专题7.3 热点题型二 二元一次不等式(组)与简单的线性规划-《奇招制胜》高考数学(理)热点+题型全突破 W

热点题型二二元一次不等式(组)与简单的线性规划
【基础知识整合】
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
3.
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．学。

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
一、不含参数的线性规划（求最值）
【典例1】【高考北京，理2】若，满足
1
x y
x y
x
-
⎧
⎪
+
⎨
⎪
⎩
≤，
≤，
≥，
则2
z x y
=+的最大值为（）
A．0 B．1 C．3
2
D．2
【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =
+，则11
22
y x
z =-
+，令0Z =，作直线1
2
y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2.
考点定位：本题考点为线性规划的基本方法
【思路点拨】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令0z =，画出直线
1
2
y x =-
，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.
【典例2】【高考广东，理6】若变量，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为
（ ） A ．
5
31 B. 6 C. 523 D. 4
【答案】C ．
【考点定位】二元一次不等式的线性规划．
【思路点拨】本题主要考查学生利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应用，数形结合思想的应用和运算求解能力，本题关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的可行域和准确判断目标函数直线出取得最小值的可行解，属于容易题．
【典例3】 【高考广东卷.理.3】若变量.y 满足约束条件11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≤-⎩
，且2z x y =+的最大值
和最小值分别为M 和m ，则M m -=( )
A .
B .
C .
D .
【答案】C
当直线经过可行域上的点B 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时取最小值m ，即
()()2113m =⨯-+-=-.
因此，()336M m -=--=，故选C .
【考点定位】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.
【思路点拨】本题主要考查的是线性规划，属于中等题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误． 【变式训练】
1.【天津，理2】设变量，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪
⎨⎪⎩
则目标函数2z x y =+的最小值为
（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B ． 【解析】
min 12z =+=2.最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】C
【解析】不等式2030230x x y x y +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域如下图所示，当6z x y =+所表示直线经过
点(0,3)B 时，有最大值18.
3.若变量y x ,满足约束条件1,,3215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，则42x y
w =⋅的最大值是 .
【答案】512 【解析】
作出可行域，42x y w =⋅y
x +=22
，要求其最大值，只需求出t y x =+2的最大值即可，由平移
可知y x t +=2在A （3,3）处取得最大值9332=++⨯=t ，故42x y w =⋅的最大值为51229=
类型二 含参数的线性规划
【典例4】【高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件0
20x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，
则a = （ ）
（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 【答案】B
【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，
2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B. 【考点定位】简单的线性规划问题.
【思路点拨】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.
【典例5】【，安徽理5】y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优
解不唯一．．．，则实数的值为 （ ） A ，
1
21-或 B ．2
1
2或 C ．2或1 D ．12-或 【答案】D ．
考点：1．线性规划求参数的值．
【思路点拨】线性规划问题中的目标函数一般都有明显的几何意思，如直线在y 轴上的截距、斜率、距离等，要根据目标函数的几何意义灵活应用.对于含参数的目标函数，如z ax by =+型，可变形为斜截式，进而考查y 轴上截距的取值范围.
【典例6】【.浙江卷.理13】当实数，y 满足240,
10,1,x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
时，14ax y ≤+≤恒成立，则
实数的取值范围是________. 答案：31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
解析：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
所表示的区域，由14ax y ≤+≤得，由图可知，0a ≥，
3
1,
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
．(2)距离型：形如22
()()
z x a y b
=-+-.
(3)斜率型：形如
y b
z
x a
-
=
-
.注意：转化的等价性及几何意义．
【典例7】【衡水五调】若不等式组
20,
5100,
80
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪+-≤
⎩
，所表示的平面区域存在点
00
(,)
x y，使00
20
x ay
++≤成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】1
a≤-
【解析】
试题分析：在直角坐标系内作出不等式组
20,
5100,
80
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪+-≤
⎩
所表示的可行域，如图中阴影部分，易知点(0,2),(5,3),(3,5)
A B C，直线20
x ay
++=的斜率为
1
a
-，直线AC的斜率为，由图
可知,平面区域存在点
00
(,)
x y，使
00
20
x ay
++≤成立等价于
1
01
a
<-≤，即1
a≤-.
考点：线性规划.
【思路点拨】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．本题则是考查二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式.
【变式训练】
1.【高考北京理第6题】若、y 满足20
20
0x y kx y y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，且z y x =-的最小值为4-，
则的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
2
D ．1
2
- 【答案】D
2.【湖南14】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4，且y x z +=2的最小值为6-，则____=k .
