2014-2015学年福建省三明一中高二第二次月考数学试卷

2014-2015学年福建省三明一中高二（上）第二次月考数学试卷（特保班）（理
科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．下列各小题中，所给出的四个答案中有且仅有一个是正确的）
1．（5分）i是虚数单位，复数=（）
A．1+2i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．2﹣i
2．（5分）已知命题：p：?x∈R，cosx≤1，则￢p为（）
A．?x∈R，cosx≥1 B．?x∈R，cosx≥1 C．?x∈R，cosx＞1 D．?x∈R，cosx＞1 3．（5分）直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若=，=，=，则=（）
A．+﹣B．﹣+C．﹣++D．﹣+﹣
4．（5分）函数g（x）=ax3﹣1在（﹣∞，+∞）是减函数，则a的取值范围是（）A．a≤0 B．a＜0 C．a≥0 D．a＞0
5．（5分）计算=（）
A．﹣1 B．1 C．8 D．﹣8
6．（5分）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）
A．B．C．D．
7．（5分）观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）
8．（5分）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）则
的值为（）
A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0
9．（5分）方程=表示的曲线为（）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
10．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）
11．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小等于a的概率为（）
A．B．πC．D．π
12．（5分）已知双曲线=1（b∈N*）的两个焦点为F1，F2，O为坐标原点，点P 在双曲线上，且|OP|＜5，若|PF1|、|F1F2|、|PF1|成等比数列，则b2等于（）A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．（4分）已知，且，则x= ．
14．（4分）一条长为8的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，则两个正方形的边长各是，．
15．（4分）已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是．
16．（4分）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy ∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集．
其中真命题是．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=2，AB=2，棱AA1=4，M，N分别是A1B1，AA1的中点．
（1）求?的值；
（2）求直线BN与平面AB1C所成的角的正弦值．
18．（12分）设平面向量=（m，1），=（2，n），其中m，n∈{1，2，3，4}．（1）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；
（2）若“使得⊥（﹣）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率．19．（12分）已知函数f（x）=x2（ax+b），（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求a、b的值和函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，4]时，方程f（x）﹣t=0恰有一实根，试确定t的取值范围．20．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC （1）证明：A1C⊥平面BED；
（2）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．
21．（13分）函数（a为常数）的图象过点（2，0），
（Ⅰ）求a的值并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2x﹣m]在区间[2，3]上有意义，求实数m的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程|f（x）|=t+4x﹣x2（t为常数）的正根的个数．
22．（13分）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
2014-2015学年福建省三明一中高二（上）第二次月考数学试卷（特保班）（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．下列各小题中，所给出的四个答案中有且仅有一个是正确的）
1．（5分）i是虚数单位，复数=（）
A．1+2i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．2﹣i
【解答】解：．
故选A．
2．（5分）已知命题：p：?x∈R，cosx≤1，则￢p为（）
A．?x∈R，cosx≥1 B．?x∈R，cosx≥1 C．?x∈R，cosx＞1 D．?x∈R，cosx＞1【解答】解：命题：p：?x∈R，cosx≤1，则￢p为?x∈R，cosx＞1
故选C
3．（5分）直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若=，=，=，则=（）
A．+﹣B．﹣+C．﹣++D．﹣+﹣
【解答】解：=+
=﹣+﹣
=﹣+﹣
故选D．
4．（5分）函数g（x）=ax3﹣1在（﹣∞，+∞）是减函数，则a的取值范围是（）A．a≤0 B．a＜0 C．a≥0 D．a＞0
【解答】解：根据单调性的定义，要使g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a＜0．
故选B．
5．（5分）计算=（）
A．﹣1 B．1 C．8 D．﹣8
【解答】解：=（﹣cosx+2x）|﹣22
=﹣cos2+4﹣（﹣cos2﹣4）=8．
故选C．
6．（5分）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）
A．B．C．D．
【解答】解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0
根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件
故选A．
7．（5分）观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）
【解答】解：根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；
故选C．
8．（5分）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）则
的值为（）
A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0
【解答】解：
=．
故选B
9．（5分）方程=表示的曲线为（）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
【解答】解：设P（x，y），由方程=得：
点P到点F（2，2）的距离等于点P到直线3x﹣4y﹣6=0的距离，
∵点F不在直线3x﹣4y﹣6=0上，由抛物线的定义得：曲线为抛物线．
10．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）
【解答】解：如下图：
f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）分别表示了直线n，m，l的斜率，
故0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），
故选B．
11．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小等于a的概率为（）
A．B．πC．D．π
【解答】解：由由题意可得正方形的体积为a3，
与点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，体积为V1=×，
则点P到点A的距离小于等于a的概率为：
12．（5分）已知双曲线=1（b∈N*）的两个焦点为F1，F2，O为坐标原点，点P 在双曲线上，且|OP|＜5，若|PF1|、|F1F2|、|PF1|成等比数列，则b2等于（）A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列可知，|F1F2|2=|PF1||PF2|，即4c2=|PF1||PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=16，
可得|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16…①
设∠POF1=θ，则∠POF2=π﹣θ，
