2014-2018河南中考数学真题答案

2018年河南省普通高中招生考试
1.B 【解析】只有符号不同的两个数互为相反数,故-2
5的相反数是2
5
,故选B.
方法规律一般地,我们确定一个数的相反数时,只需在这个数前面加上负号即可,即数a的相反数是-a.
2.C 【解析】214.7亿=214.7×108=2.147×1010,故选C.
技法1 科学记数法的表示方法
一般形式:a×10n.
1.a值的确定:1≤|a|<10.
2.n值的确定:
①当原数的绝对值大于或等于10时,n等于原数的整数位数减1;
②当原数的绝对值小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零).
注意,若含有数字单位,则先把数字单位转化为数字,再用科学记数法表示.
3.D 【解析】把“的”字所在面当作正方体的底面,则“我”字所在面是正方体的后侧面,“厉”字所在面是右侧面,“害”字所在面是上面,“国”字所在面是前侧面,“了”字所在面是左侧面.故与“国”字所在面相对的面上的汉字是“我”字.故选D.
4.C 【解析】逐项分析如下.
选项分析正误
A (-x2)3=(-1)3(x2)3=-x2×3=-x6≠-x5✕
B x2与x3不是同类项,不能合并. ✕
C x3·x4=x3+4=x7√
D 2x3-x3=x3≠1 ✕
故选C.
易错警示本题易错处:未熟练掌握幂的运算,导致运算时混淆运算法则.
5.B 【解析】把这组数据按从小到大的顺序排列为12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%,故中位数是15.3%;数据15.3%出现了2次,出现的次数最多,故众数是15.3%;这组数据的平均数为12.7%+14.5%+15.3%+15.3%+17.1%
5
=14.98%;易得这组数据的方差不为0.故选B.
6.A 【解析】由“每人出5钱,还差45钱”,可得y=5x+45;由“每人出7钱,还差3钱”,可得y=7x+3,故{y=5x+45, y=7x+3.
易错警示此类问题容易出错的地方有两个:①等量关系出错,要注意正确理解题中有关等量关系的叙述,准确找出等量关系;②用字母
表示等量关系中各个量时出错,要明确字母表示的是什么量以及等量关系中的量又是什么.
7.B 【解析】逐项分析如下.
选项分析
A ∵Δ=62-4×9=0,∴方程有两个相等的实数根.
B x2-x=0,∵Δ=(-1)2-4×0=1>0,∴方程有两个不相等的实数根.
C x2-2x+3=0,∵Δ=(-2)2-4×3=-8<0,∴方程无实数根.
D ∵(x-1)2+1=0,∴(x-1)2=-1,∴方程无实数根.
故选B.
技法2 一元二次方程根的情况的判断方法
及判别式的应用角度
1.一元二次方程根的情况的判断方法
(1)当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
(2)当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;
(3)当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
2.判别式的应用角度
(1)判断一个一元二次方程根的情况;
(2)根据一个含参数的一元二次方程根的情况确定参数的值或者取值范围;
(3)运用公式法解一元二次方程时,确定该方程是否有根.
8.D 【解析】设正面上的图案是“ ”的3张卡片分别为A1,A2,A3,正面上的图案是“♣”的1张卡片为B,则抽取的2张卡片的所有等可能的情况为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B),(A2,A3),(A2,B),(A3,B),共6种,其中卡片正面上的图案相同的情况为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),有
3种,故所求概率为3
6=1
2 .
9.A 【解析】设AC与y轴交于点P,∵四边形AOBC是平行四边形,∴AC∥OB,∴∠AGO=∠GOB.由题意可知,∠AOG=∠GOB,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO.∵A(-1,2),∴OA=√12+22=√5,∴AG=√5,∴PG=AG-AP=√5-1,∴G(√5-1,2).
10.C 【解析】 如图,过点A 作AH ⊥BD 于点H.观察题图中y 与x 的函数关系的图象可得,当x=a 时,y=a,当x=a+√5时,y=0,∴AD=a cm,BD=a+√5-a=√5(cm),∴AH=2a BD =2a
√5
(cm).在Rt △ADH 中,AD 2=AH 2+DH 2,∴a 2=4
5a 2+5
4,解得a=5
2
(负值已舍去).
11.2 【解析】 原式=5-3=2.
12.140° 【解析】 ∵EO ⊥AB,∴∠EOD+∠BOD=90°,∴∠BOD=90°-∠EOD=40°,∴∠BOC=180°-∠BOD=140°. 13.-2 【解析】 解x+5>2,得x>-3;解4-x ≥3,得x ≤1,故该不等式组的解集为-3<x ≤1,其最小整数解为-2.
