2018届江西省南昌市名校高三第二轮复习测试(八)数学试题及答案 (3)

南昌市2017—2018学年度高三新课标第二轮复
习测试卷 数学（8）
命题人：新建二中 肖英文 审题人：南昌市教研室 孙建民
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，复数21i
i
-等于 A ．l +i B ．-l -i C ．l -i D ．-l+i
2．（理）在6
的二项展开式中，x 2的系数为
A ．427-
B ．227-
C ．227
D ．
4
27
（文）已知集合M={y|y=sinx, x ∈R}，N={0，1，2}, 则M N= A ．{-1,0,1} B ．[0,1] C ．{0,1} D ．{0，1,2} 3．下列有关命题说法正确的是
A ．命题p ：“∃x ∈R ，sinx+cosx=”，则⌝p 是真命题
B ．“x=－1”是“x 2－5x －6=0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2 +x+1<0“的否定是：“∀x ∈R ，x 2+x+1<0”
D ．“a>l ”是“y=log a x （a >0且a ≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充
要条件
4．设m ，n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面，给出下列条件,能得到m β⊥的是
A ．αβ⊥，m α⊂
B ．m ⊥α，αβ⊥
C ．m ⊥n,n β⊂
D ．m ∥n,n β⊥
5．设函数f （x ）=
32sin tan 3x θθ++，其中θ∈50,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则导数f '（1）的取值范围是
A ．[-2，2]
B ．
C ．2⎤⎦
D ．2⎤⎦
6．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计
图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差222
s s s 甲乙丙
，，的大小关系是（ ）
A ．222s s s <<乙甲丙
B ．222s s s <<甲乙丙
C ．222s s s <<甲乙丙
D ．222
s s s <<乙甲丙 7．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是
8．（理）己知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若直
线y = a 1x+m 与圆（x －2）2+ y 2 =1的两个交点关于直线x +y +d =0对称，则S n =
A ． n 2
B ．－n 2
C ．2n －n 2
D ．n 2－2n （文）已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为
A ．5
1- B ．5
1 C ．5- D ．5 9．（理）设两个向量)cos ,2(22αλλ-+=a 和,
(m b =)sin 2
α+m
，其中αλ,,m 为实数，若b a 2=，则
m
λ
的取值范围是
A ．]1,6[-
B ．[4，8]
C ．]1,6(-
D ．]6,1[- （文）已知向量),1(m a =，),2(n b =，),3(t c =，且b a //，c b ⊥，则22||||c a +的最小值为
A ．4
B ．10
C ．16
D ．20 10．（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以
MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为
A ．24y x =或28y x =
B ．22y x =或28y x =
C ．24y x =或216y x =
D ．22y x =或216y x = （文）已知斜率为2的直线l 过抛物线ax y =2的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A ．x y 42=
B ．x y 82=
C ．x y 42=或x y 42-=
D ．x y 82=或x y 82-=
频数
环数
频数
甲
乙
丙
环数
二、填
空题
(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．) 11.(理)如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，
每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有 （文）如果函数)0)(6
sin()(>+=ωπωx x f 的两个相邻零点之间的距离为
12
π
，
则ω的值为
13已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为
1-，则常数=k _______．
14. 已知四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，且21=AA ，底面
ABCD 的边长均大于2，且︒=∠45DAB ，点P 在底面ABCD 内运动，且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥MN D P 1-体积的最大值为______．
15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）
①．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极
坐标系，则曲线x y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（ϕ为参数，R ϕ∈）上的点到曲线cos sin 4(,)R ρθρθρθ+=∈的最短距离是
②．（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .．
15(文). 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围
是 . 三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16、（本题满分12分） 在△ABC 中，7cos 25A =-
，3
cos 5
B =. （1）求sin
C 的值；
（2）设BC ＝5，求△ABC 的面积. 17、（本题满分12分）
（理）已知数列｛a n }满足：a 1＝1，1n na +＝2(n 十1)a n ＋n （n ＋1），（*n N ∈），
（1）若1n
n a b n
=
+，试证明数列｛b n }为等比数列； （2）求数列｛a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ．
（文）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n
，且n a =1，
*n N ∈，数列1b ，21b b -，32b b -……，1n n b b --是首项为1，公比为
1
2
的等比数列.
