2021高考数学一轮复习 课后限时集训11 函数的图像 理 北师大版

课后限时集训11
函数的图像 建议用时：45分钟
一、选择题
1．已知函数f (x )＝2x
－2，则函数y ＝|f (x )|的图像可能是( )
A B C D
B [y ＝|f (x )|＝|2x
－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
－2，x ≥1，
2－2x
，x ＜1，
易知函数y ＝|f (x )|的图像的分段点是x ＝1， 且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0.
又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.] 2．(2019·沈阳市质量监测(一))函数f (x )＝
x 2－1
e
|x |
的图像大致为( )
A B
C D
C [因为y ＝x 2
－1与y ＝e |x |
都是偶函数，所以f (x )＝
x 2－1
e
|x |
为偶函数，排除A ，B ，又
由x →＋∞时，f (x )→0，x →－∞时，f (x )→0，排除D ，故选C.]
3．下列函数中，其图像与函数y ＝ln x 的图像关于直线x ＝1对称的是( )
A ．y ＝ln(1－x )
B ．y ＝ln(2－x )
C ．y ＝ln(1＋x )
D ．y ＝ln(2＋x )
B [法一：设所求函数图像上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图像上，所以y ＝ln(2－
x )．故选B.
法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y ＝ln x 的图像上也在所求函数的图像上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.]
4．对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，23x
≤log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1 C [若23x
≤log a x ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13上恒成立，则0＜a ＜1，利用数形结合思想画出指数函数
与对数函数图像(图略)，易得log a 1
3
＋1≥2
，解得1
3
≤a ＜1，故选C.]
5.函数f (x )＝
ax ＋b
x ＋c 2
的图像如图所示，则下列结论成立的是( )
A ．a >0，b >0，c <0
B ．a <0，b >0，c >0
C ．a <0，b >0，c <0
D ．a <0，b <0，c <0
C [函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图像知－c >0， ∴c <0.
令x ＝0，得f (0)＝b c
2， 又由图像知f (0)>0，∴b >0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a
， 结合图像知－b a
>0，∴a <0. 故选C.]
6．已知函数y ＝f (x ＋1)的图像过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图像关于x 轴的对称图形一定过点________．
(4，－2) [因为函数y ＝f (x ＋1)的图像过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图像一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图像关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．]
7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，－1≤x ≤0，1
4
x －22－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋
b (k ≠0)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
－k ＋b ＝0，
b ＝1，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝1，
b ＝1.
∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.
当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2
－1(a ≠0)， ∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2
－1，∴a ＝14
.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，－1≤x ≤0，1
4
x －22－1，x ＞0.]
8.函数f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数，其在(0,4]上的图像如图所示，那么不等式
f (x )sin x ＜0的解集为________．
(－π，－1)∪(1，π) [由题意知，在(0,4]上，当0＜x ＜1时，f (x )＞0，当1＜x ＜4时，f (x )＜0.由f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数可知，当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当－4＜x ＜－1时，f (x )＞0.g (x )＝sin x ，在[－4,4]上，当0＜x ＜π时，g (x )＞0；当π＜x ＜4时，g (x )＜0；当－π＜x ＜0时，g (x )＜0，当－4＜x ＜－π时，g (x )＞0.
∴f (x )sin x ＜0⇔⎩⎪⎨
⎪
⎧
f x ＞0，sin x ＜0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
f x ＜0，sin x ＞0，
则f (x )sin x ＜0在区间[－4,4]上的解集为(－π，－1)∪(1，π)．]
9．画出下列函数的图像． (1)y ＝e
ln x
；
(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．
[解] (1)因为函数的定义域为{x |x ＞0}且y ＝e ln x
＝x (x ＞0)，所以其图像如图所示．
(2)当x ≥2，即x －2≥0时，
y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
2－94
；
当x ＜2，即x －2＜0时，
y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
2＋94
.
所以y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
－94
，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋94
，x ＜2.
这是分段函数，每段函数的图像可根据二次函数图像作出(其图像如图所示)．
10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
3－x 2
，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；
(2)写出f (x )的单调递增区间；
(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图像如图所示．
(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.
1．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在(－1,3)上的解集为( )
A ．(1,3)
B ．(－1,1)
C ．(－1,0)∪(1,3)
D ．(－1,0)∪(0,1)
C [作出函数f (x )的图像如图所示．
当x ∈(－1,0)时，由xf (x )＞0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )＞0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )＞0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．]
2．(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝|x 2
－1|，若0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(1，2)
D ．(1,2)
C [作出函数f (x )＝|x 2
－1|在区间(0，＋∞)上的图像如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图像于点B ，由x 2
－1＝1可得x B ＝2，结合函数图像可得b 的取值范围是(1，2)．]
3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，x ≤－1，－13x 2
＋43x ＋2
3，x ＞－1，
若f (x )
在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．
[－8，－1] [作出函数f (x )的图像，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
－x 2单调递减，
且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
－x 2＝2，解得x ＝－8；当x ＞－1时，函数f (x )＝－
13x 2＋43x ＋2
3在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝2
3
＜2，f (－1)＝－1，故所求实数m 的取值范围为[－8，－1]．
]
4．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1
x
＋2的图像关于点A (0,1)对称．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋a x
，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图像上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图像上，
即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1
x
(x ≠0)．
(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋
a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1
x
2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x
2≤0在(0,2]上恒成立，
即a ＋1≥x 2
在(0,2]上恒成立，
∴a ＋1≥4，即a ≥3，
故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．
1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3
f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2
，若
F (x )的图像与
G (x )的图像的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m
i ＝1
(x i ＋y i )＝________.
－19m [∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3
f (x )是定义在R 上的奇函数，其图像关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3
f (x ＋2)－17＝
g (x ＋2)－17的图像关于点(－2，－17)中心对称．
又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1
x ＋2－17的图像也关于点(－2，－17)中心对称，
∴F (x )和G (x )的图像的交点也关于点(－2，－17)中心对称， ∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m
2
×(－2)×2＝－2m ， y 1＋y 2＋…＋y m ＝m
2
×(－17)×2＝－17m ，
∴∑m
i ＝1
(x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m .]
2．已知函数f (x )＝2x
，x ∈R .
(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式[f (x )]2
＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． [解] (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x
－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示，由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，即原方程有一个解；
当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，即原方程有两个解．
(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2
＋t ，
因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1
4
在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H (t )＞H (0)＝0.
因此要使t 2
＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立， 应有m ≤0，
即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。