技法3 求不等式解集公共部分的两种方法
不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分,找公共部分常用的方法有两种. 1.数轴法
把不等式组中所有不等式的解集在同一条数轴上表示出来,利用数形结合思想,直观地得到公共部分.两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种类型(设a<b): 类型 不等式组 数轴表示 解集
同大型 {x >a,
x >b
x>b
同小型 {x <a,
x <b
x<a
大小小
大型 {x >a,x <b
a<x<b
大大小
小型 {x <a,x >b
无解
2.口诀法
应用口诀“大大取较大,小小取较小;大小小大中间找,大大小小解不了”来确定.
14.54π-32 【解析】 如图,连接B'D,BD,由旋转可得BC=B'C',AC=A'C',∠BDB'=90°.∵D 为AC 的中点,∴C'D=CD=12
AC=1.在Rt △BCD 中,由勾股定理,得
BD=√BC 2
+
CD 2=√22+12=√5,∴S
扇形BDB'=90π×(√5)
2
360
=5
4π,∵S △DCB'+S △BCD =S 梯形CDC'B'=12C'D ×(CD+C'B')=12×1×3=32
,∴S 阴影
部分
=S 扇形BDB'-(S △DCB'+S △BCD )=54
π-32
.
技法4 阴影部分面积的求解方法
1.规则图形直接用公式求解;
2.将不规则图形分割成规则图形求解;
3.将不规则图形分割后,移动部分图形,组成规则图形求解;
4.将阴影部分中某些图形等面积变形后移位,重组成规则图形求解;
5.将阴影部分看成一些基本图形叠放而成的重叠部分,用整体和差法求解.
15.4√3或4 【解析】 分以下两种情况讨论.①如图(1)所示,当∠A'EF=90°时,A'E ∥AC,∴∠A'EC=∠ACB,∵△A'BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称,∴∠ACB=∠A'CB=∠A'EC,∴A'C=A'E.∵点E 为BC 的中点,∠BA'C=90°,∴A'E=CE,∴△A'CE 是等边三角形,∴∠ACB=∠A'CB=60°,∴AB=√3AC=4√3.②如图(2)所示,当∠A'FE=90°时, ∵点D,E 分别是AC,BC 的中点,∴DF ∥AB,∴∠ABA'=90°,又∵△A'BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称,∴四边形ABA'C 是正方形,∴AB=AC=4.
图(1) 图(2)
技法5 解决折叠问题的一般思路
1.折叠的性质:
①位于折痕两侧的图形关于折痕所在直线成轴对称;
②位于折痕两侧的图形全等,对应边、角、线段、周长、面积等均相等;
③对应点的连线被折痕所在直线垂直平分;
2.找出隐含的折叠前后的位置关系(平行或垂直)和数量关系(相等);
3.一般运用全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想,设出恰当的未知数,解方程来求线段长.
16.【参考答案及评分标准】
原式=1−x-1
x+1·(x+1)(x-1)
x
(4分)
=1-x,(6分)
当x=√2+1时,原式=1-(√2+1)=-√2.(8分)
17.【参考答案及评分标准】(1)2 000(2分)
(2)28.8°(4分)
(3)选“D”的人数为2 000-300-240-800-160=500,
补全条形统计图如下.
(6分)
(4)估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的有90×40%=36(万人).(9分)
技法6 解决统计图表类问题的一般方法
1.计算样本容量.综合观察统计图表,从中得到各组频数或某组的频数及该组的频率(或所占百分比),然后利用样本容量=各组频数之和,
或样本容量=某组的频数
该组的频率
计算即可.
2.补全有关统计图.
(1)补全条形统计图,一般涉及求未知组的频数,方法如下:
①未知组的频数=样本容量-已知组的频数之和;
②未知组的频数=样本容量×该组的频率(或所占百分比).
(2)补全扇形统计图,一般涉及求未知组所占的百分比或其所对圆心角的度数,方法如下:
①未知组的百分比=1-已知组的百分比之和;
②未知组的百分比=未知组的频数
样本容量
×100%;
③若求未知组在扇形统计图中所对圆心角的度数,则利用360°×该组所占百分比即可.
3.用样本估计总体.估计总体里某组的个数,可直接利用样本估计总体的思想求解,即总体中某组的个数=总体个数×样本中该组所占的百分比(或频率).