（1）求证：数列{a n }是等差数列；
（2）若n n n c a b =，求数列{c n }的前n 项和Tn.
18. （本题满分12分）
（理）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．
（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P
，求满足||PH <
（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．
（文）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；
（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班
Q
P
A
B
C
学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．
19. （本题满分12分）
（理）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ， 底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //， 222===CD AD AB ，E 是PB 的中点.
（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ； （2）若二面角E AC P --的余弦值为
3
6
， 求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.
（文）在空间几何体PQ ABC -中，PA ⊥平面ABC ， 平面QBC ⊥平面ABC ，AB AC =，QB QC =． （1）求证：//PA 平面QBC ；
（2）如果PQ ⊥平面QBC ，求证：Q PBC P ABC V V --=．
20. （本题满分13分）
（理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为)0,1(1-F ，P 为椭圆G 的上顶点，且︒=∠451O PF （1）求椭圆G 的标准方程； （2）已知直线11:m kx y l +=与椭圆G 交于A 、B 两点，直线)(:2122m m m kx y l ≠+=与椭圆G 交于C 、D 两点，且CD AB =，如图所示.
（i ）证明：021=+m m ；
（ii ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.
（文）四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线2y x =上，A ，C 关于y 轴对称，BD 平行于抛物线在点C 处的切线. （1）证明：AC 平分BAD ∠；
（2）若点A 坐标为(1,1)-，四边形ABCD 的面积为4，求直线BD 的方程.
21. （本题满分14分）
（理）已知)(,2121x x x x =/是函数)0()(2
23>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点． (1)若11-=x ，22=x ，求函数)(x f 的解析式； (2)若22||||21=+x x ，求实数b 的最大值；
(3)设函数)()()(1x x a x f x g --'=，若21x x <，且a x =2，求函数)(x g 在),(21x x 内的最小值．(用a 表示)
（文）若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x ，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．
（1）函数()22x x f x +=是否关于1可线性分解?请说明理由；
（2）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；
南昌市2017—2018学年度高三新课标第二轮复习测试卷
数学（8）参考答案
一、选择题：每小题5分，共50分．
二、填空题：每小题5分，共25分．
11．(理)120（文）12； 12．i =7； 13．9； 14．31
2-；
15．（理）1；○242≤≤-a （文）42≤≤-a 三、解答题：（本大题共6小题共75分） 16、解：（1）在ABC ∆中，∵7cos 25A =-，24sin 25
A ∴= 又∵3
4
c o s s i n 5
5B B =∴=
125
44
sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴B A B A B A C ; （2）由正弦定理知：6
25
sin sin =
=A B BC AC 311
sin 21=
⋅⋅=∴∆C AC BC S ABC
17．（理）解：(1)121)1()1(211+=+⇒+++=++n
a
n a n n a n na n n n n ，
)1(222111+=+=+++n
a
n a n a n n n 得，即n n b b 21=+，
21=b 又,{}n b 所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由(1)知),12(212b -=⇒=+⇒=n n n n n n n a n a
∴231(21)2(21)3(21)(21)n
n S n =⨯-+⨯-+⨯-++-K 231222322(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++K K
23(1)
12223222
n n n n +=⨯+⨯+⨯++⋅-K .
令231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅K ，
则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅K ， 两式相减得：2
3
1
12(12)22222
212
n n
n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-K ， 22)1(2)21(211+⋅-=⋅+-=++n n n n n n T .
∴2
)
1(22)1(1+-+⋅-=+n n n S n n .
(文)解（1
）∵1n a =-，21
(1)4n n S a ∴=+
当221111
2,(1)(1)44
n n n n n n a S S a a --≥=-=+-+
22111
(22)4
n n n n a a a a --=+-- 即11()(2)0n n n n a a a a --+--=，12n n a a -∴-= 又11a =
故数列{}n a 是等差数列.且21n a n =-;
（2）∵1213211
1()()()22n n n n b b b b b b b b --=+-+-++-=-L L ∴11
121
(21)(2)2(21)22n n n n c n n ---=--
=-- 先求数列1212n n --⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A .
