2024届江苏省常州市教育学会高一数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2024届江苏省常州市教育学会高一数学第二学期期末质量检测
模拟试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍。

初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （ ） A ．3052⨯
B ．2952⨯
C ．3021-
D ．(
)
30
521⨯-
2．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11
x y x y
->
- B ．cos cos 0x y -<
C ．
11
0x y
-> D ．ln x +ln y >0
3．ABC ∆的斜二测直观图如图所示，则原ABC ∆的面积为（ ）
A ．
22
B ．1
C 2
D ．2
4．把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移
4
π
个单位，则所得图形对应的函数解析式为（ ） A ．cos 24x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ B ．cos 24y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭ C ．cos 28x y π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ D ．cos 22y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
5．函数5()3cos 4f x x π⎛
⎫=+图像的一个对称中心是（ ）
A ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
6．过点(3,2)且与直线450x y --=垂直的直线方程是（ ） A ．450x y +-= B ．450x y -+= C ．4100
x y --=
D ．4140x y +-=
7．甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下：
根据以上数据估计（ ） A ．甲比乙的射击技术稳定 B ．乙.比甲的射击技术稳定 C ．两人没有区别
D ．两人区别不大
8．已知平面内，•0AB AC =，•1AB AC =，且4AB AC AP AB
AC
=+
，则•PB PC 的
最大值等于（ ） A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
9．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A ．3
4
k ≥
或 4k ≤- B ．34k ≥或 14
k ≤- C ．3
44
k -≤≤
D ．
3
44
k ≤≤ 10．若实数x ，y 满足约束条件0
{2020
y x y x y ≥-+≥+-≥，则
2z x y =-的取值范围是（ ）
A ．[]
44，
- B ．[]24-，
C ．[)4-+∞，
D ．[
)2，-+∞ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，BC PA ==1AC =，则三棱锥P ABC -的侧面积__________．
12．已知圆2
2
2
:(3)(4)C x y r -+-=上有两个点到直线340x y +=的距离为3，则半径r 的取值范围是________
13．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间
[,]62ππ
上具有单调性，且2()()()236
f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为_________.
14．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 15．在区间[]4,2ππ--上，与角76
π
终边相同的角为__________． 16．已知向量
，
，则向量与夹角的余弦值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，
4sin()sin sin ()A B a A b B a b -=-≠.
(1)求c 的值； (2)若ABC 的面积72
ABC
S
=
，7
tan C =
，求+a b 的值. 18．已知向量a ＝3，cos x)，b ＝(cos x ，cos x)，c ＝31)． (1)若a ∥c ，求sin xcos x 的值； (2)若0＜x≤
3
π
，求函数f(x)＝a ·b 的值域． 19．如果数列{}n a 对任意的*n N ∈满足：212n n n a a a +++>，则称数列{}n a 为“M 数列”.
（1）已知数列{}n a 是“M 数列”，设*
1,n n n b a a n N +=-∈，求证：数列{}n b 是递增数
列，并指出()542a a -与42a a -的大小关系（不需要证明）；
（2）已知数列{}n a 是首项为1，公差为2d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，若数列
{}n
S 是“M 数列”，求d 的取值范围；
（3）已知数列{}n a 是各项均为正数的“M 数列”，对于n 取相同的正整数时，比较
1321 (1)
n n a a a u n +++=
+和242···n
n a a a v n +++=的大小，并说明理由.
20．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.
（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 21．已知点(1,0)A 、(1cos 2,1)M x +、322)N x m +（,x R m R ∈∈），且()f x AM AN =.
（1）求函数()f x 的解析式； （2）如果当5,66x ππ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时，两个函数()f x 与()2g x =的图象有两个交点，求m 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
根据题意，得到该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，由题中熟记，以及等比数列的求和公式，即可得出结果. 【题目详解】
由题意，该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，
因此303030130(1)5(12)
5(21)112
-⨯-=
==⨯---a q S q . 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于基础题型. 2、A 【解题分析】
结合选项逐个分析，可选出答案. 【题目详解】
结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析： 对于选项A ，0x y ->，
110y x
x y xy
--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3
cos cos cos 2cos 1002
x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，
110y x
x y xy
--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【题目点拨】
本题考查了不等式的性质，属于基础题. 3、D 【解题分析】
根据直观图可计算其面积为S 直观图，原ABC ∆的面积为ABC S ∆，由ABC
S S ∆直观图
. 【题目详解】
由题意可得12222
S =
⨯⨯=
直观图，
所以由
ABC
S S ∆直观图22
ABC S S ∆==直观图. 故选：D.