18.【参考答案及评分标准】 (1)∵点P(2,2)在反比例函数y=k x
(x>0)的图象上, ∴k 2
=2,即k=4.
故反比例函数的解析式为y=4
x
.(3分)
(2)答案不唯一,正确画出两个矩形即可.(9分) 19.【参考答案及评分标准】 (1)证明:连接OC. ∵CE 是☉O 的切线,∴OC ⊥CE, ∴∠FCO+∠ECF=90°.
∵DO ⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°.
∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°.(3分) ∵OC=OB,∴∠FCO=∠B, ∴∠ECF=∠CFE, ∴CE=EF.(5分)
(2)①30°(填30不扣分)(7分) ②22.5°(填22.5不扣分)(9分) 解法提示:①∵AB 是☉O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠DCB=90°.
∵四边形ECFG 是菱形, ∴CE=CF, 又∵CE=EF,
∴△ECF 是等边三角形, ∴∠CFE=60°,
∴∠D=90°-∠CFE=90°-60°=30°. ②∵四边形ECOG 是正方形, ∴∠CEF=45°, 又∵CE=EF,
∴∠EFC=1
2
(180°-45°)=67.5°,
∴∠D=90°-∠EFC=90°-67.5°=22.5°.
技法7 解决特殊四边形动态探究问题的方法
解决此类问题有两种方法. 1.①假设四边形为特殊四边形;
②根据特殊四边形的性质,结合已知条件,求出相关线段的长度或角的度数,再进行求解.
2.先判断动点在什么位置时,四边形为特殊四边形,再结合题干信息证明特殊四边形的存在性,最后根据特殊四边形的性质进行求解.
20.【参考答案及评分标准】 在Rt △CAE 中,AE=
CE tan ∠CAE =155tan82.4°≈155
7.495
≈20.7(cm).(3
分)
在Rt △DBF 中,BF=
DF tan ∠DBF =234tan80.3°
≈234
5.850=40(cm).(6
分)
故EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151(cm).
易知四边形CEFH 为矩形, ∴CH=EF=151 cm,
即高、低杠间的水平距离CH 的长约是151 cm.(9分)
21.【参考答案及评分标准】 (1)设y 关于x 的函数解析式为y=kx+b, 由题意得{85k +b =175,
95k +b =125,
解得{
k =−5,
b =600.
故y 关于x 的函数解析式为y=-5x+600.(3分) 当x=115时,m=-5×115+600=25.(4分) (2)80 100 2 000(7分)
解法提示:设该产品的成本单价为a 元, 则175(85-a)=875, 解得a=80.
根据题意可得w=y(x-80)=(-5x+600)(x-80)=-5x 2+1 000x-48 000=-5(x-100)2+2 000, 因为-5<0,
所以当x=100时,w 有最大值,最大值是2 000元. (3)设该产品的成本单价为a 元,
由题意得(-5×90+600)×(90-a)≥3 750, 解得a ≤65.
答:该产品的成本单价应不超过65元.(10分)
技法8 一次函数的实际应用的解题通法
一次函数的实际应用一般涉及:求一次函数解析式;选择最优方案;利润最大或费用最少.
1.求函数解析式:
①文字型及表格型的应用题,一般都是根据题干中给出的数据来求一次函数解析式;
②图象型的应用题,一般是找图象上的两个点的坐标,根据待定系数法求一次函数解析式.
2.选择最优方案
若给定自变量的取值,则将自变量的值代入解析式,得到因变量的值,再进行选取;若给定因变量的取值,则将因变量的值代入解析式,得到自变量的值,再进行选取;若自变量、因变量均未给定取值,可分别求出y1<y2,y1=y2,y1>y2的解集,再根据结果进行选取.
3.利润最大或费用最少
一般由图象、题干信息或不等式解得自变量的取值范围,然后利用增减性求最少费用(或最大利润).
22.【参考答案及评分标准】(1)①1(1分)
②40°(2分)
解法提示:①∵∠AOB=∠COD,
∴∠BOD=∠AOC,
又∵OC=OD,OA=OB,
∴△AOC≌△BOD,
∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,
∴AC
BD =1.
②设BD,OA交于点N,
∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC, ∴∠AMB=∠AOB=40°.
(2)AC
BD =√3,∠AMB=90°.(4分)
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,
∴CO
DO =AO
BO
=√3,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴AC
BD =CO
DO
=√3,∠CAO=∠DBO.(6分)
设AO,BM交于点N,
∵∠ANM=∠BNO,
∴∠AMB=∠AOB=90°.(8分)
(3)AC的长为2√3或3√3.(10分)
解法提示:由(2)可知,∠AMB=90°,AC
BD
=√3,
设BD=x,则AC=√3x.
