新乐市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

新乐市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（）
A．2x+y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x﹣2y+5=0
2．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）
A．B．C．
D．
3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．
4．在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
5．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a4•a8=2a52，a2=1，则a1=（）
A ．
B ．2
C ．
D ．
6． 已知点P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且
12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率
是（ ）
A.5
B.2 D.2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 7． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ） A ．S 10 B ．S 9
C ．S 8
D ．S 7
8． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 若集合M={y|y=2x ，x ≤1}，N={x|
≤0}，则 N ∩M （ ）
A ．（1﹣1，]
B ．（0，1]
C ．[﹣1，1]
D ．（﹣1，2] 10．已知向量(,1)a t = ，(2,1)b t =+ ，若||||a b a b +=-
，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 11．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A ．34种
B ．35种
C ．120种
D ．140种
13．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为5，
则n =（ ）
A ．35
B ． 36
C ．120
D ．121
14．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6 15．函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0）
D ．（0，1）
二、填空题
16．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若
28
108
10=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 17．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分 别是AC ，BD
的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是
______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
18．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称； ③y=（
）﹣x
是增函数；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0．
19．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．
三、解答题
20．设M 是焦距为2的椭圆E
：
+
=1（a ＞b ＞0）上一点，A 、B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=
﹣．
（1）求椭圆E 的方程； （2）已知椭圆E
：
+
=1（a ＞b ＞0）上点N （x 0，y 0
）处切线方程为
+=1，若P
是直线x=2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C 、D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．
21．（14分）已知函数1
()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=，其中m ，a 均为实数．
（1）求()g x 的极值； 3分
（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
恒成立，求a 的最小值； 5分
（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 6分
22．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
A[]
B[]
C[]
D[]
23．A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求a．
24．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问2
卷调查，得到了如下的2
（1
（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2
K ，判断心肺疾病与性别是否有关？
（参考公式：)
)()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）
25．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+1）x+alnx ，a ∈R （1）当a=1，求f （x ）的单调区间；（4分）
（2）a ＞1时，求f （x ）在区间[1，e]上的最小值；（5分） （3）g （x ）=（1﹣a ）x ，若使得f （x 0）≥g （x 0）成立，求a 的范围.
新乐市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：联立，得x=1，y=3，
∴交点为（1，3），
过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，
与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，
把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，
解得c=﹣5，
∴直线方程是：2x+y﹣5=0，
故选：A．
2．【答案】B
【解析】解：根据选项可知a≤0
a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|=16，b=4
故选B．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．
3．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）
所以=（1，，﹣2），
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以=0，即﹣6+=0，解得t=，
所以PA=．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
4．【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，
∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0，
∴A=C 即为等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．
5．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，
∴q2=2，∴q=，
∵a2=1，∴a1==．
故选：D
6．【答案】A.
【解析】
7．【答案】C
【解析】解：∵S16＜0，S17＞0，
∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，
∴a8＜0，a9＞0，
∴公差d＞0．
∴S n中最小的是S8．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B 、D ；
取a=1时，f （x ）=x|x|+x ，
∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x ＜﹣1时，解得x ＞0，矛盾； （2）﹣1≤x ≤0，解得x ＜0，矛盾； （3）x ＞0时，解得x ＜﹣1，矛盾； 综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C ，
故选A ．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
9． 【答案】B
【解析】解：由M 中y=2x
，x ≤1，得到0＜y ≤2，即M=（0，2]，
由N 中不等式变形得：（x ﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0， 解得：﹣1＜x ≤1，即N=（﹣1，1]， 则M ∩N=（0，1]， 故选：B ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
10．【答案】B 【解析】由||||a b a b +=- 知，a b ⊥ ，∴(2)110a b t t ⋅=++⨯=
，解得1t =-，故选B.
11．【答案】A
【解析】解：由已知中几何体的直观图，
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D 不正确； 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C 不正确； 而对角线的方向应该从左上到右下，故B 不正确
