多元统计分析.doc

作业一
1.2 分析2016年经济发展情况
排名省gdp 占比累计占比
1 广东79512.05 10.30 10.30
2 江苏76086.2 9.86 20.17
3 山东67008.2 8.68 28.85
4 浙江4648
5 6.02 34.87
5 河南40160.01 5.20 40.08
6 四川32680.5 4.24 44.31
7 湖北32297.9 4.19 48.50
8 河北31827.9 4.12 52.62
9 湖南31244.7 4.05 56.67
10 福建28519.2 3.70 60.37
11 上海27466.2 3.56 63.93
12 北京24899.3 3.23 67.16
13 安徽24117.9 3.13 70.28
14 辽宁22037.88 2.86 73.14
15 陕西19165.39 2.48 75.62
16 内蒙古18632.6 2.41 78.04
17 江西18364.4 2.38 80.42
18 广西18245.07 2.36 82.78
19 天津17885.4 2.32 85.10
20 重庆17558.8 2.28 87.37
21 黑龙江15386.09 1.99 89.37
22 吉林14886.23 1.93 91.30
23 云南14869.95 1.93 93.22
24 山西12928.3 1.68 94.90
25 贵州11734.43 1.52 96.42
26 新疆9550 1.24 97.66
27 甘肃7152.04 0.93 98.59
28 海南4044.51 0.52 99.11
29 宁夏3150.06 0.41 99.52
30 青海2572.49 0.33 99.85
31 西藏1150.07 0.15 100.00
将2016各省的GDP进行排名，可以发现，经济发达的的地区主要集中在东部地区。

西部gdp的占比较小。

作出2016各省的gdp直方图如下：
作业二 多元回归分析
2.1多元线性回归 2.1.1数据来源
《福建省统计年鉴-2017》 年份 商品零售价格指数y 农业生产资料价格指数x1 工业生产价格指数x2 工业生产者购进价格指数x3 固定资产投资
价格总指数x4 2000 98.9 97.4 100.5 112.4 100.2 2001 98 98.7 98.1 96.7 99.5 2002 98.3 99.9 97.6 97.6 99.7 2003 99.1 101.8 100.7 106.3 101.4 2004 102.7 112.5 102.6 113.3 103.4 2005 100.6 108.1 100.2 108.1 100.7 2006 100.5 100.9 99.2 103.9 102 2007 104.3 110.3 100.8 104.3 105.9 2008 105.7 123.6 102.7 110.2 105.9 2009 97.9 93.3 95.5 93.2 98 2010 103.4 102.4 103.2 107.7 103.3 2011 104.8 111.8 103.9 108 106.2 2012 101.8 103.3 98.7 97.7 100.3 2013 101.1 99.5 98.4 98.4 100.1 2014 101.1 99.5 98.6 98.3 100.4 2015 99.9 101.4 97 96.1 98.3 2016 100.7
100.2 99.1
98 100
2.1.2模型假设
商品的零售价格会受很多因素的影响，对于影响零售价格指数y 的影响现在仅考虑农业生产资料指数x1、工业生产价格指数x2、工业生产者购进价格指数x3、固定资产投资的影响x4。

2.1.3模型建立
为了大致分析y 与x1、x2、x3、x4，建立y 关于x1、x2、x3、x4的散点图，可以看出y 与X 呈现出较为明显的线性相关关系。

由此可以建立y 关于x 的多元线性回归模型:
4
43322110x a x a x a x a a y ++++=
运用MatlabR2017a画y关于x的散点图如下：
2.1.4模型求解和分析
运用MatlabR2017a进行多元回归分析，使用命令为:
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)
在这里y是n*1的列向量，x是n*(m+1)的矩阵且第一列向量全是1，alpha 采用默认值0.05。