分两种情况讨论.
如图(1),当点M,C在OA上侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2√7)2=(√3x)2+(x+2)2,
解得x1=2,x2=-3(不合题意,舍去),
∴AC=√3x=2√3.
图(1) 图(2)
如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2√7)2=(√3x)2+(x-2)2,
解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=3,
∴AC=√3x=3√3.
综上所述,AC的长为2√3或3√3.
技法9 类比探究型问题的解题通法
类比探究型问题是共性条件与特殊条件相结合、由特殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步深入、解题思路一脉相承的综合性题目.解决类比探究型问题的一般方法:
1.根据题干,结合分支条件解决第一问;
2.用解决上一问的方法类比解决下一问,如果不能,两问结合起来分析,找出不能类比的原因和不变特征,依据不变特征,探索新的解题方法(照搬字母,照搬辅助线,照搬全等或相似,也就是知识的迁移).
23.【解题思路】 (1)先求出点B,C 的坐标,再利用待定系数法求解即可.(2)①求出AM 的长,根据平行四边形的性质可得PQ=AM,过点P 作x 轴的垂线,交直线BC 于点D,可得PD=√2PQ,据此分点P 在直线BC 上方和点P 在直线BC 下方两种情况讨论即可.②作线段AC 的垂直平分线,交AC 于点F,交直线BC 于点M 1,连接AM 1,则∠AM 1B=2∠ACB.过点A 作AN ⊥BC 于点N,将线段AM 1沿直线AN 翻折,得到线段AM 2,则∠AM 2C=2∠ACB,据此求解即可.
【参考答案及评分标准】 (1)∵直线y=x-5交x 轴于点B,交y 轴于点C, ∴B(5,0),C(0,-5).
∵抛物线y=ax 2+6x+c 过点B,C, ∴{0=25a +30+c,
-5=c,
解得{a =−1,c =−5,
故抛物线的解析式为y=-x 2+6x-5.(3分)
(2)①∵OB=OC=5,∠BOC=90°,∴∠ABC=45°. ∵抛物线y=-x 2+6x-5交x 轴于A,B 两点, ∴A(1,0),∴AB=4.
∵AM ⊥BC,∴AM=2√2. ∵PQ ∥AM,∴PQ ⊥BC.
若以点A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形, 则PQ=AM=2√2.
过点P 作x 轴的垂线,交直线BC 于点D,则∠PDQ=45°, ∴PD=√2PQ=4.(5分)
设P(m,-m 2+6m-5),则D(m,m-5). 分两种情况讨论如下. (i)当点P 在直线BC 上方时, PD=-m 2+6m-5-(m-5)=-m 2+5m=4,
解得m 1=1(不合题意,舍去),m 2=4.(7分) (ii)当点P 在直线BC 下方时, PD=m-5-(-m 2+6m-5)=m 2-5m=4, 解得m 3=
5+√412,m 4=5−√412
. 综上所述,点P 的横坐标为4,5+√412或5−√41
2
.(9分)
②点M
的坐标为(136,-176)或(236,-7
6).(11分)
解法提示:如图,作线段AC 的垂直平分线,交AC 于点F,交直线BC 于点M 1,连接AM 1,则∠AM 1B=2∠ACB.
过点A 作AN ⊥BC 于点N,将线段AM 1沿直线AN 翻折,得到线段AM 2,易知点M 2在直线BC 上,则∠AM 2C=2∠ACB.
由①可知AN=2√2, ∴N(3,-2).
易证△CFM 1∽△CNA, ∴
CM 1CA =CF
CN , ∴126
=12
×√26
26−8
,
解得CM 1=
13√2
6, ∴M 1(136,-176
).
∵点M 2,M 1关于点N 成中心对称, ∴M 2(236
,-76
).
综上所述,点M 的坐标为(13
6
,-176
)或(236
,-76
).
考情分析 二次函数与几何图形的综合性问题,是河南中考压轴题的主要题型,其中二次函数的知识考查得比较基础,一般是借助二次函数解析式求一些关键点的坐标,或者根据几何图形的性质求出点的坐标后,确定二次函数的解析式,抛物线是构造复杂问题的基础.在坐标系中探究特殊图形顶点坐标的问题,常常是区分度很高的试题,这里要通过点的坐标将几何图形与函数图象结合在一起,考查知识的综合运用.等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形等特殊图形顶点坐标的确定是较常见的,解答此类问题时要能够充分
审题,构造全等三角形、相似三角形,并借助相关图形的性质求解,对思维、计算、表达等能力的要求都比较高,同时考查分类思想的频率较高.
