乘法公式的应用专题探究(解析版)

专题15 乘法公式的应用专题探究
（一）利用乘法公式求面积：
【类题训练】
1．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）
A．a2+ab＝a（a+b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可．
【解答】解：左图，涂色部分的面积为a2﹣b2，拼成右图的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
2．如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】用代数式分别表示各个部分的面积，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．【解答】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2是由（1）（2）两部分拼成的底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）
（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
3．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有（）
A．①②③④B．①②③C．①③D．③④
【分析】根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可．【解答】解：图1可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图1可以验证乘法公式；
图2可以验证的等式为：a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），因此图2不能验证乘法公式；
图3可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图3可以验证乘法公式；
图4可以验证的等式为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，因此图4不能验证乘法公式；
所以能够验证乘法公式的是：图1，图3，
故选：C．
4．如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝21，则图中阴影部分的面积为（）
A．46B．33C．28D．52
【分析】用两个正方形的面积之和，减去两个空白三角形的面积进行列式计算．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
由题意得，图中阴影部分的面积为：
a2+b2﹣（+）
＝（a+b）2﹣2ab﹣，
＝﹣2ab，
∴当a+b＝10，ab＝21时，
原式＝﹣2×21
＝75﹣42
＝33，
故选：B．
5．如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（）
A．30B．32C．34D．36
【分析】先设A，B的边长分别是a，b，再用a，b边上阴影部分的面积求解．
【解答】解：设A的边长a，B的边长是b，则a2+b2＝34，
根据题意得：（a﹣b）2＝4，
∴a2+b2﹣2ab＝4，
∴2ab＝30，
∴乙图阴影部分的面积为：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30，
故选：A．
6．如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a＜b．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1＝6S2，则a，b满足的关系式为（）
A．3b＝4a B．2b＝3a C．3b＝5a D．b＝2a
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，，，
∵S1＝6S2，
∴2ab＝6（ab﹣a2），
2ab＝6ab﹣6a2，
∵a≠0，
∴b＝3b﹣3a，
∴2b＝3a，
故选：B．
7．在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a＞b）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，正确的有（）
①（a﹣b）2＝28；
②ab＝26；
③a2+b2＝80；
④a2﹣b2＝64
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】根据拼图得出，（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，ab＝＝26，再根据公式变形逐项进行判断即可．
【解答】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b，中间空缺的小正方形的边长为a﹣b，
根据题意可知，（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，ab＝＝26，
∴a2+2ab+b2＝132，
∴a2+b2＝132﹣2×26＝80，
由于（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，而a＞b，
∴a+b＝，a﹣b＝，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4，
因此①②③正确，④不正确，
故选：A．
8．边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a+b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为．
【分析】用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入计算即可．
【解答】解：由S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形DEFG﹣S△ABC﹣S△AFG可得，
S阴影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]
＝×（100﹣72）
＝14，
故答案为：14．
9．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是．（请填上正确的序号）
