高三数学上学期第一次调研考试试题文试题 2

卜人入州八九几市潮王学校仁寿第一中南校区2021届高三数学上学期第一次调研考试
试题文
一、单项选择题〔每一小题5分，一共60分〕
R ，集合2{|
0}x
A x x
-=>，{|1}B x x =≥，那么A B ⋂=〔C 〕 A ．{|01}x x <
≤B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．{|02}x x <<
z 满足(12)1i z i +=-，那么复数z 为〔D 〕
A ．
1355i +B ．1355i -+C ．1355i -D ．1355
i -- 2()28f x x x =+-的单调递减区间是〔A 〕
A ．(,4]-∞-
B ．(,1]-∞-
C ．[1,)-+∞
D ．[2,)+∞
4.阅读如下列图的程序框图，运行相应的程序，那么输出的值是S 〔B 〕 A ．15B ．37C ．83D ．177
p ：x R ∀∈，23x x <q ：x R ∃∈，321x x =-B 〕
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．
p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝
6.1F 、2F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，
且1
20PF PF =，假设12PF F ∆的面积为9，那么b 的值是〔C 〕
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
q 的正项等比数列{}n a 中，
41a =，那么当262a a +获得最小值时，2log q =〔A 〕 A ．
14B ．14-C ．18D ．1
8
- 8.某几何体的三视图如下列图〔单位：cm 〕，那么该几何体的体积〔单位：3
cm 〕是〔C 〕 A ．2B ．4C ．6D ．8
9.
324π
βαπ<<<，12cos()13αβ-=，3
sin()5αβ+=-，那么sin 2α=〔B 〕 A ．5665B ．5665-C ．6556D ．6556
-
2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，那么常数c 为〔C 〕
A ．2或者6
B ．2
C ．6
D ．-2或者-6
ABC ∆中，()3
sin sin 2
B C A -+=
，AC =，那么角C =〔D 〕 A ．
2πB ．3πC ．6π或者3πD ．6
π '()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，x ln '()()x f x f x ⋅<-，那么使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是〔D 〕
A ．(2,0)
(0,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,0)(2,)-+∞D ．(,2)(0,2)-∞-
二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕
22()log ()f x x a =+，假设(1)1f =，那么a =．1
()2sin()(0)3
f x x π
ωω=+>，A ，B 是函数()y f x =
图象上相邻的最高点和最低点，假设
AB =(1)f =．1
15.实数m,n 满足21m
n ，那么直线30mx y n 必过定点12,
3
16.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，2AB AD ==.假
设点E 为边CD 上的动点，那么AE
BE
⋅的最小值为．
214
三、解答题〔17-21题每一小题12分，22题10分，一共70分〕
n S 为数列{}n a 的前n 项和，0n a >，2243n n n a a S +=+.
〔1〕求{}n a 的通项公式；
〔2〕设1
1
n
n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和. 17.【解】〔1〕由2
243n
n n a a S +=+，可知2
111243n n n a a S ++++=+，
两式相减得2
2
1112()4n n
n n n a a a a a +++-+-=，
即22
11112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，∵0n a >，∴12n n a a +-=，
∵2
1
11243a a a +=+，∴11a =-〔舍〕或者13a =，
那么{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列，
∴{}n a 的通项公式32(1)21n
a n n =+-=+；
〔2〕∵21n a n =+，∴111(21)(23)n n n b a a n n +=
=++111
()22123
n n =-++， ∴数列{}n b 的前n 项和
1111111
()235572123
n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()23233(23)n n n =-
=++. 18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA PB AB ===，点N
为
AB 的中点.
〔1〕证明：
AB PC ⊥；
〔2〕假设点M 为线段PD 的中点，平面PAB ⊥平面
ABCD ，求点D 到平面MNC 的间隔.〔文科做〕
〔3〕假设点M 为线段PD 的中点，求二面角M-CN-D 的余弦值。

〔理科做〕 18.【解】〔1〕连接AC ，因为AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为正三角形，
又点N 为
AB 的中点，所以AB NC ⊥.
又因为PA PB =，N 为AB 的中点，所以AB PN ⊥.
又NC
PN N =，所以AB ⊥平面PNC ，又PC ⊂平面PNC ，所以AB PC ⊥.
〔2〕由〔1〕知PN AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，
所以PN
⊥平面ABCD ，由M NCD D MCN V V --=.