【答案】2-
3. 变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．
D ． 【答案】C
x
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–1–2–3–4
1
2
3B
O
C
【解析】将目标函数变形为2y x z =-，当取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不
满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121
m
B m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121
m
m m -=--，
解得1m =，故选C ．
4.【江西吉安一模】已知变量,x y满足条件
230
330
10
x y
x y
y
+-≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，若目标函数z ax y
=+仅在点()
3,0
处取得最大值，则的取值范围是（）
A．
1
,
2⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
B．
1
,0
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
C．
1
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．
1
,
2
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
【答案】D
【解析】
试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中()
1,1,B(30),C(01)
A，，，所以要使z ax y
=+仅在点()
3,0处取得最大值，须
11
22
AB
k a a a
>-⇒->-⇒>，选D.
类型三求非线性目标函数的最值
【典例8】【高考新课标1，理15】若,x y满足约束条件
10
40
x
x y
x y
-≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪+-≤
⎩
，则
y
x
的最大值
为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，
y
x
是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故
y
x
的最大值为3.
【考点定位】线性规划解法
【思路点拨】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.
【典例9】【高考山东理数】若变量x，y满足
2,
239,
0,
x y
x y
x
ì+?
ïï
ïï
-?
íï
ï锍
ïî则22
x y
+的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C 【解析】
试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22
x y
+表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为2
10OC =,故选C. 考点：简单线性规划
【思路点拨】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
【典例10】【高考浙江，理14】若实数,x y 满足2
2
1x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ． 【答案】.
【考点定位】1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系
【思路点拨】本题主要考查了以线性规划为背景的运用，属于中档题根据可行域是圆及其内部
的特点，结
合直线与圆的位置关系的判定，首先可以将目标函数的两个绝对值号中去掉一个，再利用分类
讨论的数学
思想去掉其中一个绝对值号，利用线性规划知识求解，理科试卷的线性规划问题基本考查含参
的线性规划
问题或者是利用线性规划的知识解决一些非线性的目标函数或可行域的问题，常需考查目标函
数或可行域
的几何意义求解，在复习时应予以关注. 【变式训练】
1.【山东试验中学一模】已知不等式组0,
0,4312x x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≤⎩
，
则11y z x -=+的最大值为 ．
【答案】3 【解析】
试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中1212(0,0),(0,4),(,),77A B C 1
1
y z x -=+表示两点PM 连线斜率，其中(x,y),M(1,1),P -其最大值为41
3.01
BM k -=
=+ 2.【高考江苏卷】 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，则22x y +的取值范围是 .
【答案】4[,13]5
【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +
最小值，为24
5
=
，原点到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为4
[,13]5
3.【山东.理9】 已知,x y 满足约束条件10
230
x y x y --≤⎧⎨
--≥⎩，当目标函数(0,0)
z ax by a b =+>>
在该约束条件下取到最小值22
a b +的最小值为（ ）
D.2 【答案】B
【解析】画出可行域（如图所示），由于0,0a b >>，所以，ax by z +=经过直线230x y --=与直线10x y --=的交点(2,1)A
时，取得最小值
2a b a +=<<，代人
22a b +
得，222520a b a +=-+
，所以，5
a =
时，222min ()5(
20455
a b +=-+=，选B .
【解题技巧与方法总结】
与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成． 注：常见代数式的几何意义有
(1)22x y +(x ，y )与原点(0,0)的距离；
(2) 2
2()x a y b -+-（）(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；
(3)y x
表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率； (4)
y －b
x －a
表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 类型四 线性规划的实际应用
【典例11】【高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000 【解析】
试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为、y 件,利润之和为元,那么
1.50.5150,
0.390,53600,
0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪
+⎨⎪⎪
⎪⎩……………
① 目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于
3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪
+⎨⎪⎪
⎪⎩?…………
② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域
.
将2100900z x y =+变形,得73900z
y x =-+
,平行直线73y x =-,当直线73900
z
y x =-+经过点M 时, 取得最大值.
考点：线性规划的应用
【思路点拨】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.
【典例12】【高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
甲 乙 原料限额
A （吨）
12
B（吨）
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、y吨，则利润34
z x y
=+
由题意可列
3212
28
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
，其表示如图阴影部分区域：
当直线340
x y z
+-=过点(2,3)
A时，取得最大值，所以
max
324318
z=⨯+⨯=，故选D．【考点定位】线性规划．
【思路点拨】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．
【变式训练】
1. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为
甲乙原料限额
A（吨）12
B（吨）
【答案】18万元
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、y吨，则利润34
z x y
=+
由题意可列
3212
28
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
，其表示如图阴影部分区域：
当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=
2. 【北京市西城区期末】某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案. 【答案】9
【解题技巧与方法总结】 求解线性规划应用题的注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．。