本题考查了斜二侧画直观图，三角形的面积公式，需要注意的是与原图与直观图的面积
之比为. 4、D 【解题分析】
函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），x 的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式． 【题目详解】
函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变）， 得到cos 2y x =，
把图象向左平移
4
π
个单位， 得到cos[2()]cos(2)42y x x π
π
=+=+
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换．准确理解变换规则是关键，属于中档题． 5、B 【解题分析】 由题得54+62x k k Z ππ
π+
=∈，,解出x 的值即得函数图像的一个对称中心. 【题目详解】 由题得54+62
x k k Z ππ
π+=∈，, 所以()412
k x k Z ππ
=
-∈， 所以5()3cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的对称中心是,0()412k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭． 当k=1时，函数的对称中心为,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选B 【题目点拨】
本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6、D
由已知直线方程450x y --=求得直线的斜率，再根据两直线垂直，得到所求直线的斜率，最后用点斜式写出所求直线的方程. 【题目详解】
已知直线450x y --=的斜率为：14
因为两直线垂直
所以所求直线的斜率为4- 又所求直线过点(3,2)
所以所求直线方程为：24(3)-=--y x 即：4140x y +-= 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查了直线与直线的位置关系及直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7、A 【解题分析】
先计算甲、乙两人射击5次，命中环数的平均数，再计算出各自的方差，根据方差的数值的比较，得出正确的答案. 【题目详解】
甲、乙两人射击5次，命中环数的平均数分别为：
129.89.910.11010.29.4+10.3+10.8+9.7+9.8
10==1055
x x ++++=
=、，甲、乙两人
射击5次，命中环数的方差分别为：
22222
21
(9.810)(9.910)(10.110)(1010)(10.210)0.025
S -+-+-+-+-==，
22222
22
(9.410)(10.310)(10.810)(9.710)(9.810)0.2445
S -+-+-+-+-==，
因为22
12S S <，所以甲比乙的射击技术稳定，故本题选A.
【题目点拨】
本题考查了用方差解决实际问题的能力，考查了方差的统计学意义.
令AB m =，AC n =，将PB ，PC 表示成PB AB AP =-，PC AC AP =-，即可将PB PC ⋅表示成1441m n PB PC AB AC AC AB m n n m --⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，展开可得：
417PB PC m n ⋅=--+，再利用基本不等式即可求得其最大值.
【题目详解】
令AB m =，AC n =，则1mn = 又14m PB AB AP AB AC m n -=-=
-，41
n PC AC AP AC AB n m
-=-=- 所以1441m n PB PC AB AC AC AB m n n m --⎛⎫⎛⎫
⋅=-⋅- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
2214114441
m n m n AB AC AB AC AC AB m n m m n n n m
----=
⨯⋅-⨯-⨯+⨯⋅
4171713m n =--+≤-=
当且仅当1
2,2
m n ==时，等号成立. 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用及利用基本不等式求最值，考查转化能力及计算能力，属于难题. 9、A 【解题分析】
先求出线段AB 的方程，得出()51332x y y =---≤≤-，在直线l 的方程中得到
1
1
y k x -=
-，将513x y =--代入k 的表达式，利用不等式的性质求出k 的取值范围． 【题目详解】
易求得线段AB 的方程为()513032x y y ++=-≤≤-，得513x y =--，
由直线l 的方程得()1195141115
51514514514
y y y y k x y y y +----===-=----++ ()
11955514y =-++，
当1435
y -≤<-
时，15140y -≤+<，此时，
()119455514k y =-+≤-+； 当1425
y -<≤-时，05144y <+≤，此时，()1193555144k y =-+≥+． 因此，实数k 的取值范围是4k ≤-或3
4
k ≥，故选A ． 【题目点拨】
本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题． 10、D 【解题分析】
画出02020y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线2y x z =-，由图
可知，当直线经过()0,2时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时2z x y =-有最小
值2-，无最大值，2z x y ∴=-的取值范围是[
)2-+∞，
，故选A. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
3
2
【解题分析】
根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.
三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，3BC PA ==，1AC = 画出图像：
易知：每个面都是直角三角形.