由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2﹣2|OF2||OP|cos（π﹣θ），|PF1|2=c2+|OP|2﹣2|OF1||OP|cosθ，
|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，
由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2．
因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．
所以b=1．
故选：A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13．（4分）已知，且，则x= ﹣6 ．
【解答】解：因为，且，
所以存在实数λ使得
即
解得x=﹣6．
故答案为﹣6．
14．（4分）一条长为8的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，则两个正方形的边长各是 1 ， 1 ．
【解答】解：设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长为（2﹣x）．
两个正方形的面积和为：S=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4=2（x﹣1）2+2
∴x=1时，两个正方形的面积和最小为2，
此时2﹣1=1，所以两段铁丝的长度分别1，1，
故答案为：1，1
15．（4分）已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是．
【解答】解：依题意可知焦点F（，0），准线 x=﹣，延长PM交准线于H点，则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，
∴|PM|=|PH|﹣=|PF|﹣．
∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．
由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，
当点P是线段FA和抛物线的交点时，|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|，利用两点间的距离公式求得|FA|=5．
则所求为|PM|+|PA|=5﹣=．
故答案为：．
16．（4分）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy ∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集．
其中真命题是①②．（写出所有真命题的序号）
【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．
当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确
对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误
取S={0}，T={0，1}，满足S?T?C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A 1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=2，AB=2，棱AA1=4，M，N分别是A1B1，AA1的中点．
（1）求?的值；
（2）求直线BN与平面AB1C所成的角的正弦值．
【解答】解：（1）由CA=CB=2，，得AB2=CA2+CB2，即∠ACB=90°
∴以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz，
则A 1（2，0，4），B（0，2，0），故=（﹣2，2，﹣4），
由C 1（0，0，4），得=（0，2，﹣4），
∴故?=20，
（2）∵N（2，0，2），∴，
，，
设平面AB 1C的法向量，
则，取．
设直线BN与平面AB1C所成的角为θ，
∴，
故直线BN与平面AB1C所成的角的正弦值是．
18．（12分）设平面向量=（m，1），=（2，n），其中m，n∈{1，2，3，4}．
（1）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；
（2）若“使得⊥（﹣）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率．
【解答】解：（1）有序数组（m，n）的所有可能结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．
（2）由a m⊥（a m﹣b n），得m2﹣2m+1﹣n=0，即n=（m﹣1）2，由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的基本事件为（2，1）和（3，4），共2个，又基本事件的总数为16，故所求的概率为P（A）==．
19．（12分）已知函数f（x）=x2（ax+b），（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求a、b的值和函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，4]时，方程f（x）﹣t=0恰有一实根，试确定t的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x2（ax+b）在x=2处取得极值，
所以 f'（2）=12a+4b=0①，
由图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行，
则 f'（1）=3a+2b=﹣3②，
联立①②解得 a=1，b=﹣3，
代入f（x），得 f（x）=x3﹣3x2，此函数的定义域为（﹣∞，+∞），
f'（x）=3x2﹣6x，
令f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，令f′（x）＜0，得0＜x＜2，
所以函数f（x）在区间（﹣∞，0]和[2，+∞）上是单调递增的；在区间（0，2）上是单调递减的；
（2）由（1）知：f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
当x=2时f（x）取得极小值，也即最小值为f（2）=8﹣12=﹣4，f（1）=1﹣3=﹣2，f（4）=64﹣48=16．
作出y=f（x）（1≤x≤4）的草图如下图所示：
方程f（x）﹣t=0恰有一实根，即y=f（x）与y=t的图象只有一个交点，
由图象知：﹣2＜t≤16或t=﹣4．
故实数t的取值范围为：﹣2＜t≤16或t=﹣4．
20．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC （1）证明：A1C⊥平面BED；
（2）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1），，，
∵，
，
∴，，
∴A1C⊥平面BED
（2）∵，，
设平面A 1DE的法向量为，
由及，
得﹣2x+2y﹣3z=0，﹣2x﹣4z=0，
取
同理得平面BDE的法向量为，
∴cos＜＞===﹣，
所以二面角A1﹣DE﹣B的余弦值为．
21．（13分）函数（a为常数）的图象过点（2，0），
（Ⅰ）求a的值并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2x﹣m]在区间[2，3]上有意义，求实数m的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程|f（x）|=t+4x﹣x2（t为常数）的正根的个数．
【解答】解：（Ⅰ）依题意有，
此时，其定义域为x|x≠0，由f（﹣x）=﹣f（x）即为奇函数；（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2x﹣m]在区间[2，3]上有意义，即对x ∈[2，3]恒成立，得
令，x∈[2，3]先证其单调递增：
任取2≤x1＜x2≤3，
则
因为2≤x1＜x2≤3，则h（x2）﹣h（x1）＞0，
故h（x）在x∈[2，3]递增，
则的最小值h（2）=4，∴m＜4；
（III）设y1=|f（x）|，y2=t+4x﹣x2
结合图象得：
①当t＜﹣4时，正根的个数为0；
②当t=﹣4时，正根的个数为1；
③当t＞﹣4时，正根的个数为2．
22．（13分）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1由e==，∴a2=5，
所以椭圆C的标准方程为+y2=1；
（2）由（1）得F（2，0），则0≤m≤2
设直线l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程，消去y可得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=
∴y1+y2=k（x1+x2﹣4），y1﹣y2=k（x1﹣x2）
∵
∴=0
∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y2﹣y1）（y1+y2）=0
∴=0
∴
∴
∴
∴当时，；
（3）在x轴上存在一个定点N，使得C、B、N三点共线
由题意C（x1，﹣y1），∴直线BC的方程为
令y=0，则x=
∵A，B在l的方程y=k（x﹣2）上
∴y1=k（x1﹣2），y2=k（x2﹣2）
∴x====
∴在x轴上存在一个定点N（，0），使得C、B、N三点共线．
2020-2-8。