2 2017年河南省普通高中招生考试
1.A 【解析】根据“正数大于0,0大于负数,两个负数比大小,绝对值大的反而小”可得,2>1>0>-1>-3,故选A.
2.B 【解析】74.4万亿=74 400 000 000 000=7.44×101
3.
3.D 【解析】D中几何体的左视图为.故选D.
4.A 【解析】将原分式方程去分母可得,1-2(x-1)=-3.故选A.
5.A 【解析】由题意可得,95分出现了3次,出现的次数最多,所以这组数据的众数是95分;这组数据是按从小到大的顺序排列的,中间的两个数据都是95分,所以这两个数据的平均数是95分,所以这组数据的中位数是95分.故选A.
技法10 统计中“三数一差”的计算方法
中位数是将一组数据按由小到大或由大到小的顺序排列后,处于中间的一个数或中间两个数的平均数;众数是一组数据中出现次数最多的数;平均数是描述一组数据的平均水平的量,算术平均数的计算公式为x=1
n
(x1+x2+…+x n),加权平均数的计算公式为
x=x1·f1+x2·f2+⋯+x n·f n
f1+f2+⋯+f n ;方差是描述一组数据相对于平均数的波动程度的量,其计算公式为s2=1
n
[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n-x)2].
6.B 【解析】在一元二次方程2x2-5x-2=0中,a=2,b=-5,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×(-2)=41>0,所以该方程有两个不相等的实数根.
7.C 【解析】若添加A中的条件,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得▱ABCD是菱形;若添加B中的条件,根据“邻边相等的平行四边形是菱形”可得▱ABCD是菱形;若添加C中的条件,根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得▱ABCD是矩形;若添加D中的条件,根据“一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形”可得▱ABCD是菱形.故选C.
技法11 常用的菱形的判定方法
1.首先判定这个四边形为平行四边形(一般是全等三角形的性质的应用),再判定其邻边相等,或判定其对角线互相垂直;
2.直接证明四条边相等.
8.C 【解析】由题意列表如下:
第2次
第1次
-1 0 1 2
-1 (-1,-1) (0,-1) (1,-1) (2,-1)
0 (-1,0) (0,0) (1,0) (2,0)
1 (-1,1) (0,1) (1,1) (2,1)
2 (-1,2) (0,2) (1,2) (2,2)
由上表可得,一共有16种等可能的结果,其中两个数字都是正数的结果有4种,∴P(两个数字都是正数)=4
16=1
4
,故选C.
技法12 列举法求概率的解题通法
列举(列表或画树状图)法的一般步骤如下.
①判断是使用列表法还是画树状图法:列表法一般适用于两步求概率问题,画树状图法适用于两步及两步以上求概率问题;
②不重不漏地列举出所有可能出现的结果,并判断每种结果出现的可能性是否相等;
③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m;
④用公式P(A)=m
n
求事件A发生的概率.
9.D 【解析】由题意得,AB=AD'=D'C'=BC'=2.∵点O是AB的中点,且是原点,∴AO=1,∠AOD'=90°.在Rt△AOD'中,由勾股定理可得,OD'=√AD'2-AO2=√22-12=√3,∴点D'的坐标为(0,√3).∵D'C'=2,∴点C'是点D'向右平移2个单位长度得到的.根据平移规律可得,点C'的坐标为(2,√3).故选D.
10.C 【解析】如图,连接OO',BO'.∵AO=BO=2,∠AOB=120°,∴AO'=AO=2,O'B'=OB=2,∠AO'B'=∠AOB=120°,∠OAO'=60°,∴△AOO'是等边三角形,∴∠AO'O=∠AOO'=60°,OO'=AO=2,∴∠AO'O+∠AO'B'=180°,∴点O,O',B'在一条直线上,∴OB'=4.∵∠AOO'=60°,∠
AOB=120°,∴∠BOO'=60°,∴△BOO'是等边三角形,∴BO'=BO=OO'=O'B'.易得△B'BO是直角三角形,且∠OBB'=90°,∴BB'=OB·tan 60°
=2√3,∴S阴影=S△OBB'-S扇形BOO'=1
2×2×2√3-
60π×22
360
=2√3-
2π
3
.故选C.
11.6 【解析】原式=8-2=6.
