浙江省温州中学2011届高三3月月考试题数学理

温州中学高三数学(理科)测试卷(2011.3)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈≥+=∈≤-=Z x x x
T R x x x S ,115
,,21,则T S 等于（ ）
A ．{}Z x x x ∈≤<,30|
B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|
C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|
D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|
2.若(2)a i i b i -=-，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则复数a bi +=（ ） A.12i + B.12i -+ C.12i -- D.12i -
3.不等式2
210ax x -+<的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ） A ．1a < B ．0a <
C ．01a <<
D ．1a ≤
4.若M 为ABC ∆所在平面内一点，且满足0)2()(=-+⋅-MA MC MB MC MB , 则∆ABC 的形状为（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.正三角形
D.等腰直角三角形
5.已知数列n a a a a n n n +==+11,1,}{中，
利用如图所示的程序框图计算该数列的
第10项，则判断框中应填的语句是（ ） A.10>n B.9≤n C.9<n D.10≤n
6.A 、B 两点相距4cm ，且A 、B 与平面α的距离分别为 3cm 和1cm ，则AB 与平面α所成角的大小是（ ） A ．30° B.60° C. 90° D.30°或90°
7.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次 任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设 停止时共取了ξ次球，则(12)P ξ=等于 （ ） A ．10
10
2
123
5()()
8
8C
B ．9
9
2
11353()()8
8
8C ⋅
C ．9921153()()88C
D ．9921135()()88
C 8.已知函数⎩⎨⎧>≤+-=-.
6,610)31()(7
x a
x a
x a x f x ，若数列{}n a 满足()n a f n =*
()n ∈N ，且{}
n a 是递减数列，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1(,1)3
B. 11(,)32
C. 15(,)38
D. 5(,1)8
9.一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A 的正上方有一个光源
A ，1AA 与球相切，16,AA =球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）
A ．12 B
．2 C
．3 D
．2
10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(4)()f x f x -=-，在[0，2]上()f x 是增函 数，则下列结论：
(1)若1212044x x x <<<+=且x ，则12()()0f x f x +>； (2)若1204,x x <<<且12125,()()x x f x f x +=>则；
(3)若方程()f x m =在[-8，8]内恰有四个不同的根1234,,,x x x x ，则12348x x x x +++=±； 其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的表面积可以．．是 12. 8
82
2108
3
)1()1()1()2()1(-+⋅⋅⋅+-+-+=-++x a x a x a a x x ,则3a = 13.对于实数x ，][x 称为取整函数或高斯函数，亦即][x 是不超过x 的最大整数.例如：
2]3.2[=.直角坐标平面内，若),(y x 满足4]1[]1[22=-+-y x ，则 22y x +的取值范围
是
14. 已知AC BD 、为圆22:9O x y +=
的两条相互垂直的弦，垂足为(1M ,则四边形
ABCD 的面积的最大值为
15.四位数中,恰有2个数位上的数字重复的四位数个数是___________（用数字作答） 16.设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足2
()()1005
x f x f x +=-的
所有x 之和为 17.已知函数()sin 2,[0,
]2
f x x x x π
=-∈，过点P （0，m ）作曲线()y f x =的切线，斜率
恒大于零，则m 的取值范围为
B 1
A 2
A 1
B 2
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题14分）向量)cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+=，设函数()f x m n =⋅. (1)求()f x 的最小正周期与单调递减区间；
(2)在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，若()4,1,f A b ABC ==∆的面积
a 的值.
19.（本题14分）已知数列{}n a 中,114,2(1).n n a a a n +==-+ (1)求证:数列{}2n a n -为等比数列;
(2)设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,若22n n S a n ≥+,求:正整数n 的最小值.
20.（本题14分）如图：在直角三角形ABC 中，已知,30,90AB a ACB B =∠=∠=, D 为AC 的中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，二面角'
A BD C --的大小记为θ.
⑴求证：平面'
A EF ⊥平面BCD;
⑵当'
A B CD ⊥时,求sin θ的值;⑶在⑵的条件下，求点C 到平面'
A BD 的距离.
21.（本题15分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上,椭圆上的点到左、右焦点12
F F 、
的距离之和为2
e =. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于点
A B 、,以22F A F B 、为邻边作平行四边形2AF BM ,求该平行四边形对角线2F M 的长度的取值范围.
22.（本题15分）已知函数1
()ln sin g x x x θ
=+在[)1,+∞上为增函数,且(0,)θπ∈,θ为
常数,1
()ln ()m f x mx x m R x
-=--∈. (1)求θ的值;
(2)若()()y f x g x =-在[)1,+∞上为单调函数,求m 的取值范围; (3)设2()e
h x x
=,若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围.
