248(1)16x n x n +++
设 想 面的知识和能力,是本节的难点.
教 学 程 序 与 策 略
一、引入新课
用配方法解下列一元二次方程
完善“配方法”解方程的基本步骤. ★一除、二移、三配、四开平方、五解.
二、新课学习
1、做一做:
你能用配方法解一般形式的一元二次方程0c bx ax 2=++(a≠0)吗? 处理:给学生充足的时间做一做,配方法掌握好的学生最后求解的结果可能不会考虑到04ac b 2≥-的条件,也可能答案不够简练;然后教师引导学生再去探索.
思考:时0a 42<-c b ,方程有实数解吗?
一般地,对于一元二次方程0c bx ax 2=++(a≠0),如果0a 42≥-c b ,那么
方程的两个根为2a
4ac b b x 2-±-=这个公式就叫做一元二次方程的求根公式. 利用求根公式,由一元二次方程的系数a ,b ,c ,直接求得一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.(它是解一元二次方程的一把万能钥匙)
2、现学现用:填空(用公式法解方程)课内练习
说明:利用求根公式,就是代入公式求值,关键是确定a , b ,c 的值,目的就是应用求根公式时,应将方程化成一般式.进而引导学生总结出公式法解一元二次方程的基本步骤
221(1)1510(2)31203x x x x +=-+=
(1)把方程化成一般形式,并写出a ,b ,c 的值.(2)求出c b a 42-的值.
(3)代入求根公式 : 2a
4ac b b x 2-±-=∴ (4)写出方程21x ,x 的解 3、试一试:用公式法解下列方程
043x x (1)2=-+;01513x 2x (2)2=+-;x
323 x (3)2=+ ;
1x 41x 21 (4)2=-; 01x x (5)2=++ 让学生独立完成,师生共同评价,由(3),(5)说明
方程根的情况:的实数根时,方程有两个不相等当04ac b (1)2≥-
实数根时,方程有两个相等的当)(04ac b 22=-
时,方程没有实数根
当)(04ac b 32<- 4、问:解一元二次方程的方法都有哪些?
说明:至于选择哪一个方法解一元二次方程,看你觉得哪个方法好用或方便就用哪个.(例8,例9嵌入教学使用)
选择适当的方法解下列方程
1 x 25
16 (1)2=;2x x 5 (2)2=;229x 2)-(x (3)=; 4x 13x (4)2=+;22)-(x 1)-x 2
1 x((5)= 提示(5)先化成一般式,再用公式法.
三、课堂小结
请谈谈你的收获!
1、一元二次方程的求根公式.(公式成立的条件)
2、公式法解一元二次方程的基本步骤.
四、布置作业:课后练习及作业题
教后反思。

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