11322M NCD V -==，1
3D MCN MNC V S h -∆=⋅，
4MNC S ∆=
，由等体积法知得7
h =. 〔3
19.HY 报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进展销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进展测重，其质量分布在区
间[1500,3000]内〔单位：克〕，统计质量的数据作出其频率分布直方图如下列图：
〔1〕按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000)，[2000,2250)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；
〔2〕以各组数据的中间数值代表这组数据的平均程度，以频率代表概率，该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收买方案：
A .所有蜜柚均以40元/千克收买；
B .低于2250克的蜜柚以60元/个收买，高于或者等于2250的以80元/个收买.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
19.【解】〔1〕由题得蜜柚质量在[1750,2000)和[2000,2250)的比例为2:3，∴分别抽取2个和3个. 记抽取质量在[1750,2000)的蜜柚为
1A ，2A ，质量在[2000,2250)的蜜柚为1B ，2B ，3B ，
那么从这个蜜柚中随机抽取个的情况一共有以下10种：
12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B ，
其中质量小于2000克的仅有12A A 这1种情况，故所求概率为1
10
. 〔2〕方案
A 好，理由如下：
由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1500,1750)的频率为2500.00040.1⨯=，
同理，蜜柚质量在[1750,2000)，[2000,2250)，[2250,2500)，[2500,2750)，[2750,3000]的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05， 假设按方案
A 收买：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250， 于是总收益为1500175017502000(
50050022++⨯+⨯20002250
7502
++⨯
250
250[(67)2(78)22
=
⨯⨯+⨯++⨯(89)3(910)8(1011)4++⨯++⨯++⨯(1112)1]401000++⨯⨯÷2550[2630511528423]=⨯+++++457500=〔元〕，
假设按方案B 收买：∵蜜柚质量低于2250克的个数为(0.10.10.3)50001750++⨯=， 蜜柚质量低于2250克的个数为500017503250-=， ∴收益为175060325080⨯+⨯25020[73134]365000=⨯⨯⨯+⨯=元，
∴方案
A 的收益比方案
B 的收益高，应该选择方案A .
20.椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 离心率为)1,3(,36P 为椭圆上一点. 〔1〕求E 的方程；
〔2〕斜率为
3
3
，不过点P 的动直线l 交椭圆E 于B A 、两点.证明：直线BP AP 、的斜率和为定值. 解:〔1
〕由题知2222231
1
c e a a b a b c ⎧==⎪
⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩
,解得2
26,2a
b ==.
即所求E 的方程为22
1.
62x y +=
〔2〕1122(,),(,)A x y B x y 设
,(0)l y
x m m =
+≠设方程为.
联立方程组22
1
6
2y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得
222360x m ++-=248120,(2,0)(0,2)m m ∆=->∈-⋃即.
所以2121236
,.2m x x x x -+=⋅=
所以PA
PB k k =
=
即1212(2)()1)
PA PB
x x m x x m k k +-+--+=+=
1212(2)()1)0x x m x x m +-+--= 故0PA
PB k k +=.
()(2)(1)2ln f x a x x =---〔a 为常数〕.
〔1〕当1a =时，求()f x 的单调区间；
〔2〕假设函数
()y f x =，1
(0,)2
x ∈的图象与x 轴无交点，务实数a 的最小值.
21.【解】〔1〕1a =时，()2ln 1f x x x =--，()2
'1f x x
=-，
由()'0f x >得2x >；()'0f x <得02x <<. 故
()f x 的减区间为()0,2，增区间为()2,+∞.
〔2〕因为0x +
→时，(2)(1)2a x a --→-，同时2ln x -→+∞，
因此0x +
→时，
()f x →+∞，故要使函数()f x 图象与x 轴在10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭上无交点，
只有对任意的10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()0f x >成立， 即10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ln 21x a x >--.令()2ln 21x l x x =--，10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
那么()()
2
22ln 2
'1x x l x x +-=-，再令()22ln 2m x x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()221'0x m x x --=
<，于是在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上()m x 为减函数， 故()122ln 202m
x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，∴()'0l x >在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立，
∴()l
x 在10,
2⎛⎫ ⎪⎝
⎭上为增函数，∴()12l x l ⎛⎫< ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立，
又124ln 22l ⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
，故要使ln 21x a x >--恒成立，只要[24ln 2,)a ∈-+∞， 所以实数a 的最小值为24ln 2-.
请考生在22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩〔t 为参数〕，在极坐标系〔与直角坐标系xOy
取一样的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴〕中，圆C 的方程为6cos ρθ=.
〔1〕求圆C 的直角坐标方程； 〔2〕设圆C 与直线l 交于点A ，B ，假设点P 的坐标为(2,1)，求PA PB +的最小值.
22.【解】〔1〕由6cos ρθ=，得26cos ρρθ=，化为直角坐标方程为2
26x
y x +=，
即2
2(3)
9x y -+=.
〔2〕将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得2
(2sin 2cos )70t t αα+--=， 因为0∆>，可设1t ，2t 是上述方程的两根，所以122(cos sin )t t αα+=-，127t t =-，
又因为(2,1)为直线所过定点，
∴
1212PA PB t t t t +=+=-21212()4t t t t =+-⋅324sin 232427α=-≥-=.
所以
PA PB +的最小值为27.
23.选修4-5：不等式选讲 函数.
(I)求
的最小值;
(II)假设均为正实数，且满足
3a b c ,求证:
.
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【解析】试题分析：〔1〕利用零点分段法去绝对值，将写成分段函数的形式，由此求得最小值.〔2〕
由〔1〕得
，原不等式左边加上
，然后分成三组，对这三组分别利用根本不等式求得最
小值，相加后可证得原不等式成立. 试题解析：〔1〕因为函数
，所以当时，
；当
时，
；
当
时，
，综上，的最小值
. 〔2〕据(1)求解知
，所以
，又因为
，所以
，
即，当且仅当时，取“=〞所以，即.
23.函数.(文科做〕
〔1〕求不等式的解集；
〔2〕假设关于的不等式的解集不是空集，务实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析：〔1〕由得：，分成三段解不等式即可；〔2〕不等式
的解集非空等价于，利用绝对值三角不等式易得，即可求得的取值范围.
试题解析：
〔1〕，
①当时，；
②当时，，；
综上①②，不等式解集为.
〔2〕因为，
所以假设关于的不等式的解集非空，
那么，
即的取值范围是.。