阅读与欣赏(八) 解析几何减少运算量的常见技巧

解析几何减少运算量的常见技巧
技巧一 巧用平面几何性质
已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2
a
2＋
y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
A ．1
3
B ．12
C ．23
D ．34
【解析】 设OE 的中点为N ，如图，因为MF ∥OE ，所以有ON MF ＝a a ＋c ，MF OE ＝a －c
a
.
又因为OE ＝2ON ，所以有12＝a a ＋c ·a －c a ，解得e ＝c a ＝1
3
，故选A ．
【答案】 A
此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算． 技巧二 设而不求，整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．
已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右
焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为M (1，－1)，则E 的标准方程为( )
A ．x 245＋y 2
36＝1
B ．x 236＋y 2
27＝1
C ．x 227＋y 2
18
＝1
D ．x 218＋y 2
9
＝1
【解析】 通解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，
⎩
⎨⎧x 21a 2
＋y 21
b
2＝1，①x 22a 2＋y 22
b 2
＝1，②
①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
b 2＝0，
所以k AB ＝y 1－y 2
x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2
a
2.
又k AB ＝0＋13－1＝12
，所以b 2a 2＝1
2.
又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18， 所以椭圆E 的标准方程为x 218＋y 2
9
＝1.
优解：由k AB ·k OM ＝－b 2a 2得，－1－01－3
×－11＝－b 2
a 2得，a 2＝2
b 2，
又a 2－b 2＝9，所以a 2＝18，b 2＝9， 所以椭圆E 的标准方程为x 218＋y 2
9＝1.
【答案】 D
本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
技巧三 巧用“根与系数的关系”，化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
已知椭圆x 24
＋y 2
＝1的左顶点为A ，过A
作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆M ，N 两点．
(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；
(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
【解】 (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.
解得x 1＝－2，x 2＝－6
5
，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，
x 24＋y 2
＝1，
化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 2
1＋4k 2
，又x A ＝－2，
则x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k
2
1＋4k 2
.
同理，可得x N ＝2k 2－8
k 2＋4
.
由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－6
5，0. 证明如下：
因为k MP ＝y M x M ＋65
＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2－8k 21＋4k 2
＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k
4－4k 2， 同理可计算得k PN ＝
5k
4－4k 2
. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭
⎫－6
5，0.
本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M＝2－8k2
1＋4k2
，这体现了整体思想．这是解
决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．技巧四巧妙“换元”减少运算量
变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．
如图，已知椭圆C的离心率为
3
2，点
A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－
3 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．
【解】 (1)由已知椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，则A (a ，0)，
B (0，b )，F (c ，0)(c ＝
a 2－
b 2)．
由已知可得e 2＝a 2－b 2a 2＝3
4，所以a 2＝4b 2，
即a ＝2b ，可得c ＝3b ①.
S △AFB ＝12×|AF |×|OB |＝12(a －c )b ＝1－3
2
②.
将①代入②，得12(2b －3b )b ＝1－3
2，解得b ＝1，故a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程
为x 24
＋y 2
＝1. (2)圆O 的圆心为坐标原点，半径r ＝1，由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，得
|m |
1＋k 2
＝1，故有m 2＝1＋k 2③.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
4＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ， 得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2
＋2kmx ＋m 2
－1＝0.
由题可知k ≠0，即(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，
所以Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＝48k 2＞0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4
4k 2＋1
.所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝16(4k 2－m 2＋1)
(4k 2＋1)2④. 将③代入④中，得|x 1－x 2
|2＝
48k 2
(4k 2＋1)2
，
故|x 1－x 2|＝43|k |
4k 2＋1
.所以|MN |＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×
43|k |4k 2＋1＝43k 2(k 2
＋1)
4k 2＋1
. 故△OMN 的面积S ＝12|MN |×1＝12×43k 2(k 2
＋1)
4k 2＋1×1＝23k 2(k 2＋1)4k 2＋1
.
令t ＝4k 2＋1，则t ≥1，k 2＝
t －1
4
，代入上式，得 S ＝23×t －14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14＋1t 2
＝3
2(t －1)(t ＋3)
t 2
＝32t 2＋2t －3t 2
＝32－3t 2＋2t ＋1 ＝32
－1t 2＋23t ＋13＝32
－⎝⎛⎭⎫1t －132
＋49，
所以当t ＝3，即4k 2＋1＝3，解得k ＝±22时，S 取得最大值，且最大值为3
2
×
4
9
＝1.
破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．。