【分析】针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．
【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），
可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a•2b＝4ab，
可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2a•2b，不可以验证平方差公式．
故答案为：①②．
10．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是．
【分析】利用正方形ABCD的面积减去空白部分的面积求出阴影部分的面积S1，结合S1＝6S2，求出a与b的比值．
【解答】解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2＝2ab+b2，S2＝b2，S1＝6S2，
∴2ab+b2＝6b2，
∴．
故答案为：．
11．如图是A型卡片（边长为a的正方形）、B型卡片（长为a、宽为b的长方形）、C型卡片（边长为b的正方形）．现有4张A卡片，11张B卡片，7张C卡片，取其中的若干张卡片（3种类型卡片都要取到）无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是．（只填序号）
①可拼成边长为a+3b的正方形；
②可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形；
③用所有卡片可拼成一个大长方形；
④最多可拼出4种面积不同的正方形．
【分析】根据长方形、正方形的面积，结合完全平方公式确定所需卡片型号和数量即可．【解答】解：∵边长为a+3b的正方形的面积为a2+9b2+6ab，
∴需要1张A型卡片，9张C型卡片，6张B型卡片，
∵C型卡片只有7张，
∴不能拼成边长为a+3b的正方形；
故①不符合题意；
∵长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形的面积为（2a+4b）（2a+b）＝4a2+10ab+4b2，∴需要4张A型卡片，4张C型卡片，10张B型卡片，
∴可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形；
故②符合题意；
所有卡片的面积和为4a2+11ab+7b2＝（a+b）（4a+7b），
∴用所有卡片能可拼成一个大长方形，长方形的长为4a+7b，宽为a+b，
故③符合题意；
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，需要1张A型卡片，1张C型卡片，2张B型卡片，
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要1张A型卡片，4张C型卡片，4张B型卡片，
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要4张A型卡片，1张C型卡片，4张B型卡片，
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要4张A型卡片，4张C型卡片，8张B型卡片，
∴最多可拼出4种面积不同的正方形；
故④符合题意；
故答案为：②③④．
12．如图1所示，将一张长为2m，宽为n（m＞n）的长方形纸片沿虚线剪成4个直角三角形，拼成如图2的正方形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形ABCD的面积为20，中间空白处的正方形EFGH的面积为4，则：
（1）m+n＝；
（2）原长方形纸片的周长是．
【分析】（1）由拼图可知m2+n2＝AB2＝20，mn＝8，由完全平方公式可求出答案；
（2）原长方形的周长为2m+2n，利用（1）的结论进行计算即可．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为20，中间空白处的正方形EFGH的面积为
4，
∴m2+n2＝AB2＝20，mn＝8，
又∵（m+n）2＝m2+n2+2mn＝36，
∴m+n＝6，（取正值）
故答案为：6；
（2）∵m+n＝6，mn＝8，且m＞n，
∴m＝4，n＝2，
∴原长方形的周长为4m+2n＝16+4＝20，
故答案为：240
13．两个边长分别为a和b的正方形（a＞b）如图放置（图1，2，3），若阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2，S3；
（2）若S1＝1，S3＝3，求S2的值；
（3）若对于任意的正数a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k为常数），求m，k的值．
【分析】（1）图1中，直接求出阴影的边长，都是a﹣b；图2中，两个正方形的面积与两个白色三角形的面积的和的差；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2．
（2）把S1＝1，和S3＝3代入（1）中，便可解出ab＝6，a2+b2＝13值，整体代入S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝；
（3）把（1）中的三个等式代入S1+mS3＝kS2，经过整理，有点巧，再由待定系数法解得．【解答】解：（1）图1中，阴影的边长都是a﹣b，所以S1＝（a﹣b）2；
图2中，阴影面积S2＝（a2+b2）﹣[a2+（a+b）b]＝a2﹣ab+b2；
图3中，S3＝ab．
（2）当S1＝1，S3＝3时，
，
解得ab＝6，a2+b2＝13，代入S2，得，
S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝，
（3）因为S1＝（a﹣b）2；S2＝a2﹣ab+b2；S3＝ab．
对于任意的正数a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k为常数），
则（a﹣b）2+m（ab）＝k（a2﹣ab+b2），
整理得：2（a²+b²）+ab（m﹣4）＝（a²+b²）k+ab（﹣k），
由于m，k为常数，故由待定系数法得：
k＝2，m﹣4＝﹣k，解得m＝2，k＝2．
14．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；
（2）观察图2写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，则：
①（m+n）2的值为；
②m2+n2的值为；
③m4+n4的值为．
【分析】（1）根据线段的差可得结论；