123353
3322
S S S S =++==
【题目点拨】
本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键. 12、(2,8) 【解题分析】
由圆2
2
2
(3)(4)x y r -+-=上有两个点到直线340x y +=的距离为3，先求出圆心到直线的距离，得到不等关系式，即可求解． 【题目详解】
由题意，圆2
2
2
:(3)(4)C x y r -+-=的圆心坐标为(3,4)，半径为r ， 则圆心到直线340x y +=的距离为2
2
3344534
d ⨯+⨯=
=+，
又因为圆2
2
2
:(3)(4)C x y r -+-=上有两个点到直线340x y +=的距离为3， 则53r -<，解得28r <<，即圆的半径的取值范围是(2,8)． 【题目点拨】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆心到直线的距离，结合图象得到半径的不等关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
由在区间
上具有单调性， 且知，函数的对称中心为，
由知函数的对称轴为直线，
设函数的最小正周期为
，
所以，，
即，所以，
解得
，故答案为π.
考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.
14、10 【解题分析】
根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值． 【题目详解】
因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅ 41234S a a a a =+++，且94S S =
所以567890a a a a a ++++= 由等差数列性质可知70a = 因为40k a a +=
所以4770k a a a a +=+=
则根据等差数列性质可知477k +=+ 可得10k = 【题目点拨】
本题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题． 15、176
π
-
【解题分析】
根据与α终边相同的角可以表示为{
}
360,k k Z ββα=⋅+∈这一方法，即可得出结论．
因为
[]71744,266πππππ-=-∈--，所以与角76
π终边相同的角为176π
-. 【题目点拨】
本题考查终边相同的角的表示方法，考查对基本概念以及基本知识的熟练程度，考查了数学运算能力，是简单题． 16、 【解题分析】 先求出
，再求
，最后代入向量的夹角公式即得解.
【题目详解】 由题得
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为 【题目点拨】
(1)本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设
=
,=
，为向量与的夹角，则
.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)4；30【解题分析】
（1）利用两角差的正弦和正弦定理将条件化成224cos 4cos a B b A a b -=-，再利用余弦定理代入，即可求得c 的值； （2）由7
tan 3
C =
可求得sin C ，cos C 的值，再由面积公式求得4ab =，结合余弦定理可得2
()222a b ab +-=，解方程即可得答案. 【题目详解】
(1)∵4sin()sin sin A B a A b B -=-，
∴4sin cos 4cos sin sin sin A B A B a A b B -=-，
∴224cos 4cos a B b A a b -=-
∴222222
224422a c b b c a a b a b ac bc
+-+--=-，解得：4c =.
(2)
tan 3C =
，sin C ∴=，3cos 4C =，
1sin 2ABC S ab C ∆=
=
，4ab ∴=， ∵222cos 16a b ab C +-=⇒2()222a b ab +-=，
∴a b +=
【题目点拨】
本题考查两角差的正弦、正弦定理、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
18、（1）25 ；（2）31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解题分析】
(1)由向量共线得tan x ＝2，再由同角三角函数基本关系得sin xcos x ＝2tanx
1tan x
+，即可
求解；(2)整理f(x)＝a ·b ＝sin （2x+π6）+1
2
，由三角函数性质即可求解最值 【题目详解】
(1)∵a ∥c ，∴sin x ＝2cos x ，tan x ＝2. ∴sin xcos x ＝
22sin?xcos?x sin x cos x +＝
2tanx 1tan x +=2
5
(2)f(x)＝a ·b ＋cos 2x
＝
2
sin 2x ＋12(1＋cos 2x)=sin （2x+π6）+12
∵0＜x≤
π3，∴π6＜2x+π6≤
5π6.∴12≤sin （2x+π
6
）≤1 ∴1≤f(x)≤32.所以f(x)的值域为：31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【题目点拨】
本题考查三角函数恒等变换，同角三角函数基本关系式，三角函数性质，熟记公式，准确计算是关键，是中档题
19、（1）54422()a a a a ->-；（2）3
(,)(0,)5
d ∈-∞-⋃+∞（3）n n u v >，证明见解析.
【解题分析】
（1）由新定义，结合单调性的定义可得数列{}n b 是递增数列；再根据5432a a a >-，
4322a a a >-，可得54422()a a a a ->-；
（2）运用新定义和等差数列的求和公式，解绝对值不等式即可得到所求范围； （3）对一切*n N ∈，有n n u v >．运用数学归纳法证明，注意验证1n =成立；假设n k =不等式成立，注意变形和运用新定义，即可得证． 【题目详解】
（1）证明：数列{}n a 是“M 数列”，可得212n n n a a a +++>， 即211n n n n a a a a +++->-，即1n n b b +>， 可得数列{}n b 是递增数列，
54422()a a a a ->-.
