韩山师范学院2011年专升本插班生考试样卷解答

韩山师范学院2011年专升本插班生考试样卷
数学与应用数学 专业 数学分析
一、填空题（每小题2分，共30分）：
1. 设函数()f x 连续，则在[,]a b 上
21
d ()d d x
f t t x =⎰ 2(2) f x ． 2.
2
22sin d 1sin x
x x π
π-=+⎰ 0 ．
3. 设函数, 01,
(), 12,x e x f x a x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩
在[0,2]上连续，则a = 1 e -．
4.
判别非正常积分
1
x +∞
⎰
的敛散性： 发散 ．
（收敛、发散） 5. 3229123y x x x =-+-的单调递减区间为 (1,2) . 6. 函数2
2()(0)1x
f x x x =
>+的极值点为 1 x =. 7.
函数z ={}
(,)11,11 x y x y -≤≤-≤≤.
8. 二重积分
d d D
xy x y ⎰⎰（其中2
:0,01D y x x ≤≤≤≤）的值为1
12
. 9.
设(,)f x y =(2,1)y f = 0 . 10.1
111lim(1)23n n n
→∞++++= 1 .
11. 设{}
22(,)12E x y x y =<+≤，则E 的内部int E ={}
22
(,)12 x y x y <+<.
12. 设()1n nx f x n x =+,(,)x ∈-∞+∞．则lim ()n n f x →∞=1, 0
0, 0 1, 0
x x x >⎧⎪
=⎨⎪-<⎩
.
13. 广义球坐标变换sin cos sin sin cos
x ar y br z cr ϕθ
ϕθϕ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
的雅可比行列式
(,,)(,,)x y z r θϕ∂=∂2 sin abcr ϕ. 14. 幂级数
11
(1)n n x n
∞
=-∑的收敛域为 [0,2) .
15. 设{}
[]E x x x R =-∈,则sup E = 1 . 二、设0a >,{}n x 满足: 00x >，11()2n n n
a
x x x +=
+,0,1,2n = ,证明:{}n x 收敛， 并求lim n n x →∞
．（10分）
证：∵11()2n n n a x x x +=
+≥=（0,1,2n = ）
， 211()022n n n n n n
a x a
x x x x x +--=-=≤，
（0,1,2n = ）
， ∴ 数列{}n x
{}n x 收敛． 设lim n n x b →∞
=，则有11lim lim()2n n n n n
a
x x x +→∞
→∞=
+，即有1()2a b b b =+
，解得b =
三、证明不等式：当02x π
<<时，22
1cos 2x x x π
>->.(8分)
证：已知，当02
x π
<<
时，有不等式
2
sin 1x
x
π
<
<． １）设2
()1cos 2
x f x x =-+，有()sin f x x x '=-． 当02
x π
<<
时，()0f x '>，从而()f x 在(0,
)2
π
严格增加且在[0,]2π
连续，
又(0)0f =，于是当02x π
<<时，有2()1cos (0)02x f x x f =-+>=，即2
1c o s 2
x x >-．
２）设2
()1cos x g x x π
=--
，有2()sin x
g x x π'=-
．
当02
x π
<<
时，()0g x '>，从而()g x 在(0,
)2
π
严格增加且在[0,]2π
连续，
又(0)0g =，于是当02
x π
<<
时，有2
()1cos (0)0x g x x g π
=--
>=，即2
1c o s x x π
->
．
四、计算题（每小题6分，共12分） 1.
设()ln(f x x =
，求()f x '；
解：()f x
'==
2.
2d 1
x
x x +∞
-∞
++⎰
.