∵23135721
12222
n n n A --=+++++K
2312311135232122222212222211222222n n n n n n
n n A n A ----=+++++-∴=+++++-K K 211123232336262222n n n n n n n n n A A T n --+++=-∴=-∴=+-. 18.（理）解：（1）所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积
是224⨯=．
内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H
为半径、
圆心角为2
π
的扇形HEG
直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH 构成．
其面积是2
1
121114
22
π
⨯π⨯
+⨯⨯⨯=+．
所以满足||PH <112484
π+π=+． （2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成
28C 28=条不同的线段．
其中长度为1的线段有8的线段有4条，长度为2的线段有68条，长度为的线段有2条． 所以ξ所有可能的取值为12．
且()821287P ξ==
=， (
41287P ξ===， ()6322814P ξ===， (82287P ξ===， (
21
2814
P ξ===．
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ21321127714714E ξ=⨯++⨯+=
（文）解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为
4.42 4.62 4.82 4.9
5.1
4.78
⨯+⨯+⨯++=．
据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．
（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，
所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，
，()4.34.5，，
()4.34.6，
，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，
，()4.54.8，，()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形． 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，
，()4.34.6，
，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，
，共10种． 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为
102=153
19．（理）解：（1）⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴， 2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC 222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴
又C PC BC = ，⊥∴AC 平面PBC ，
⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC
（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0）.设P （0，0，a ）（a>0），则E （2
1，2
1-，2
a ），)0,1,1(=CA ，
),0,0(a CP =，)2
,21,21(a
CE -=，
取m =（1，－1，0）
则0m CP m CA ⋅=⋅=，∴m 为面PAC 的法向量
设(,,)n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=， 即⎩⎨
⎧=+-=+0
,
0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，
则(,,2)n a a =--，
依题意，2
cos ,m n m n m n
a ⋅<>=
=
=2=a
于是(2,2,2)n =--
设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2
sin cos ,PA n PA n PA n
θ⋅=<>
==
即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为
3
2 （文）解：（I ）如图，取BC 中点D ，连QD ，
由QB QC =得QD BC ⊥，∵平面QBC ⊥平面ABC ， ∴QD ⊥平面ABC ，又∵PA ⊥平面ABC ，
Q
P
∴QD ∥PA ， 又∵QD ⊆平面QBC ， ∴PA ∥平面QBC ．
（2）连接AD ，则AD BC ⊥．
∵平面QBC ⊥平面ABC ，面QBC ∩面ABC BC =， ∴AD ⊥平面QBC ．
又∵PQ QBC ⊥平面，∴PQ ∥AD ． 又由（1）知，四边形APQD 是矩形， ∴PQ AD =，PA QD =．
∴11()32
Q PBC P QBC V V BC QD PQ --==⋅⋅⋅⋅，
而11
()32
P ABC V BC AD PA -=⋅⋅⋅⋅，则Q PBC P ABC V V --=．
20.（理）解：（1）设椭圆G 的标准方程为122
22=+b
y a x （a>b>0）
因为)0,1(1-F ,︒=∠451O PF ，所以b=c=1 2222=+=∴c b a
∴椭圆G 的标准方程为12
22
=+y x （2）设A （11,y x ），B （22,y x ），),(33y x C ，D （44,y x ）
（i ）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12
,
2
21y x m kx y ，消去y 得0224)21(2
1122=-+++m x km x k 则0)12(8212>+-=∆m k ，且⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=+-=+22
12121212122,214k m x x k