将Excel的数据导入Matlab运行结果截图如下：
由计算结果可得：
参数参数估计值置信区间
a0 11.84 [-23.7566,47.4395]
a1 0.1304 [-0.0041,0.2648]
a2 0.5429 [-0.1834,1.2961]
a3 -0.1796 [-0.3628,0.0036]
a4 0.3945 [-0.1545,0.9432]
R2=0.8699 统计量观测值F=20.0540 检验值p=0.0000 误差方差估计=0.9995
可知y=11.84+0.1304x1+0.5429x2−0.1796x3+0.3945x4
以上结果的置信度为95%，R2=0.8699，F=20.0540，p=0.0000<0.05，可知回归模型成立。

分析其杠杆残差图如下：执行 rcoplot(r,rint)
由残差图可以看出，除第二个数据外，其它数据的残差离零点都较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型y=11.84+0.1304x1+0.5429x2−0.1796x3+0.3945x4能较好的符合原始数据，而第二个数据为异常点。

由模型可以看出对商量零售价格影响最大的是工业生产价格指数，工业生产价格指数每上升一个点，商品零售价格指数约上升0.5。

2.1.5逐步回归分析
运用Matlab采用逐步回归的方法对数据进行建模分析，命令为
stepwise（x，y，inmodel，alpha）
这里inmodel采取所有变量，alpha采用默认值，输如命令得到下图：
可以看出，四条线均为实线，无需对变量进行剔除，选中四条线，可以得到下图：
由图可知，模型结果同2.1.4中的模型，即：
y=11.84+0.1304x1+0.5429x2−0.1796x3+0.3945x4
2.2非线性回归
2.2.1数据来源
《福建省统计年鉴-2017》
年份工业总产值
（亿元）
能源生产量
（万吨标准煤）
年份
工业总产值
（亿元）
能源生产量
（万吨标准煤）
1981 87.76 493 1999 3479.84 1634.16
1982 95.77 522 2000 3994.86 1654.17
1983 103.97 609 2001 4398.08 1850.44
1984 131.11 641 2002 5260.2 1923.4
1985 173.13 690 2003 6616.61 1816.8
1986 205.1 724 2004 8544.5 1805.75
1987 265.87 806 2005 9995.89 2488.47
1988 388.85 918 2006 11855.68 2668.15
1989 488.96 950 2007 14425.06 2625.28
1990 531.49 966.52 2008 17141.44 2989.93
1991 658.86 854.43 2009 18681.48 2939.48
1992 915.51 1013.39 2010 23805.32 3260.42
1993 1522.37 1051.43 2011 30330.59 2802.72
1994 2128.61 1169.96 2012 32379.94 2989.65
1995 2638.52 1396.24 2013 36724.66 2739.76
1996 2840.51 1406.04 2014 41579.84 2924.01
1997 3066.76 1256.3 2015 43888.84 3566.6
1998 3218.51 1177 2016 47275.84 4490.8
2.2.2模型假设
工业生产总值会收到很多因素的影响，技术的进步会使得能源的利用率得到提高，假设工业生产总值与能源的生产量存在着非线性关系，作工业生产总值关于能源生产量的散点图如下，运用Matlab作散点图，命令为：scatter（x,y)，得到的散点图如下：
由散点图可知，工业生产总值y 与能源生产量之间x 存在着非线性关系，设y 与x 存在着指数函数关系，即x b x a y **=。

2.2.3模型建立
由于是二维，可运用Matlab 的cftool 拟合工具箱对数据进行拟合，结果如下图所示：
由拟合结果可知，R 2为0.8016，拟合效果一般，SSE 为1132000000，RMSE 为5856，模型为：
x e y *001086.08.974=
作业三主成分分析与聚类分析3.1数据来源
《福建省统计年鉴——2017》
年份固定资产
投资（亿
元）
GDP（亿
元）
财政总
收入（亿
元）
工业总产
值（亿元）
第一
产业
（%）
第二
产业
（%）
第三
产业
（%）
GDP
增长
率
(%)
人均
GDP
（元）
社会消费
品零售总
额（亿元）
城镇居
民人均
可支配
收入
（元）
3.2主成分分析
经济发展系统包含11个指标：全社会固定资产投资（亿元）、全部工业总产值（亿元）、GDP总量（亿元）、财政总收入（亿元）主要反应福建省的经济规模和总量；第一产业、第二产业和第三产业比重主要反应福建省的经济结构；GDP增长率、人均GDP（元）、城镇居民恩格尔系数、社会消费品零售总额（亿元）主要反应福建省的经济效益。