12.-1<x≤2 【解析】解不等式x-2≤0,得x≤2;解不等式x-1
2
<x,得x>-1,所以原不等式组的解集为-1<x≤2.
13.m<n 【解析】分别把A(1,m)和B(2,n)代入反比例函数y=-2
x
中,可得m=-2,n=-1.∵-2<-1,∴m<n.
一题多解由题意可得,点A和点B在同一象限内,而反比例函数y=-2
x
中,k=-2<0,∴在每一个象限内,y随x的增大而增大.∵1<2,∴m<n.
技法13 反比例函数图象上点的横坐标或纵坐标的大小比较
对于反比例函数图象上的几个点,如果已知横坐标,需要比较纵坐标的大小或已知纵坐标,需要比较横坐标的大小,解题方法为:先判断
这几个点是否在同一象限内,如果不在同一象限内,通过判断未知函数值的正负即可进行判断;如果在同一象限内,则可以根据反比例函
数的性质来进行解答.当然,数据比较简单的话,也可代入求值比较大小.
14.12 【解析】由题意可得,BP长度变化的图象分为线段和曲线两部分,分别对应点P的运动区间:BC段和CA段.由线段部分的最
大值为5,可得点P运动到点C时,BP=5,∴BC=5.由曲线最低点的函数值为4和“垂线段最短”,可得当BP⊥AC时,BP=4.由曲线的末端
对应的函数值为5,可得点P运动到点A时,BP=5,∴AB=5,∴AB=BC,即△ABC是等腰三角形.当BP⊥AC时,由勾股定理可
得,AP=√AB2-BP2=√52-42=3,∴AC=2AP=6,∴S△ABC=1
2AC·BP=1
2
×6×4=12.
方法技巧本题函数图象中的转折点、曲线部分的最低点和终点分别对应点P运动的三个特殊点,即点P运动到点C处、点P运动到BP垂直于AC处、点P运动到点A处,理解它们之间的对应关系是解题的关键.
技法14 解决与动点有关的函数图象问题的步骤
1.认真观察几何图形,找出运动起点和终点,由动点移动范围确定自变量的取值范围;
2.分清楚整个运动过程分为几段,关注动点运动过程中的特殊位置的函数值;
3.关注每一段运动过程中函数值的变化规律,与图象的变化趋势相比对,逐个排除错误选项;
4.在以上排除法行不通的情况下,需要写出各段函数的解析式进行判断.
15.√2+1
2
或1 【解析】∵∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.由折叠的性质可得,∠BMN=∠B'MN,∠BNM=∠B'NM,BM=B'M.分两种情况:(1)当∠B'MC=90°时,此时∠BMN+∠B'MN=90°,∴∠BMN=45°.∵∠B=45°,∴∠BNM=90°,∴∠B'NM=90°,∴B,N,B'三点共线.∵点B'在边AC上,∴点B'与点A重合,此时点N是AB的中点.∵∠A=90°,∴∠BNM=∠A,∴NM∥AC,∴NM是△ABC的中位线,∴
BM=1
2BC=√2+1
2
;(2)当∠CB'M=90°时,∵∠C=45°,∴∠B'MC=45°,∴B'M=B'C.设BM=x,则B'M=B'C=x,CM=√2+1-x.在等腰直角三角形MB'C
中,CM=√2B'M,即√2+1-x=√2x,解得x=1,∴BM=1.综上所述,BM的长为√2+1
2
或1.
名师指导本题的情况(2)中,若运用勾股定理建立一元二次方程求解,则计算难度加大,所以在解答有关等腰直角三角形的问题时,要善于利用等腰直角三角形斜边与直角边之间的数量关系.
16.【解题思路】根据完全平方公式,多项式与多项式、多项式与单项式的乘法法则,将原式展开、合并同类项,化为最简形式,再将字母的值代入求值即可.
【参考答案及评分标准】
原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy(3分)
=9xy.(5分)
当x=√2+1,y=√2-1时,
原式=9xy
=9(√2+1)(√2-1)
=9.(8分)
17.【解题思路】 (1)由统计表和扇形统计图可得B 组的人数及其所占的百分比,用B 组的人数除以其所占百分比,即得这次被调查的同学的总人数;用总人数减去A,B,E 组的人数和,即可得出a+b 的值;用A 组的人数除以总人数,可得A 组的人数所占的百分比,进而可得m 的值.(2)先求出C 组的人数所占的百分比,再乘以360°即可得出扇形统计图中扇形C 的圆心角度数.(3)先找出样本中每月零花钱的数额x 在60≤x<120范围内的人数所占的百分比,再乘以该校的学生总人数,即可得出答案. 【参考答案及评分标准】 (1)50 28 8(3分) (2)(1-8%-32%-16%-4%)×360°=40%×360°=144°. 即扇形统计图中扇形C 的圆心角度数为144°.(6分)
(3)1 000×28
50
=560(人).