（2）方法1，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，方法2，阴影部分小正方形的边长为m﹣n，即可计算出面积，可得两次计算的都是阴影部分的面积，即可得出答案；
（3）分别根据完全平方公式可解答．
【解答】解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m ﹣n ；
故答案为：m ﹣n ；
（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即（m +n ）2﹣4mn ；
方法2，阴影部分小正方形的边长为m ﹣n ，则面积为（m ﹣n ）2；
∴（m ﹣n ）2＝（m +n ）2﹣4mn ；
故答案为：（m ﹣n ）2＝（m +n ）2﹣4mn ；
（3）由（2）知：（m ﹣n ）2＝（m +n ）2﹣4mn ，
∵mn ＝﹣3，m ﹣n ＝5，
①（m +n ）2＝52+4×（﹣3）＝25﹣12＝13；
故答案为：13；
②m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ＝13﹣2×（﹣3）＝13+6＝19；
故答案为：19；
③m 4+n 4＝（m 2+n 2）2﹣2m 2n 2＝192﹣2×（﹣3）2＝361﹣18＝343；
故答案为：343．
（二）乘法公式的直接运用：
1.平方差公式：()()22b a b a b a -=-+
2.完全平方公式：()()2222222;2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+
【类题训练】
1．计算：（2x ﹣y ）2﹣（x ﹣2y ）2．
【分析】用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝[（2x ﹣y ）+（x ﹣2y ）][（2x ﹣y ）﹣（x ﹣2y ）]
＝（3x ﹣3y ）（x +y ）
＝3（x ﹣y ）（x +y ）
＝3（x 2﹣y 2）
＝3x 2﹣3y 2．
2．计算：（x ﹣2y +3）（x +2y ﹣3）．
【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2
＝x2﹣（4y2﹣12y+9）
＝x2﹣4y2+12y﹣9．
3．已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）
＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2
＝﹣6x+2，
当x＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．
4．先化简，再求值：（x+2y）2﹣（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣4y2，其中x＝﹣2，y ＝．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值．
【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣4y2）﹣4y2
＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy﹣4y2﹣x2+4y2﹣4y2
＝﹣x2+8xy，
当x＝﹣2，y＝时，
原式＝﹣（﹣2）2+8×（﹣2）×
＝﹣4﹣8
＝﹣12．
5．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m ﹣2＝0．
【分析】先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）
＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
＝2m2+2m﹣2
＝2（m2+m）﹣2，
∵m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
当m2+m＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．
6．观察下列各式：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
…
根据这一规律计算：
（1）（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝；
（a﹣b）（a n+a n﹣1b+a n﹣2b2+…+ab n﹣1+b n）＝；
（2）22021+22020+22019+…+22+2+1．
【分析】（1）根据规律即可得出答案；
（2）原式变形成公式的形式，用公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据规律得：
（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5；
（a﹣b）（a n+a n﹣1b+a n﹣2b2+…+ab n﹣1+b n）＝a n+1﹣b n+1；
故答案为：a5﹣b5；a n+1﹣b n+1；
（2）解：原式＝（2﹣1）（22021+22020•1+⋯+2•12020+12021）＝22022﹣1．
（三）运用乘法公式进行简便计算：
【类题训练】
1．运用乘法公式进行简便计算：
（1）2022+202×198+982
（2）20162﹣2017×2015
（3）1992．
（4）1232﹣122×124．
（5）1007×993；
（6）32×20.22+0.68×2022．
（7）1002-992+982-972+962-952+……+22-12
【分析】（1）根据完全平方公式以及平方差公式化简计算即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式化简即可．
（3）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）由1992＝（200﹣1）2，再用完全平方公式计算即可．
（5）根据平方差公式简便计算即可；
（6）原式变形成0.32×2022+0.68×2022，逆用乘法分配律即可
（7）每两个分组，再利用平方差公式，最后原式可化简为100+99+98+97+……+1，再利用首末项和公式求解即可
【解答】解：（1）原式＝（200+2）2+（200+2）（200﹣2）+（100﹣2）2
＝2002+800+4+2002﹣4+1002﹣400+4
＝40000+800+40000+10000﹣400+4
＝90404；