解：由定义，
20
021lim d lim 1313()24
p
p p p dx x x x x +∞
→+∞→+∞==++++
⎰
⎰
ππ()26=
-=；
2ππ[()]π162dx x x -∞==--=++⎰； 于是，
21dx x x +∞
-∞
++⎰
201dx x x +∞=++⎰021dx x x -∞+++
⎰=．
五、应用柯西准则判别级数2
1
sin 3n
n n ∞
=∑的敛散性.(8分) 证：设2
sin 3n
n u n
=，有 1212222
sin 3sin 3sin 3(1)(2)()
n n n p
n n n p
u u u n n n p ++++++++=++++++ 222
111
(1)(2)()n n n p ≤
++++++
111
(1)(1)(2)(1)()
n n n n n p n p <
+++++++-+
111()n n p n =
-<+， 于是，0ε∀>，1
[]1N N ε
+∃=+∈，n N ∀>，N p +∀∈，都有
121
n n n p u u u n
ε+++++<
< ． 由柯西准则，级数2
1
sin 3n
n n ∞
=∑收敛．
六、证明函数2
22, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪
=+⎨⎪=⎩
在点(0,0)的偏导数存在，但在此点
不可微.(8分)
证：由定义,),(y x f 点(0,0)的两个偏导数分别是
0(,0)(0,0)0
(0,0)lim
lim 0x x x f x f f x
x ∆→∆→∆-'===∆∆； 0
0(0,)(0,0)0(0,0)lim
lim 0y y y f y f f y
y ∆→∆→∆-'===∆∆. 假设(,)f x y 在点)0,0(可微, 则有 (0,0)(0,0)0x y df f x f y ''=∆+∆=,
又222
()(0,0)(0,0)()()
x y f f x y f x y ∆∆∆=+∆+∆-=∆+∆
, ρ= 特别取x y ∆=∆,
有30lim
lim 04
x x y x
f df
ρ
∆→∆→∆=∆∆-==≠,与可微定义矛盾. 故(,)f x y 在原点)0,0(不可微．
七、设()g x 在[,]a b 上连续，()f x 在[,]a b 上可积，且()0f x >，则在[,]a b 上至少存在
一点ξ，使得
()()d ()()d b
b
a
a
f x
g x x g f x x ξ=⎰
⎰.(8分)
证：由于()g x 在[,]a b 上连续，因此存在最大值M 与最小值m ，使得 ()m g x M ≤≤， [,]x a b ∈
又()f x 在[,]a b 上可积，且()0f x >，于是有
()()()()mf x g x f x Mf x ≤≤，[,]x a b ∈
且()mf x ，()()g x f x ，()Mf x 都在[,]a b 上可积．
由积分的不等式性质，有
()d ()()d ()d b b b
a
a
a
m f x x f x g x x M f x x ≤≤⎰⎰⎰．
若
()d 0b
a
f x x =⎰
，则由上式知，()()d 0b
a
f x
g x x =⎰，从而[,]a b ξ∀∈，都有
()()d ()()d b
b
a
a
f x
g x x g f x x ξ=⎰
⎰．
若
()d 0b
a
f x x ≠⎰
，则有
()()d ()d b
a
b
a
f x
g x x
m M f x x
≤
≤⎰⎰
，
由连续函数的介值性，至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()d ()()d b
a
b
a
f x
g x x
g f x x
ξ=
⎰⎰
，即
()()d ()()d b
b
a
a
f x
g x x g f x x ξ=⎰
⎰．
八、求由曲面222
1625
x y z =
+和22
1625x y z =+所围成的立体的体积.(8分) 解：所围成的立体V 的上、下曲面分别是221625x y z =+
与z = 线是1z =，
2211625x y +=，于是V 在xy 平面上的投影区域是椭圆域：22
11625
x y +≤． 作广义柱面坐标变换4cos 5sin
x r y r z z ϕ
ϕ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，有
(,,)20(,,)x y z r r z ϕ∂=∂，则曲面方程和椭圆 22
11625
x y +=的方程分别是：2z r =，z r =和21r =． 于是，2
r z r ≤≤，01r ≤≤，02ϕπ≤≤，所求立体V 的体积
2211
23
10
d d d 20d d d 40()d 3
r r
V
I x y z r r z r r r πϕππ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．
九、证明：若()f x 为[,]a b 上的连续函数，则()f x 在[,]a b 上可积.(8分) 证：已知函数()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上一致连续，即
0ε∀>，0δ∃>，12,[,]x x a b ∀∈：12x x δ-<，有
12()()f x f x ε-<．
对[,]a b 任意分法T ，要求()l T δ<，函数()f x 在每一个小区间1[,]k k x x -连续，
于是()f x 在每一个小区间1[,]k k x x -取到最小值k m 与最大值k M ，即1,[,]k
k k k x x ξξ-'''∃∈， 有(),()k
k k k f m f M ξξ'''==．因为()l T δ<，所以1k k k k x x ξξδ-'''-≤-<，有
()()k k k k k M m f f ωξξε'''=-=-<，1,2,,k n = ．
于是
1
1
()n
n
k
k
k k k x
x b a ωεε==∆<∆=-∑∑．
即函数()f x 在[,]a b 上可积．。