（2）数列{||}n S 是“M 数列”， 可得3221||||||||S S S S ->-， 即132||||2||S S S +>， 可得1|36|2|22|d d ++>+，
即有113644d d d ≤-⎧⎨-->--⎩，或11213644d d d ⎧-<<-⎪⎨⎪-->+⎩，或12
13644d d d
⎧
≥-⎪⎨⎪++>+⎩， 即1d ≤-或3
15
d -<<-
或0d >， 所以3(,)(0,)5
d ∈-∞-⋃+∞.
（3）数列{}n a 是各项均为正数的“M 数列”， 对于n 取相同的正整数时，132124
21n n
n n a a a a a a u v n n
++++++
+=>=+，
运用数学归纳法证明： 当1n =时，13
12
a a u +=
，12v a =，显然3221a a a a ->-即11u v >．
设n k =时，k k u v >．即13212421k k
a a a a a a k k
++++++
+>
+，
可得1321242()(1)()k k k a a a k a a a +++
+>+++
+，
当1n k =+时，即证132********
21
k k k k a a a a a a a a k k +++++
++++++>++，
即证1212324222(1)()(2)()k k k k k a a a k a a a a +++++++>+++
++，
由
1212313212312123(1)()()k k k k k k k a a a k a a a ka a a a ++++++++++=++⋯++++
++
2422312123(1)()k k k k k a a a ka a a a +++>+++
++++
++，
即证
242231212324222(1)()(2)()
k k k k k k k a a a ka a a a k a a a a +++++++
++++++>+++++
即证231212224222(1)(1)k k k k k k a a a k a a a a a ++++++++>++++++，
由123222k k a a a a +++>+，323422k k a a a a +++>+，⋯，23212222k k k k a a a a +++++>+， 相加可得231212224222(1)(1)k k k k k k a a a k a a a a a +++++++
+>++++++，
则对一切*n N ∈，有n n u v >． 【题目点拨】
本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的证明和等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法的应用，考查化简整理的运算能力，属于难题． 20、（1）3y =或34120x y +-=；（2）12
[0,]5
. 【解题分析】
（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]2
2()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为2
2
(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可. 【题目详解】
（1）由24,
{1,
y x y x =-=-得圆心()3,2C ，
∵圆C 的半径为1，
∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=．
1=，
∴2(43)0k k +=，∴0k =或34
k =-
． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=．
（2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]2
2()(24)1x a y a -+--=． 又∵2MA MO =， ∴设M 为(,)x y ，
则
=整理得22
(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴
2121-≤
≤+，
由251280a a -+≥，得a R ∈， 由25120a a -≤，得12
05
a ≤≤
． 综上所述，a 的取值范围为120,
5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用. 【方法点睛】
本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.
21、（1）()2cos 223f x x m π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭；（2）()0,2m ∈
【解题分析】
（1）根据向量坐标以及向量的数量积公式求出y ，利用辅助角公式即可求()y f x =的解析式； （2）5,66x ππ⎡⎫∈-
⎪⎢⎣⎭，求出23x π-的范围，令()2cos 23h x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，5,66
x ππ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
，则画函数图象，由两个函数()f x 与()2g x =的图象有两个交点，建立不等关系即可求
m 的值．
【题目详解】 解：（1）
(1,0)A ，(1cos 2,1)M x +，(2,3sin 22)N x m +，
∴(cos 2,1)AM x =，(1,3sin 22)AN x m =+，
则()cos 23sin 22f x AM AN x x m ==++
2cos 223x m π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
即()2cos 223y f x x m π⎛
⎫==-+ ⎪⎝
⎭；
（2）因为5,66x ππ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣⎭
，242,333x πππ⎡⎫∴-∈-⎪⎢⎣⎭， 令()2cos 23h x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，5,66x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
，则画函数图象如下所示：
2cos 21663h πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，552cos 21663h πππ⎛⎫⎛
⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 要使两个函数()f x 与()2g x =的图象有两个交点， 则222m +>，222m -<，解得02m <<
解得()0,2m ∈． 【题目点拨】
本题主要考查三角函数的化简和求值，利用向量的数量积公式结合三角函数的辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．。