2010届高三年级5月调研测试数学试题(理科)

湖北省襄樊五中
2010届高三年级5月调研测试
数学试卷（理科）
一、选择题
1．“双曲线的方程为 ”是“双曲线的离心率为5
3
”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知函数 ，1
()f
x -是()f x 的反函数，若1()f x -的图
像经过点（3，4），则a =
（ ）
A
B
C
．D ．2
3． 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（1,+∞）
B ．[4,8)
C ．（4,8
）
D ．（1,8
） 4．若z 的共轭复数为z ,()2f z i z i +=+（i 为虚数单位）
，则(32)f i +等于
（ ）
A ．3i -
B ．3i +
C ．33i +
D ．32i -
5．若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆22
2410x y x y ++-+=的周长，则
11a b +的最小值是
（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
4 D ．12
6．甲袋内有大小相同的8个红球和4个白球，乙袋内有大小相同的9个红球和3个白球，
从两个袋子中各摸出一个球，则512
为 （ ）
A ．2个球都是白球的概率
B ．2个球中恰好有1个白球的概率
C ．2个球都不是白球的概率
D ．2个球不都是白球的概率
7．设a R ∈，若函数
3
(),x f x e x x R =-∈，则该函数的极值点的个数是 （ ）
221916x y -=,(1)
()(4)2,(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩()1log (01)a f x x a a =+>≠且
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．已知A B 、是平面α外的两点，在α内与A B 、等距离的点的集合不可能是 （ ）
A ．一条直线
B ．一个平面
C ．空集
D ．只有一个元素
9．在数列{}n a 中，若存在非零整数T,使得
m T m
a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称
数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期。

若数列{}n x 满足
11(2,)
n n n x x x n n N +-=-≥∈，且
121,(,0)
x x a a R a ==∈≠，则数列{}n x 的正周期
最小时，该数列的前2009项的和是
（ ）
A ．669
B ．670
C ．1340
D ．1339
10．已知点P 是椭圆 上异于顶点的动点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12
F PF ∠的角分线上的一点，且
10F M MP ⋅=,则OM 的取值范围
是
（ ）
A ．（0，3） B
．（0， C ．（0，4）
D
．（3）
二、填空题
11．
_
． 12．若函数
()5f x x t x
=-+-的最小值为二项式 展开式中的常数项, 则实数
t 的值是 _．
13．若()f n 为21()n n N *+∈的各位数字之和，如
2
141197,19717+=++=，则(14)17f =，记1
()()f n f n =，
[]
21()()f n f f n =，……，
[]1()()k k f n f f n +=()
k N *∈，
则
2010(8)f =
_ ．
14．正方体
1111
ABCD A B C D -，以定点A 为球心，2为半径作一个球，则球
面与正方体的各个表面相交所得到的弧长之和为．
15．在平面直角坐标系xoy 中，已知集合
，则集合{}
(2,2)(,)B x y x y x y A =+-∈表示的平面区域的面积为 ．
三、解答题 16．已知向量
(3,1)a =，向量(sin ,cos )b m αα=-，
若a ∥b ，且
)2,0[πα∈，求实数m 的最小值及相应的α值。