即每月零花钱的数额x 在60≤x<120范围的人数约为560.(9分)
18.【解题思路】 (1)由题意易证得∠ACB=∠FCB,则CB 为∠ACF 的平分线.由圆周角定理的推论,可得∠ADB=90°,即BD ⊥AC.再证明BF ⊥CF,即可证得△BDC ≌△BFC,由此可得出结论.(2)由题意,可得出AD 的长,在Rt △ABD 中,由勾股定理,可得BD 2的值,再在Rt △BDC 中,根据勾股定理,即可求出BC 的长.
【参考答案及评分标准】 (1)证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵CF ∥AB,
∴∠ABC=∠FCB,
∴∠ACB=∠FCB,即CB 平分∠DCF.(3分) ∵AB 是☉O 的直径,
∴∠ADB=90°,即BD ⊥AC. ∵BF 是☉O 的切线, ∴BF ⊥AB.(5分) ∵CF ∥AB, ∴BF ⊥CF,
∴△BDC ≌△BFC, ∴BD=BF.(6分)
(2)∵AC=AB=10,CD=4, ∴AD=AC-CD=10-4=6.
在Rt △ABD 中,BD 2=AB 2-AD 2=102-62=64.
在Rt △BDC 中,BC=√BD 2+CD 2=√64+42=4√5.
即BC 的长为4√5.(9分)
19.【解题思路】 过点C 作CD ⊥AB,交AB 的延长线于点D.设CD=x n mile,则AD=CD=x n mile,BD=(x-5)n mile.在Rt △BCD 中,由正切的定义,可得关于x 的方程,解方程可得x 的值;再由正弦的定义,可得BC 的长,进而可得B 船到达C 船所需的时间.在Rt △ADC 中,可求出AC 的长,进而可得A 船到达C 船所需的时间,从而得出答案.
【参考答案及评分标准】 过点C 作CD ⊥AB,交AB 的延长线于点D,则∠CDA=90°. 已知∠CAD=45°.设CD=x n mile,则AD=CD=x n mile, ∴BD=AD-AB=(x-5)n mile.(3分)
在Rt △BDC 中,CD=BD ·tan 53°,即x=(x-5)·tan 53°, ∴x=
5tan53°tan53°−1
≈5×4
343-1
=20,
∴BC=
CD sin53°=x sin53°
≈20
45
=25(n mile), ∴B 船到达C 船处约需25÷25=1(h).
在Rt △ADC 中,AC=√2x ≈1.41×20=28.2(n mile), ∴A 船到达C 船处约需28.2÷30=0.94(h). ∵0.94<1,
∴C 船至少要等待0.94 h 才能得到救援.(9分)
技法15 解直角三角形的实际应用题目的解题通法
(1)应用“解直角三角形”的模型解决问题,关键是把已知角或特殊角放在直角三角形中,当两个直角三角形有公共边时,公共边是联系两个直角三角形的纽带,通常要求出这条公共边的长度,进而解决问题. (2)当图形中没有直角三角形时,则需要根据实际情况构造直角三角形.
(3)运用“解直角三角形”的模型解决实际问题的步骤:①审题,根据题干,弄明白图形中哪些是已知量,哪些是未知量;②将已知条件转化到示意图中,把实际问题转化为解直角三角形的问题;③选择适当的关系式解直角三角形.
20.【解题思路】 (1)将点B 的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中,即可求出b 和k 的值,进而可得一次函数和反比例函数的解析式.(2)将点A 的坐标代入反比例函数的解析式中,可求出m 的值,即得点A 的坐标.设点P 的坐标为(n,-n+4),则1≤n ≤3,可得OD=n,PD=-n+4,根据三角形的面积公式,可得S 关于n 的二次函数关系式,根据二次函数的性质,结合n 的取值范围,即可得出S 的取值范围.