（2）原式＝20162﹣（2016+1）×（2016﹣1）
＝20162﹣（20162﹣1）
＝20162﹣20162+1
＝1；
（3）1992＝（200﹣1）2
＝2002﹣400+1
＝39601．
（4）1232﹣122×124
＝1232﹣（123﹣1）×（123+1）
＝1232﹣（1232﹣12）
＝1．
（5）原式＝（1000+7）（1000﹣7）
＝10002﹣72
＝1000000﹣49
＝999951；
（6）原式＝0.32×2022+0.68×2022
＝2022×（0.32+0.68）
＝2022×1
＝2022．
（7）1002-992+982-972+962-952+……+22-12
=（1002-992）+（982-972）+（962-952）+……+（22-12）
=（100-99）（100+99）+（98-97）（98+97）+……+（2-1）（2+1）
=100+99+98+97+……+2+1
=½·（100+1）·100
=5050
（四）完全平方公式的变形应用：
完全平方公式的变形公式：
()()ab b a b a 422+-=+
()()()()222-222
222b a b a ab b a ab b a b a -++=+-=+=+ ()()()()4
-2-2-22222222b a b a b a b a b a b a ab -+=-+=++=
）（）（ 【类题训练】
1．若（a +b ）2＝25，a 2+b 2＝13，则ab 的值为（ ）
A ．6
B ．﹣6
C ．12
D ．﹣12
【分析】利用完全平方公式（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2＝25，且a 2+b 2＝13，即可求ab ．
【解答】解：∵（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2＝25，a 2+b 2＝13，
∴2ab ＝25﹣13＝12，
∴ab ＝6，
故选：A ．
2．已知：（2021﹣a ）（2020﹣a ）＝3，则（2021﹣a ）2+（2020﹣a ）2的值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．12
【分析】根据完全平方公式（a ±b ）2＝a 2±2ab +b 2，即可求出答案．
【解答】解：设x ＝2021﹣a ，y ＝2020﹣a ，
∴x ﹣y ＝2021﹣a ﹣2020+a ＝1，
∵（2021﹣a ）（2020﹣a ）＝3，
∴xy ＝3，
∴原式＝x 2+y 2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×3
＝7，
故选：A．
3．已知a+b＝10，ab＝﹣5，则a2+b2＝．
【分析】根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：∵a+b＝10，ab＝﹣5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣5）＝100+10＝110．
故答案为：110．
4．已知：x+y＝0.34，x+3y＝0.86，则x2+4xy+4y2＝．
【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+y＝0.34，x+3y＝0.86，
∴2x+4y＝1.2，即x+2y＝0.6，
则x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝0.36．
故答案为：0.36．
5．若a+9＝b+8＝c+7，则（a﹣b）2+（b﹣c）2﹣（c﹣a）2＝．【分析】由a+9＝b+8＝c+7可得：a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，将其代入即可．【解答】解：∵a+9＝b+8＝c+7，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴原式＝（﹣1）2+（﹣1）2﹣22＝﹣2，
故答案为：﹣2．
6．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；
若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2＝；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝．
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1，S2，进而根据a+b＝8，ab＝10，求出S1+S2
的值即可；
由第一问可知，当S1+S2＝40时，就是a2+b2﹣ab＝40，再利用a、b的代数式表示S3，变形后再整体代入计算即可求出答案．
【解答】解：由图1可得，S1＝a2﹣b2，
由图2可得，S2＝2b2﹣ab，
因为a+b＝8，ab＝10，
所以S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝82﹣3×10
＝64﹣30
＝34；
由图3可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2﹣ab）
＝（S1+S2）
＝×40
＝20；
故答案为：34，20．
7．已知a+b＝5，ab＝．
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣＝；
（2）∵a2+b2＝，ab＝，
∴a2+b2﹣2ab＝16，
∴（a﹣b）2＝16，
∴a﹣b＝±4．
8．若，求：
①（b﹣c）2+3（b﹣c）+3的值；
②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值．
【分析】①根据，得，代入（b﹣c）2+3（b﹣c）+3，计算即可；
②先拆项，再配成完全平方形式，再把，，代入，计算即可．
【解答】解：①由得，
∴（b﹣c）2+3（b﹣c）+3
＝+3×（﹣）+3
＝﹣+3
＝；
②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2
＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2
当，时，
原式＝
＝．
9．阅读理解：
若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．
解：设80﹣x＝a，x﹣60＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，
∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．
解决问题
（1）若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（20﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（2）若x满足（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，求（2022﹣x）（2020﹣x）的值．【分析】（1）根据题目所给解题方法，设20﹣x＝a，x﹣10＝b，则a+b＝10，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可得出答案；
（2）设（2022﹣x）＝a，（2020﹣x）＝b，则a﹣b＝2，根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，即可得出答案．
【解答】解：（1）设（20﹣x）＝a，（x﹣10）＝b，
则（20﹣x）（x﹣10）＝ab＝﹣10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣10）＝10，
所以（20﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102+2×10＝120；
（2）设（2022﹣x）＝a，（2020﹣x）＝b，
则a﹣b＝（2022﹣x）﹣（2020﹣x）＝2，
因为（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，
所以（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4048，
即22+2×（2022﹣x）（2020﹣x）＝4048，
（2019﹣x）（2017﹣x）＝2022．
（五）综合应用：
1．若（x2+px+q）（x﹣2）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝2q B．q＝2p C．p+2q＝0D．q+2p＝0
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为0求出p与q的关系式即可．【解答】解：（x2+px+q）（x﹣2）＝x3﹣2x2+px2﹣2px+qx﹣2q＝x3+（p﹣2）x2+（q﹣2p）x﹣2q，
∵结果不含x的一次项，
∴q﹣2p＝0，即q＝2p．
故选：B．
2．已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则36a﹣18b ﹣1的值为（）
A．﹣1B．0C．17D．35
【分析】把式子展开，找到所有x2项的系数，合并后令其为0，再进行计算．
【解答】解：
原式＝﹣2x3﹣bx2+3x+2ax2+abx﹣3a
＝﹣2x3+（2a﹣b）x2+（3+ab）x﹣3a
∵（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）结果不含x的二次项
∴2a﹣b＝0
∵式子36a﹣18b﹣1＝18（2a﹣b）﹣1
∴36a﹣18b﹣1＝18×0﹣1＝﹣1
故选：A．
3．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是（）A．10B．11C．12D．13
【分析】利用x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x2+3x+2
＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），
∴a﹣2＝3，
∴a＝5，
∵b﹣a+1＝2，
∴b﹣5+1＝2，
∴b＝6，
∴a+b＝5+6＝11，
故选：B．
4．已知代数式x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则（y+1）x的值为（）
A．16B．﹣16C．﹣D．
【分析】把含x和y的项分别写成完全平方公式的形式，根据非负数的性质求出x，y，再计算代数式的值．
【解答】解：∵x2+y2+4x﹣6y+13＝0，
∴x2+4x+4+y2﹣6y+9＝0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
∴原式＝（3+1）﹣2
＝4﹣2
＝，
故选：D．
5．若2m×8n＝32，，则的值为．
【分析】已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，得到关于m与n的方程，组成方程组，求出方程组的解得m与n的值，即可求出所求．【解答】解：∵2m×8n＝2m×23n＝2m+3n＝32＝25，2m÷4n＝2m÷22n＝2m﹣2n＝＝2﹣4，∴m+3n＝5，m﹣2n＝﹣4，
两式相加得：2m+n＝1，
则原式＝（2m+n）＝．
故答案为：．
6．已知x2+xy+y＝14①，y2+xy+x＝28②，则x+y的值为．
【分析】先把两个方程相加，得到关于（x+y）的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：①+②得，x2+2xy+y2+x+y＝42，
∴（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，
∴（x+y+7）（x+y﹣6）＝0，
∴x+y＝﹣7或x+y＝6，
故答案为：﹣7或6．
7．已知a+b＝1，ab＝﹣2，则代数式（a+1）（b+1）的值是．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后把a+b与ab的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，
当a+b＝1，ab＝﹣2时，原式＝﹣2+1+1＝0，
故答案为：0．
8．已知x＝+1，则代数式x2﹣2x+1的值为．
【分析】根据x的值和完全平方差公式可以解答本题．
【解答】解：∵x＝+1，
∴x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2
＝（+1﹣1）2
＝（）2
＝2，
故答案为：2．
9．若a2+ma+25是一个完全平方式，则实数m＝．
【分析】根据完全平方式即可求出答案．
【解答】解：∵（a±5）2＝a2±10a+25，
∴m＝±10，
故答案为：±10．
10．若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是．【分析】把25x2看作中间项或第一项，根据完全平方公式可解答，当加上的项是﹣1或﹣25x2时，同样成立．