1
8
162
2
=+y x 01lim x x
→=6
(x -{}
(,)2,0,0A x y x y x y =-≤≥≤
若a b ⊥，且0=m , 求
)
cos()2sin()2
cos(
απαπαπ
-+⋅-的值．
17．某人随机地将编号为1，2，3，4的四个大小相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个
型号相同的盒子中，每个盒子放一个球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放法恰
当”，否则叫做“放法不恰当”．设放法恰当的情况数为随即变量ξ． （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的期望与方差．
18．如图，在三棱柱
111
ABC A B C -中，AB ⊥侧面
11BB C C
，E 为棱
1
CC
的中点，已知
AB =，12BB =，1BC =，
13BCC π
∠=
，求：
（1）异面直线AB 与1
EB 的距离；
（2）二面角11
A E
B A --的平面角的正切值．
19．已知函数⎩⎨
⎧>≤+-=1,ln 1,)(23x x x ax x x x f ，在1=x 处连续．
（1）求函数()f x 的单调减区间；
（2）若不等式()f x x c ≤+对一切x R ∈恒成立，求c 的取值范围．
20．已知动圆过定点(,0)2p ，且与直线
2p x =-
相切，其中0p > （1）求动圆圆心的轨迹方程C ；
（2）设A B 、是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α
和β，当α，β变化且αβ+为定值()
0θθπ<<时，直线AB 恒过定点，并求
出该点的坐标．
21．设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且点
()1,(,2)
n n S S n N n *-∈≥在直线
(23)330t x ty t +-+=（t 为与n 无关的正实数）上，
（1）求证：数列
{}n a 是等比数列；
（2）记数列
{}n a 的公比为()f t ，数列{}n b 满足
11
1
1,(
)(,2)n n b b f n N n b *-==∈≥，设
212221
n n n n n c b b b b -+=-，求数列
{}n c 的前n 项和n T ；
（3）在（2）的条件下，设11()
31n
n n d n N b *
⎛⎫=+∈ ⎪-⎝⎭，证明：1n n d d +<．
参考答案
一、选择题
二、填空题
11．12-
12．20或—10 13．8 14．25π
15．10
三、解答题
16．（1）∵b a //，∴
)
(sin 1
cos 3m -⨯-αα= 0，…………………………2分
∴)
3sin(2cos 3sin π
ααα-
=-=m ， ………………………………4分
又∵α∈R ，∴1
)3sin(-=-π
α时，mmin = –2．
又)2,0[πα∈，所以
π
α611
=
…………………………………………6分
（2）∵⊥，且0=m ,∴0cos sin 3=+αα ……………………8分
∴
tan 3α=-
∴)cos()
2sin()2cos(απαπαπ
-+⋅-αααcos )2sin (sin --⋅=
……………10分
α
αα2tan 1tan 2tan +⋅
=21= …………………………12分 17．（1）ξ= 0，1，2，4． …………………………………………1分
P(ξ= 4) =11
4!24=
P(ξ= 2) =2414!4C = P(ξ= 1) =
1
4214!3C ⨯= P(ξ= 0) = 1–P(ξ= 1) –P(ξ= 2) –P(ξ= 4) =3
8 …………………………7分
∴ξ的分布列为
…………………9分
∴E ξ=1111326++=， D ξ= (0 – 1)2×38+ (1 – 1)2×13+(2 – 1)2×14+(4 – 1)2×1
24= 1……………………12分
18．解：解法一：（1）∵AB ⊥平面
11BB C C
，∴AB BE ⊥
又∵E 为1
CC 的中点，∴1CE =，而1BC =，且
13BCC π
∠=
，∴B C E ∆为等边三角
形。

∴
3BEC π
∠=
，∴
13EBB π
∠=
，1B E =
∴
12BEB π
∠=
，∴1B E BE ⊥，
∴BE 是异面直线AB 与1
EB 的公垂线段。

∴异面直线AB 与1
EB 的距离为1。

…………………………（6分）
（2）∵11//A B AB
，∴
111//A B B E
…………………………（8分）
又∵
1
AE EB ⊥，∴异面直线AE 与
11
A B 所成的角即为二面角
11
A E
B A --的大小。

∴BAE ∠即为所求。

又∵AB =
1BE =…………………………（10分）
∴
tan
2
BE
BAE
AB
∠===
……………（12分）
解法二：（1）建立如图所示空间直角坐标系。

由于1
BC=，12
BB=
，AB=，
13
BCC
π
∠=
，在三棱柱111
ABC A B C
-
中有
(0,0,0)
B
，
A，
1
(0,2,0)
B
，
1
,0)
22
C-
，
1
3
,,0)
22
C
……………………（2分）
1
,0)
22
E
，∴
31
(,0)
22
BE=
，
1
33
(,0)
22
B E=-
故
1
31333
(,0)(,,0)0
222244
BE EB
⋅=⋅-=-+=
，即1
B E E B
⊥
……………（4分）又AB⊥面11
BCC B
，故AB BE
⊥。

因此BE是异面直线AB与1
EB
的公垂线段，
则
3
||1
BE==
，故异面直线AB与1
EB
的距离为1。

……………（6分）
（2）由已知有1
EA EB
⊥
，111
B A EB
⊥
，故二面角11
A E
B A
--
的平面角θ的大小为向量1
1
B A
与EA
的夹角。

