平面的基本性质(二)

平面的基本性质（二）
平面的基本性质是立体几何中演绎推理的逻辑依据．以平面的基本性质证明诸点共线、诸线共点、诸点共面是立体几何中最基础的问题，既加深了对平面基本性质的理解，又是今后解决较复杂立体几何问题的基础．
一、素质教育目标
（一）知识教学点
掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．
1．证明若干点或直线共面通常有两种思路
（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如例1之①；
（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内，如例1之②．
2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内，如例2．3．证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点，如练习．
（二）能力训练点
通过严格的推理论证，培养逻辑思维能力，发展空间想象能力．
（三）德育渗透点
通过对解题方法和规律的概括，了解个性与共性．特殊与一般间的关系，培养辩证唯物主义观点，又从有理有据的论证过程中培养严谨的学风．
二、教学重点、难点、疑问及解决办法
1．教学重点
（1）证明点或线共面，三点共线或三线共点问题．
（2）证明过程的书写格式与规则．
2．教学难点
（1）画出符合题意的图形．
（2）选择恰当的公理或推论作为论据．
3．解决办法
（1）教师完整板书有代表性的题目的证明过程，规范学生的证明格式．（2）利用实物，摆放成符合题意的位置．
三、学生活动设计
动手画图并证明．
四、教学步骤
（一）明确目标
1．学会审题，根据题意画出图形，并写“已知、求证”．
2．论据正确，论证严谨，书写规范．
3．掌握基本方法：反证法和同一法，学习分类讨论．
（二）整体感知
立体几何教学中，对学生进行推理论证训练是发展学生逻辑思维能力的有效手段．首先应指导学生学会审题，包括根据题意画出图形，并写出已知、求证．其次，推理的依据是平面的基本性质，要引导学生确定平面．由于学生对立体几何中的推理颇不熟练，因此宜采用以启发为主，边讲边练的教学方式．教师在讲解时，应充分展开思维过程，培养学生分析空间问题的能力，在板书时，应复诵公理或推论的内容，加深对平面基本性质的理解．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
A．复习与讲评
师：我们已学习了平面的基本性质，那么具备哪些条件时，直线在平面内？
（生回答公理1，教师板画图1－20示意．）
师：具备哪些条件可以确定一个平面？
（生4人回答，教师板画图1－21示意．）
师：上一节课后布置思考证明推论3，现在请同学们共同讨论这个证明过程．
已知：直线a∥b．
求证：经过a、b有且只有一个平面．
证明：“存在性”．
∵a∥b，
∴a、b在同一平面α内（平行线的定义）．“唯一性”——在直线a上作一点A．
假设过a和b还有一个平面β，则A∈β．
那么过b和b外一点A有两个平面α和β．
这与推论1矛盾．
注：证唯一性，用了“反证法”．
B．例题与练习
师：先看怎样证几条线共面．
例1求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．
d∩c＝R，a、b、c相交于点O．
求证：a、b、c、d共面．
证明：∵d∩a＝P，
∴过d、a确定一个平面α（推论2）．
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，
∴O∈α，O∈β，O∈γ．
∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．∴α、β、γ重合．
∴a、b、c、d共面．
注：本题的方法是“同一法”．
（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a ∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．
求证：a、b、c、d共面
证明：∵d∩a＝P，
∴d和a确定一个平面α（推论2）．
∵a∩b＝M，d∩b＝Q，
∴M∈α，Q∈α．
∴a、b、c、d四线共面．
注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系．
②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏．
③结合本例，说明证诸线共面的常用方法．
例2如图1－25，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．
求证：P在直线BD上．
分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点．
已知：EF∩GH＝P， E∈AB、 F∈AD， G∈BC， H∈CD，
求证：B、D、P三点共线．
证明：∵AB∩BD＝B，
∴AB和BD确定平面ABD（推论2）．
∵A∈AB，D∈BD，
∵E∈AB，F∈AD，
∴EF∩GH＝P，
∴P∈平面ABD．
同理，P∈平面BCD．
∴平面ABD∩平面BCD＝BD．
∴P∈BD即B、D、P三点共线．
注：结合本例，说明证三点共线的常规思路．
练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．
分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点．
已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．
求证：p∈a．
证明：∵b∩c＝p，
∴p∈b．
∵β∩γ＝b，
∴p∈β．
同理，p∈α．
又∵α∩β=a，
∴p∈a．
师：以上例、习题分别证明了四线共面．三点共线和三线共点问题，这只是证明这类问题中的个例，根据不同的条件有不同的分析问题和解决问题的过程，但也具有一般的思路
和方法．除了例1、例2两类问题的常用方法外，本练习是证三线共点问题，也有常用证法（将知识教学点中所列三条用幻灯显示）．
（四）总结、扩展
本课以练习为主，学习了线共面、点共线，线共点的一般证明方法和分类讨论的思想．证明依据是平面的基本性质，数学方法有反证法和同一法，这也是这一单元的主要证明方法．在证明的书写中，要求推论有据，书写规范．
五、布置作业
1．课本习题（略）．
2．求证：两两相交的三条直线必在同一个平面内．
3．已知：△ABC在平面α外，三角形三边AB、AC、BC所在直线分别交α于M、N、R，求证：M、N、R三点共线．
4．如图1－27，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，求证：点D1、E1、F1、B共面．
（提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．）
六、板书设计。