【解答】解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2，
∴可添加的项是10x或﹣10x，
②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝，
∴可添加的项是，
③可添加﹣1或﹣25x2，
综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．
故答案为：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．
11．下列有四个结论：
①若（1﹣x）x+1＝1，则x＝﹣1；
②若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为5﹣2；
③若规定：当ab≠0时，a⊗b＝a+b﹣ab，若a⊗（4﹣a）＝0，则a＝2；
④若4x＝a，8y＝b，则24x﹣3y可表示为；
⑤已知多项式x2+4x+m是完全平方式，则常数m＝4．
其中正确的是．（填序号）
【分析】①可以是零指数幂，可以是1的任何次幂，可以是﹣1的偶数次幂；
②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代数式求值即可；
③根据新定义列出方程求解即可；
④把a，b先化成底数为2的式子，然后再求值；
⑤根据完全平方公式判断即可．
【解答】解：①可以分为三种情况：
当x+1＝0时，x＝﹣1；
当1﹣x＝1时，x＝0；
当1﹣x＝﹣1，x+1为偶数时，x＝2，但x+1＝3不是偶数，舍去；
综上所述，x＝﹣1或0．
∴①不符合题意；
②（2﹣a）（2﹣b）
＝4﹣2b﹣2a+ab
＝4﹣2（a+b）+ab，
∵a﹣b＝1，
∴（a﹣b）2＝1，
∴a2+b2﹣2ab＝1，
∴ab＝1，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，
∴a+b＝±，
当a+b＝时，原式＝4﹣2+1＝5﹣2；
当a+b＝﹣时，原式＝4+2+1＝5+2，
∴a+b＝5±2．
∴②不符合题意；
③根据定义得：a+4﹣a+a（4﹣a）＝0，
解得：a＝2，
∴③符合题意；
④∵4x＝（22）x＝22x，8y＝（23）y＝23y，
∴24x﹣3y＝＝＝，
∴④不符合题意；
⑤∵x2+4x+m是完全平方式，
∴m＝（）2＝4，
∴⑤符合题意，
故答案为：③⑤．
12．已知实数m，n满足m﹣n＝1，则代数式m2+2n+4m﹣1的最小值为．【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：∵m﹣n＝1，
∴n＝m﹣1，
则m2+2n+4m﹣1
＝m2+2m﹣2+4m﹣1
＝m2+6m﹣3
＝m2+6m+9﹣12
＝（m+3）2﹣12，
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2﹣12≥﹣12，即代数式m2+2n+4m﹣1的最小值等于﹣12．
故答案为：﹣12．
13．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为．
【分析】先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性即可求解．
【解答】解：∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，
∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16．
故答案为：﹣16．
14．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）填空：32奇特数，2018奇特数．（填“是”或者“不是”）（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的
奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据32＝92﹣72，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，而2018＝2×1009，不是8的整数倍，进行判断．
（2）利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；
（3）利用阴影部分面积为：S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，进而求出即可．
【解答】解：（1）∵32＝8×4＝92﹣72，
∴32是奇特数，
∵因为2018不能表示为两个连续奇数的平方差，
∴2018不是奇特数，
故答案为：是，不是；
（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，
理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
（3）S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12
＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）
＝（99+97+95+…+3+1）×2
＝×2
＝5000．
15．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，
B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；
方法1 ；方法2 ．
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．
【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（4）①依据a+b＝5，可得（a+b）2＝25，进而得出a2+b2+2ab＝25，再根据a2+b2＝11，即可得到ab＝7；
②设x﹣2019＝a，则x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，依据（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，即可得到（x﹣2019）2的值．
【解答】解：（1）方法一：图2大正方形的面积＝（a+b）2
方法二：图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）如图所示，
（4）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝11，