因11
B A BA
==
，
1
(
22
EA=--
……………………（10分）
故
11
11
2
cos
||||3
EA B A
EA B A
θ
⋅
==tan
2
θ=
…………………（12分）
19．解：（1）由
)
(x
f在1
=
x处连续，可得1
ln
1
1=
+
-a，故0
=
a (1)
分∴⎩
⎨
⎧
>
≤
-
=
1
,
ln
,1
,
)
(
2
3
x
x
x
x
x
x
f
…………………………2分当1
<
x时，x
x
x
f2
3
)
(2-
=
'
，令
)
(<
'x
f，可得3
2
0<
<x
……………………4分当1
>
x时，
x x f 1
)(=
'，故0)(>'x f ………………5分所以函数)(x f 的单调减区间为（0，
32）………………6分（2）设
⎩⎨
⎧>-≤--=-=)1(ln )1()()(23x x x x x x x x x f x g 当1<x 时，123)(2--='x x x g ，令0)(>'x g ，可得
31-
<x 或1>x ，即31
-<x ；令0)(<'x g ，
可得131<<-
x 可得)31,(--∞为函数)(x g 的单调增区间，)
1,31
(-为函数)(x g 的
单调减区间．
当1>x 时，
1
1)(-=
'x x g ，故当1>x 时，0)(<'x g ．
可得),1(∞+为函数)(x g 的单调减区间．
又函数)(x g 在1=x 处连续，于是函数)(x g 的单调增区间为)
31
,(--∞，单调减区间为),31
(∞+- (10)
分所以函数
)(x g 的最大值为
2753191271)31(=
+--=-g ，要使不等式c x x f +≤)(对一切R x ∈恒成立，即
c x g ≤)(对一切R x ∈恒成立，又
275
)(≤
x g ，故c 的取值范围为
275
≥
c …………………………12分
20．解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫ ⎪
⎝⎭为记为F ，过点M 作直线
2p
x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：
MF MN
=即动点M 到定点F 与定直线
2p
x =-
的距
离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，
其中,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，
2p x =-
为准线，
所以轨迹方程为
22(0)y px P =>； 4分 （II ）如图，设
()()
1122,,,A x y B x y ，由题意得
12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0
x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，
显然22
12
12,22y y x x p p ==，将y kx b =+与
2
2(0)y px P =>联立消去x ， 得2
220ky py pb -+=由韦达定理知
121222,p pb
y y y y k k +=
⋅=①
（1）当
2π
θ=
时，即
2π
αβ+=
时，tan tan 1αβ⋅=
所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，22
12
12204y y y y p -=
所以2
124y y p =由①知：224pb
p k =
所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+， 即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点
()2,0p - 8分
（2）当
2π
θ≠
时，由αβθ+=，
得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122
122()
4p y y y y p +-
将①式代入上式整理化简可得：
2tan 2p b pk θ=
-，所以22tan p
b pk
θ=+，
此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫
+--= ⎪⎝⎭
所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
所以由（1）（2）知，当
2π
θ=
时，直线AB 恒过定点()2,0p -，
当2π
θ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫
-
⎪
⎝
⎭． 13分
21．（1）因为点()1,(,2)n n S S n N n *-∈≥在直线(23)330t x ty t +-+=（t 为与n 无关的正
实数）上，所以033)32(1=+-+-t tS S t n n ，
即有
)2*,(3)32(31≥∈=+--n N n t S t tS n n ．
当2=n 时，t a t a a t 3)32()(3121=+-+．
由11a =，解得t t a 3322+=，所以t t a a 33212+=．
当2≥n 时，有t S t tS n n 3)32(31=+-+……………………………………………………
①
t S t tS n n 3)32(31=+--……………………………………………………②①－②，得
0)32(31=+-+n n a t ta ，整理得
t
t a a n n 33
21+=+．
综上所述，知t t a a n n 33
21+=+*)(N n ∈，因此}{n a 是等比数列． (4)
分（2）由（1）知
t t t f 33
2)(+=
，
从而
11
1
13312)1(
---⋅+⋅
==n n n n b b b f b =132-+n b ，所以)2*,(321≥∈==--n N n d b b n n ．
因此，}{n b 是等差数列，并且
31
32)1(1+=
-+=n d n b b n ．
所以，
n n c c c c T ++++= 321
12221254433221+--+-+-=n n n n b b b b b b b b b b b b )()()(12122534312+--+-+-=n n n b b b b b b b b b )(2242n b b b d +++-=
11 / 11 2)(3422n b b n +⋅-=
2)3143
5(34++⋅-=n n
n n 34982--=．……………………………………8分（3）由（2）知n n n d )211(+=，则11])1(211[++++
=n n n d 将
n
n n d )211(+=用二项式定理展开，共有1+n 项，其第1
+k 项为)0(n k ≤≤为k
k k k n k n k n n n k n C T )1()1(!121)21(1+-⋅⋅-⋅⋅==+ )11()21()11(!121n k n n k k --⋅⋅-⋅-⋅= ，同理，11])1(211[++++=n n n d 用二项式定理
展开，
共有2+n 项，第2+n 项为0])1(21[
1112>+=++++n n n n n C U ，其前1+n 项中的第1+k 项)0(n k ≤≤为)111()121()111(!1211+--⋅⋅+-⋅+-⋅=+n k n n k U k k ，由11111+-<-n n ，12121+-<-n n ，…，n k n k n k ,,3,2,111 =+-<-，得11++<k k U T ，n k ,,3,2 =，又T1 = U1，T2 = U2，02>+n U ，∴*)(1N n d d n n ∈<+．……………………………………………………14分。