km x x 2122122212214)(1)()(x x x x k y y x x AB -++=-+-=∴
2
2122
2212
2
12
211
2122212242141k
m k k k m k km k
++-+=+-⋅-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+= 同理2
2222
211
2122k m k k CD ++-+=
CD AB =，∴2
2
222
2
2122211
21222112122k
m k k k m k k
++-+=++-+
21m m ≠，∴021=+m m
（ii ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的
22212122421)12(242
2
12122
2
1212=+++-≤++-=k m m k k m m k 当且仅当212212m k =+时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值，且最大值为22
（文）（1）设A (x 0，x 20)，B (x 1，x 21)，C (－x 0，x 20)，D (x 2，x 22)． 对y ＝x 2求导，得y '＝2x ，则抛物线在点C 处的切线斜率为－2x 0．
直线BD 的斜率k ＝x 22－x 2
1
x 2－x 1
＝x 1＋x 2，
依题意，有x 1＋x 2＝－2x 0．
记直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2，与BD 的斜率求法同理，得 k 1＋k 2＝(x 0＋x 1)＋(x 0＋x 2)＝2x 0＋(x 1＋x 2)＝0， 所以∠CAB ＝∠CAD ，即AC 平分∠BAD ．
（2）由题设，x 0＝－1，x 1＋x 2＝2，k ＝2．四边形ABCD 的面积
S ＝ 1 2|AC |·|x 22－x 2
1|＝ 1 2|AC |·|x 2＋x 1|·|x 2－x 1|
＝ 1 2
×2×2×|2－2x 1|＝4|1－x 1|， 由已知，4|1－x 1|＝4，得x 1＝0，或x 1＝2． 所以点B 和D 的坐标为(0，0)和(2，4)， 故直线BD 的方程为y ＝2x ． 21．（理）解：)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ．
(1)因为11-=x ，22=x 是函数)(x f 的两个极值点， 所以0)1(=-'f ，0)2(='f ．（2分）
所以0232=--a b a ，04122=-+a b a ，解得6=a ，9-=b ． 所以x x x x f 3696)(23--=．（4分）
(2)因为)(,2121x x x x =/是函数)0()(2
23>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点， 所以0)()(21='='x f x f ，
所以21,x x 是方程)0(02322>=-+a a bx ax 的两根，
因为32124a b +=∆，所以0>∆对一切0>a ，R b ∈恒成立，
而a b x x 3221-
=+，3
21a
x x -=，又0>a ，所以021<x x ， 所以||||||2121x x x x -=+=-+=212
214)(x x x x a a b a a b 34
94)3(4)32(2
22+=---， 由22||||21=+x x ，得223
4
942
2=+a a b ，所以-=6(322a b )a ． 因为02≥b ，所以0)6(32≥-a a ，即60≤<a ． 令)6(3)(2a a a h -=，则a a a h 369)(2+-='．
当40<<a 时，0)(>'a h ，所以)(a h 在(0，4)上是增函数；
当64<<a 时，0)(<'a h ，所以)(a h 在(4，6)上是减函数．
所以当4=a 时，)(a h 有极大值为96，所以)(a h 在]6,0(上的最大值是96， 所以b 的最大值是64．
(3)因为21,x x 是方程0)(='x f 的两根，且)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ， 所以321a x x -=，又a x =2，3
11-=x ， 所以))((3)(21x x x x a x f --='))(3
1(3a x x a -+=，
所以)()()(1x x a x f x g --'=+--+=x a a x x a ())(3
1
(3)3
1)(3
1(3)3
1--+=a x x a ，
其对称轴为2a
x =，因为0>a ，所以),31(2a a -∈，即),(2
21x x a ∈， 所以在),(21x x 内函数)(x g 的最小值
==)2()(min a g x g )3
1
2)(312(3--+a a a a 221(32)3()=2312a a a a +=-+-
（文）解：（1）函数()22x x f x +=的定义域是R ，若是关于1可线性分解，
则定义域内存在实数0x ，使得()()()1100f x f x f +=+．
构造函数()()()()11f x f x f x h --+=()12212221----++=+x x x x ()1221-+=-x x ．
∵()10-=h ，()21=h 且()x h 在[]0,1上是连续的， ∴()x h 在[]0,1上至少存在一个零点．
即存在[]00,1x ∈，使()()()1100f x f x f +=+． 另解：函数()22x x f x +=关于1可线性分解， 由()()()11f x f x f +=+，得()3212221++=+++x x x x ． 即222+-=x x ．
作函数()x x g 2=与()22+-=x x h 的图象，
由图象可以看出，存在∈0x R ，使222+-=x x ，
即()()()1100f x f x f +=+)成立． （2）()x g 的定义域为()+∞,0．
由已知，存在00>x ，使()()()a g x g a x g +=+00． 即()()1ln 1ln 1ln 20000+-++-=++-+a a ax x a x a a x ．
整理，得()1ln ln ln 00++=+a x a x ，即())e ln(ln 00ax a x =+．
∴e 00ax x a =+，所以1
e 0-=
a a
x ． 由01e 0>-=a a x 且0>a ，得e
1
>a ．
∴a 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,e 1．。