主成分分析法是利用降维的思想，把多个指标转换为少数几个综合指标（即主成分），其中每个主成分都能够反应原始数据的大部分信息，且所含信息互不重叠。

这里，运用MatlabR2017a进行主成分分析。

首先，需要对数据进行标准化处理，采用zscore函数，结果如下：
调用princomp函数函数对标准化处理后的数据进行主成分分析，由于princomp函数不返回贡献率，需要用协方差矩阵的特征值向量latent来计算，命令为explained = 100*latent/sum(latent)。

为了直观，将处理后的数据储存在元胞数组中，命令如下：
处理结果如下：
由处理结果可知，第一主成分的贡献率达到78.91%，第二主成分贡献率为14.14%，累计贡献率为93.05%，超过85%，因此，只需提取前两个主成分。

由COEEF第一、二列可知：
y1=0.3332x1+0.3386x2+0.3380x30.3384x4+0.3077x5+0.2567x6 +0.1888x7+0.0786x8+0.3387x9+0.3372x10+0.3388x11 y2=0.1332x1+0.0346x2+0.0347x3+0.0126x4+0.3106x5+0.5009x6 +0.3537x7+0.0769x8+0.0222x9+0.0.0822x10+0.0163x11
3.3聚类分析
运用Matlab对数据进行分析，这里采用分部聚类法对福建省2000——2016的经济发展进行分析，对其发展的类型作一个简单的划分。

运用分步聚类对数据进行处理，首先寻找变量之间的相似性，这里运用pdlist计算相似矩阵，过程及谱系图如下：
X为原始数据，XZ为标准化处理后的数据。

由运行结果可以看出，当距离为0时，17年的经济情况各自为一类，当距离逐渐扩大时，17年的经济数据被依次聚类。

从谱系图我们可以看出，经济情况距离最小的两年2000、2001年首先被聚为一类，选取聚类标准距离为1.4，可
以将2000—2017年的经济情况划分为三类：第一类为2000～2005年，第二类为2006～2014年，第三类为2015、2016年。

由福建省2000—2016年的gdp数据我们可以看出，福建省的经济逐年增长，通过聚类分析，我们可以将福建省在2000—2016年的经济水平大致划分为三个阶段，由于时间跨度较小，选取的指标体系也存在一定的局限性，以及缺乏科学的评判标准，因此，对福建省的经济发展水平的阶段划分存在一定的科学性，但是，从聚类的结果来看，一定程度上可以反映出2000—2006年福建省经济发展的阶段。

作业四马尔科夫预测与线性回归
4.1数据来源
计量地理学P147.某地区1965-2014年农业收成变化的转移情况，“1”代表丰收，“2”代表平收，“3”代表歉收。

年份状态年份状态年份状态
1965 1 1982 3 1996 3
1966 1 1983 3 1997 2
1967 2 1984 1 1998 1
1968 3 1982 3 1999 1
1969 2 1983 3 2000 2
1970 1 1984 1 2001 2
1971 3 1985 3 2002 3
1972 2 1986 3 2003 1
1973 1 1987 2 2004 2
1974 2 1988 1
1975 3 1989 1
1976 1 1990 3
1977 2 1991 2
1978 3 1992 2
1979 1 1993 1
1980 2 1994 2
1981 1 1995 1
4.2数据分析
运用Matlab对数据进行马尔科夫预测。