【参考答案及评分标准】 (1)y=-x+4 y=3x
(4分) (2)∵点A(m,3)在y=3x
的图象上,
∴3
m
=3, ∴m=1,
∴A(1,3).(5分)
∵点P 在线段AB 上,设点P(n,-n+4),则1≤n ≤3, ∴S=12
OD ·PD=12
n ·(-n+4)=-12
(n-2)2+2.(7分)
∵-1
2
<0,且1≤n ≤3, ∴当n=2时,S 最大值=2; 当n=1或3时,S 最小值=32
.(8分) ∴S 的取值范围是32
≤S ≤2.(9分)
技法16 一次函数(y=ax+b)与反比例函数
(y=k x
)综合题的解题通法
1.求两函数图象交点坐标:联立方程组求解即可.
2.确定函数解析式:将交点坐标代入y=k x
可求k,由两交点的坐标利用待定系数法可求y=ax+b.
3.利用函数图象确定不等式ax+b>k x
或ax+b<k x
的解集时,利用数形结合进行分析判断,其中函数值较大,表现为图象在上方,函数值较小,表现为图象在下方. 4.求几何图形面积:
(1)通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边,再利用点的坐标求得底边上的高,然后利用面积公式计算; (2)当三边均不在坐标轴上时,一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上的两个三角形面积的和或差来计算. 此外,求面积时要充分利用数形结合思想,即用“坐标”求“线段”.
21.【参考答案及评分标准】 答案一:(1)设A,B 两种魔方的单价分别为x 元,y 元.(1分) 根据题意,得{2x +6y =130,
3x =4y,
解得{
x =20,
y =15.
(3分)
即A,B 两种魔方的单价分别为20元,15元.(4分)
(2)设购买A 种魔方m 个,按活动一和活动二购买所需费用分别为w 1元,w 2元. 依题意,得w 1=20m ×0.8+15×0.4×(100-m)=10m+600.(5分) w 2=20m+15(100-m-m)=-10m+1 500.(6分) ①当w 1>w 2时,10m+600>-10m+1 500,∴m>45; ②当w 1=w 2时,10m+600=-10m+1 500,∴m=45;
③当w 1<w 2时,10m+600<-10m+1 500,∴m<45.(9分)
故当45<m ≤50时,活动二更实惠;当m=45时,活动一、二同样实惠;当0≤m<45(或0<m<45)时,活动一更实惠.(10分) 答案二:(1)设A,B 两种魔方的单价分别为x 元,y 元,(1分) 根据题意,得{2x +6y =130,
3x +4y =130,
解得{
x =26,
y =13.
(3分)
即A,B 两种魔方的单价分别为26元,13元.(4分)
(2)设购买A 种魔方m 个,按活动一和活动二购买所需费用分别为w 1元,w 2元.(5分) 根据题意,得w 1=26×0.8m+13×0.4(100-m)=15.6m+520,(6分) w 2=26m+13(100-2m)=1 300.(7分) ∵15.6>0,
∴w 1随m 的增大而增大,
∴当m=50时,w 1最大,此时w 1=15.6×50+520=1 300, ∴当0≤m ≤50时,0≤w 1≤1 300,(9分)
∴当0≤m<50(或0<m<50)时,活动一更实惠; 当m=50时,活动一、二同样实惠.(10分)
技法17 用一次方程(组)解决实际问题的一般方法
用一次方程(组)求解的应用题,一般有两个相等关系.若列一元一次方程,则这两个相等关系中的一个用来设出未知数后表示另一个未知数,另一个相等关系用来列方程;若列二元一次方程组,则这两个相等关系均用来列方程.
22.【解题思路】 (1)由题意可知,BD=EC,PM 是△DEC 的中位线,NP 是△BCD 的中位线,根据中位线的性质可得,PM=12
EC,PN=12
BD,则PM=PN;由题意可知,∠MPN=∠MPD+∠DPN.由PM 是△DEC 的中位线,可得PM ∥EC,故∠MPD=∠ECD.由三角形外角的性质,得∠DPN=∠PNC+∠PCN,而∠PNC=∠DBC,故∠MPN=∠ECD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°,即PM ⊥PN.(2)同(1)可得,PM=PN.由旋转的性质可知,△BAD ≌△CAE,则∠ABD=∠ACE,同(1)即可证明∠MPN=90°,则△PMN 是等腰直角三角形.(3)设BD 的长为x,则在△ADE 旋转的过程中,可得10-4≤x ≤10+4,即6≤x ≤14.由(2)可知,△PMN 是等腰直角三角形,则S △PMN =1
2·1
2x ·1
2x=1
8x 2,易知当x=14时,S △PMN 取得最大值196
8,即49
2
.
【参考答案及评分标准】 (1)PM=PN PM ⊥PN(2分) (2)等腰直角三角形.(3分) 理由如下:
由旋转可得,∠BAD=∠CAE.。