故A 选项正确． 故选：A ． 【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问
题的关键．
12．【答案】A
【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有
种，所以既有男生又有女生的选法有﹣
=34种．
故选：A ．
【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题
13．【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114
n n n n
a a a a ++-=
+得
2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴2
44(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得
n a =
111
2n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n
项和为
1111
1)1)52222
+++== ，∴120n =，选C ． 14．【答案】B 【解析】
试题分析：设{}n a 的前三项为123,,a a a ，则由等差数列的性质，可得1322a a a +=，所以12323a a a a ++=，
解得24a =，由题意得1313
812a a a a +=⎧⎨=⎩，解得1326a a =⎧⎨=⎩或1362a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是递增的等差数列，所以
132,6a a ==，故选B ．
考点：等差数列的性质． 15．【答案】C
【解析】解：由函数f （x ）=3x +x 可知函数f （x ）在R 上单调递增，
又f （﹣1）=﹣1＜0，f （0）=30
+0=1＞0，
∴f （﹣1）f （0）＜0，
可知：函数f （x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C ．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
二、填空题
16．【答案】2016-
17．【答案】
512
【解析】
18．【答案】②④
【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确；
③y=（）﹣x是减函数，故错误；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确．
故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．
19．【答案】．
【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有=15种选法，
其中4个点构成平行四边形的选法有3个，
∴4个点构成平行四边形的概率P==．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．
三、解答题
20．【答案】
【解析】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，
即n2=b2•，
由k1k2=﹣，即•=﹣，
即有=
﹣，
即为a 2=2b 2，又c 2=a 2﹣b 2
=1， 解得a 2=2，b 2
=1．
即有椭圆E
的方程为+y 2=1；
（2）证明：设点P （2，t ），切点C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 则两切线方程PC ，PD
分别为：
+y 1y=1
，
+y 2y=1， 由于P 点在切线PC ，PD 上，故P （2，t
）满足+y 1y=1
，
+y 2y=1，
得：x 1+y 1t=1，x 2+y 2t=1，
故C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均满足方程x+ty=1， 即x+ty=1为CD 的直线方程． 令y=0，则x=1， 故CD 过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．
21．【答案】解：（1）e(1)
()e
x
x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． 列表如下：
∵g （1） = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． 3
分
（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．
∵()0x a
f x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． 设1e ()()e x h x
g x x ==，∵12
e (1)()x x h x x
--'=> 0在[3,4]恒成立，
∴()h x 在[3,4]上为增函数． 设21x x >，则212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．
设1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅，则u （x ）在[3,4]为减函数．
∴2
1e (1)()10e x
a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． ∴11
e e x x a x x
---+≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112
e (1)()1e x x x v x x
---'=-+=1
21131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133
e [()]e 1244
x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．
∴()v x 在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -22
e 3
．
∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22
e 3
． 8分
（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]．
∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，
当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意．
当0m ≠时，2()
()m x m f x x
-'=
，由题意知()f x 在(0,e]不单调， 所以20e m <<，即2
e
m >．①
此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2
(,e)m
上递增，
∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3
e 1
m -≥．②
由①②，得3
e 1
m -≥．
∵1(0,e]∈，∴2
()(1)0f f m =≤成立．
下证存在2
(0,]t m
∈，使得()f t ≥1．
取e m t -=，先证e 2
m m
-<，即证2e 0m m ->．③
设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3
[,)e 1
+∞-时恒成立．
∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3
e ))01
((w x w ->≥，∴③成立．
再证()e m f -≥1．
∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3
e 1
m -≥
时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3
[,)e 1
+∞-． 14分
22．【答案】B
【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

∴当x＞0时，。

∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：。

故实数a的取值范围是。

23．【答案】
【解析】解：解：集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}
∵B⊆A，
∴（1）B=∅时，a=0
（2）当B={1}时，a=2
（3））当B={2}时，a=1
故a值为：2或1或0．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.
25．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），
∴…（2分）
，解得x=1或x=，x∈，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，1），
函数是减函数．…（4分）
（2）∴，∴，
当1＜a＜e时，
∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）
当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，
∴
综上…（9分）
（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解
即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，
∵当时，lnx≤0＜x，
当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，
∴在区间上有解．
令…（10分）
∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，x∈（1，e]，h（x）是增函数，
∴，
∴时，，∴
∴a的取值范围为…（14分）。