温州中学高三数学(理科)答案(2011.3)
1—5:BBDAB 6—10:DBCAD
11.6+或4+(写一个就给满分) 12.-55 13.)20,10[)5,1(⋃
14.14 15.3888 16.2010 17. ,
6
2π
π⎡⎫--
⎪⎢⎪⎣
⎭
18.（共14分）解：（1）)cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+= ，
x f ∙=∴)(x x 2cos 222sin 3++=32cos 2sin 3++=x x
3)6
2sin(2++=πx ……4分 ππ
==∴22T ………5分
令)(2326222Z k k x k ∈+
≤+≤+π
ππππ )(3
26Z k k x k ∈+≤≤+∴ππππ )(x f ∴的单调递减区间为]3
2
,6[ππππ++k k ,k ∈Z ………………………………7分
（2）由4)(=A f 得 43)62sin(2)(=++=πA A f 2
1
)62sin(=+∴πA …………8分
又A 为ABC ∆的内角，6
13626πππ<+<∴A ，6562ππ=
+∴A 3π
=∴A …10分 1,23==∆b S ABC ，2
3
sin 21=
∴A bc ，2=∴c ……………………………12分 32
1
12214cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a ，3=∴a …………………14分
19.（共14分） 解：（1）112(1)2(1)2(2)n n n n a a n a n a n ++=-+∴-+=-{}2n a n ∴-为
等比数列；…………………………………………………7分
（2）由（1）知，12222222n n n n n n a n a n S n n +-=∴=+∴=++-……………12分 由22n n S a n ≥+可得，1
2222
222222n n n n n n n n n +++-≥++∴≥++
∴正整数n 的最小值为5. …………………………………………………………14分
20.（共14分）(1)证明:由△PBA 为Rt △, ∠C=︒30 AB=AC 2
1
∵D 为AC 中点，
∴AD ＝BD ＝DC ∵△ABD 为正三角形 又∵E 为BD 中点
∴BD ⊥AE ’ BD ⊥EF 又由A ’E ⋂EF ＝E ，且A ’E 、EF ∈平面A ’EF BD ⊥平面A ’EF ∴面A ’EF ⊥平面BCD ………………………4分 (2) BD ⊥AE ’, BD ⊥EF 得
∠A ’EF 为二面角A ’-BD-C 的平面角的大小即∠A ’EF ＝θ ……………5分
以E 为坐标原点,得'
(0,
cos ,sin ),(,0,0),(-,,0),(-,0,0)22222a a A a B C a a D θθ
由'0A B CD ⋅=,得sin 3
θ=………………10分
3）用等积法易得所求距离为：3a ………………14分
21. （共15分） 解：（1）2
212
x y +=…………………4分 (2)222F M F A F B +的长度为 ………6分 当斜率不存在时, 224F A F B +=……8分
当斜率存在时, 22
2242
4(73)
16441
k F A F B k k ++=-++…………12分 2F M 的长度的取值范围是(]2,4………15分
22. （共15分）解：（1）由题意：2
11
g (x)0x sin x
θ'=-
+≥在[)1,+∞上恒成立，即2
sin 1
sin x x θθ
-， (0,),sin 0,xsin 10θπθθ∈∴>≥故-在[)1,+∞上恒成立,
只需sin 110,sin 1sin 102
π
θθθθπθ⋅-≥≥∈
即,只有=,结合（，），得=…………（4分）
(2) 由(1),得f(x)-g(x)=mx-m 2ln x x -,22mx 2x m
(f(x)-g(x))=x -+',由于f(x)-g(x)在其
定义域内为单调函数，则22
mx 2x m 0mx 2x m 0-+≥-+≤或者在[)1,+∞上恒成立，即22
2x 2x
m m 1x 1x ≥
≤++或者在[)1,+∞上恒成立，故m 1m 0≥≤或者，综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ …………（9分） （3）构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),m 2e
F(x)mx 2ln x x x
=---, 当m 0≤时，由[]x 1,e ∈得，m 2e
mx 0,2ln x 0x x
-
≤--<，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得000f (x )g(x )h(x )->； …………（12分）
当m>0时，2
222
m 22e m x 2x m 2e (F (x ))m x x x x -++'=+-+=，因为[]x 1,e ∈，所以
22e 2x 0,mx m 0,F x))>0'-≥+>所以（（在[)1,+∞上恒成立，故F(x)在[]x 1,e ∈上单
调递增，max 2m m 4e F(x)me 4,me 4>0,m>e e e 1
=-
----只要解得，故m 的取值范围是(
)
2
4e
e 1
,-+∞…………（15分）
另法:(3)222ln ,1e x x m x +>
- 令2
22ln (),1
e x x
F x x +=- []22'
22
(22)ln (242)()0()1,,(1)x x x ex F x F x e x --+--=<∴-在上递减
min 2244().11
e e
F x m e e =∴>--。