（1）求出状态转移概率矩阵
（2）对2015年农业收成状态进行预测
可以得到2005-2015年农业收成状态的概率预测值如下：
年份丰收平收签收
2005 0.5385 0.1538 0.3077
2006 0.3024 0.4148 0.2828
2007 0.3867 0.3335 0.2799
2008 0.3587 0.3590 0.2824
2009 0.3677 0.3510 0.2813
2010 0.3648 0.3535 0.2817
2011 0.3657 0.3527 0.2816
2012 0.3654 0.3529 0.2816
2013 0.3655 0.3528 0.2816
2014 0.3655 0.3529 0.2816
2015 0.3655 0.3529 0.2816
（3）终极状态概率预测
由分析结果可知，丰收、平手、歉收的终极状态概率分别为：0.3655、0.3529、0.2816，表明在经过无穷多次状态转移过后，丰收概率>平手概率>歉收概率。

4.2线性回归分析
4.2.1建立模型
生产I、II、III三种产品，都经过A，B两道工序加工。

设备A工序有A1、A2两台设备，B工序有B1，B2，B3三台设备。

已知产品I可在A，B任何一种设备上加工，产品II可在任一规格A设备上加工，但B工序只能在B2设备上加工，产品III两道工序只能在A2，B2设备上加工。

加工单位产品所需工序时间及其有关数据如下表所示。

应如何安排生产计划，使该厂获利最大。

解：对产品1来说，设以A1、A2完成A工序的产品分别为X1、X2，转入B
工序时，以B1、B2、B3完成B工序的产品分别为X3、X4、X5件；对产品2
来说，以A1、A2完成A工序的产品分别为X6、X7件，转入B工序时，以B1
工序的产品为X8件；对产品3来说，设以A2完成A工序的产品为X9件，则
以B2完成B工序的产品也为X9。

可得：
maxZ=(1.25−0.25)(X1+X2)+(2−0.35)(X6+X7)+(2.8−0.5)X9
−0.05(5X1+10X6)−0.03(7X2+9X7+12X9)
−0.06(6X3+8X8)−0.11(4X4+11X9)−0.05∗7X5 =0.75X1+0.79X2-0.36X3-0.44X4-0.35X5+1.15X6+1.38X7-0.48X8+0.73X9 s.t. X1+X2=X3+X4+X5
X6+X7=X8
5X1+10X6<=6000;
7X2+9X7+12X9<=10000;
6X3+8X8<=4000;
4X4+11X9<=7000;
7X5<=4000;
X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9>=0;
运用Matlab运行，建立M文件如下：
可得最优解为
X1=1200,X2=230,X3=0,X4=859,X5=571,X6=0,X7=500,X8=500,X9=324
此时最大利润为1147元。

二、建立模型，并用单纯形解法解模型
现有某一江段，沿江设有两个工厂，第一个工厂每日向江中排放的污染物为20个单位，第二个工厂每日排污量为14个单位。

那些污染物在排入江中之前，曾作部分处理，每处理一个单位的污水处理费在第一个工厂为1000元，在第二个工厂为800元。

两个工厂沿江分布的位置，见图。

流经第一个工厂的河流在经过工厂以前未受污染的河流，其江水流量Q1为5M3/S，在第一个工厂到第二个工厂之间又有一小支流汇入，其流量Q2为2 M3/S。

也未受污染。

另外，第一个工厂排入江中的污染物在未到第二个工厂以前由于自净作用而自净掉20%。

按国家城乡环保部的规定这条江对污染物的允许含量不得超过2个单位，既要满足江河的防治污染标准，又要使两个工厂因处理污水而花费的经费最少。

试问这两个工厂需要处理的污水单位是多少？
▲工厂1 ▲工厂2
解：设X1和X2分别为第一个工厂和第二个工厂的污水处理单位，两个工厂所需要花费的污水处理费为1000X1+800X2，可得：
minZ=1000X1+800X2
20-X1<=10
-0.8(20-X1)-(14-X2)<=-14
10<=X1<=20
0<=X2<=14
令X1=X1-X3,X2=16-0.8X1
引入松弛变量X3、X4、X5、X6化为标准型：
minZ=1000X1+800X2
-X1+X3=-10
-0.8X1-X2+X4=-16
X1+X5=20
X2+X6=14
X1,X2>=0
建立M文件如下：
根据标准型，我们可以得到:
由此我们可以得到当x1=10,x2=8时为最优解，最小值为16400。