∴ab＝7；
②设x﹣2019＝a，则x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，
∵（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，
（a+1）2+（a﹣1）2＝34，
2a2+2＝34，
a2＝16，
∴（x﹣2019）2＝16．
16．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积；；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）；
【应用】请应用这个公式完成计算：2001×1999；
【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为．
【分析】（1）分别用代数式表示两个图形的阴影部分的面积即可；
（2）根据两个图形中阴影部分的面积相等得出答案；
【应用】将2001×1999转化为（2000+1）（2000﹣1），根据平方差公式进行计算即可；
【拓展】配上因式（2﹣1）后连续利用平方差公式计算出（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…
（232+1）+1的结果，再由“幂”的个位数字的呈现的规律得出答案．
【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②中阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由两个图形的阴影部分的面积相等可得，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
【应用】2001×1999＝（2000+1）（2000﹣1）
＝4000000﹣1
＝3999999；
【拓展】原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128……
所以264的个位数字为6，
故答案为：6．
17．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；
（2）猜想：
（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）＝（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：
①211+210+29+28+27+…+23+22+2；
②﹣511+510﹣59+58﹣57+…﹣53+52﹣5．
【分析】（1）根据平方差公式，根据多项式乘多项式计算，然后合并同类项；
（2）由（1）中的规律进行猜想；
（3）①首先把1化为（2﹣1）形式，再把括号里的每一项写成乘以1的乘方形式，构成（2）中形式，从而写出结论，进行计算；
②先提取符号，把1化为[5﹣（﹣1）]形式，再把括号里的每一项写成乘以（﹣1）的
乘方形式，构成（2）中形式，从而写出结论，进行计算．
【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）
＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3
＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）
＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4
＝a4﹣b4．
故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4．
（2）（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）
＝a n﹣b n；
故答案为：a n﹣b n．
（3）①211+210+29+28+27+…+23+22+2
＝（2﹣1）（211+210×1+29×12+28×13+27×14+…+23×18+22×19+2×110+111）﹣111＝212﹣112﹣1
＝4094；
②﹣511+510﹣59+58﹣57+…﹣53+52﹣5
＝﹣[511﹣510+59﹣58+57﹣…+53﹣52+5]
＝﹣{[5﹣（﹣1）][511+510×（﹣1）+59×（﹣1）2+⋯+52×（﹣1）9+5×（﹣1）10+（﹣1）11]]﹣1
＝﹣[（512﹣（﹣1）12）]﹣1
＝﹣﹣
＝﹣（511+1）．
18．如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法
①：.方法②：.请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母
a，b代数式的等式是：．
（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；
②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．
【分析】（1）利用平移将草坪相对集中为边长为（a﹣b）米的正方形，可表示面积，再利用整体面积减去路的面积即可；
（2）①根据完全平方公式进行变形即可；
②设x﹣2020＝m，x﹣2022＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，利用完全平方公式可求出mn＝4，进而求出（m+n）2＝20，要求（x﹣201）2的值，即求（）2的值即可．
【解答】解：（1）方法①，通过平移两条路，草坪可看作边长为（a﹣b）米的正方形，因此面积为（a﹣b）2（平方米），方法②，从大正方形面积里减去两条路的面积，即（a2﹣ab﹣ab+b2）平方米，也就是（a2﹣2ab+b2）平方米，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2，a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）①∵a﹣b＝5，
∴a2﹣2ab+b2＝25，
又∵a2+b2＝20，
∴ab＝﹣；
②设x﹣2020＝m，x﹣2022＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，∴m2﹣2mn+n2＝4，即12﹣2mn＝4，
∴mn＝4，
∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn
＝4+16
＝20，
∴（x﹣201）2
＝（）2
＝
＝
＝5，
答：（x﹣2021）2的值为5．
31
32。