2021学年第一学期嘉定区高三数学质量调研卷(理)

嘉定区高三
数学试卷（理）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．
2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．
3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟． 1．若
i i
i z +=11（i 为虚数单位）
，则=z ___________． 2.已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ，则
=B A ___________．
3．函数1)cos (sin )(2
++=x x x f 的最小正周期是___________．
4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是___________．
5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9
则公差d 的取值范围是___________．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的 值为___________．
7．小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为___________（结果用分数表示）．
8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的体积是___________． 9．点M 是曲线12
12
+=
x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为___________． 10．在△ABC 中，已知41tan =A ，5
3tan =B ，且△ABC 最大边的长为17，则△ABC 最小边的长为___________．
11．将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*
N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为n S ，则=∞
→n n S lim ___________．
（第6题图）
12．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c
满足0)()(=-⋅-c b c a ，则||c
的最大值是___________．
13．观察下列算式：
113=， 5323+=，
119733++=，
1917151343+++=，
… … … …
若某数3
m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m ___________． 14．设m 、R ∈n ，定义在区间],[n m 上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是]2,0[，若
关于t 的方程0121|
|=++⎪⎭
⎫
⎝⎛m t （R ∈t ）有实数解，则n m +的取值范围是___________．
15．已知R ∈x ，条件p ：x x <2
，条件q ：
11
≥x
，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件；
C ．充分必要条件；
D ．既不充分也不必要条件．
16．以下说法错误的是（ ）
A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[π；
B ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π；
C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[π；
D ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π．
17．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为
0=++c by ax ， c
by ax c
by ax ++++=
2211δ．有四个命题：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；
②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是（ ）
A ．① ② ③；
B ．② ③ ④；
C ．① ③ ④；
D ．① ② ③ ④．
18．设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间
]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为（ ）
A ．]6,2[-；
B ．]28,24[-；
C ．]32,22[-；
D ．]34,20[-．
19．（本题满分12分）
设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(2
2θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．
若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ． （1）求异面直线AB 与PC 所成角的大小；
（2）求三棱锥ABC P -的表面积S ．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足
|||MA =（1）求椭圆C 的方程； （2）求证：
2
22|
|2
||1||1OM OB OA ++为定值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知q pS S n n +=+1（*
N ∈n ，p 、q 为常数），21=a ，
12=a ，p q a 33-=．
（1）求p 、q 的值；
（2）求数列}{n a 的通项公式；
（3）是否存在正整数m ，n ，使得1
221+<--+m
m n n m S m S 成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(n m ；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
P A B C
小题满分8分．
设R ∈a ，函数x a x x x f 2||)(+-⋅=．
（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值； （2）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；
（3）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．
2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）参考答案与评分标准
一．填空题（每小题4分，满分56分）
1．i -2 2．}12{-<<-x x 3．π 4．2
5．⎥⎦
⎤ ⎝⎛710,45 6．37 7．1511 8．2433R π 9．2412+=x y 10．2 11．2
1
12．2
13．45 14．)2,1[
二．选择题（每小题5分，满分20分）
15．A 16．C 17．B 18．D 三．解答题 19．（本题满分12分）
方程0222
=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）
因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）
所以⎩
⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）
所以43sin 2
=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）
所以3
π
θ2=，2±=a ．…………（12分）
20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） （1）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ，
连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ， 所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或 其补角）．…………（2分） 连结AG ，则522=+=
CG AC AG ，……（3分）
622=+=AG EA EG ， …………（4分）
又22==PC AB ，所以2=
=FG EF ．…………（5分）
在△EFG 中，2
1
2cos 222-=⋅-+=
∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分） 故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．…………（8分）
（2）因为⊥PA 底面ABC ，所以AB PA ⊥，BC PA ⊥，AC PA ⊥， 又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面PAC ，所以PC BC ⊥，…………（2分） 所以△ABC 、△PAB 、△PBC 、△PAC 都是直角三角形．……（3分） 所以，2442
1
212121+=⋅+⋅+⋅+⋅=
AC PA PC BC AB PA BC AC S ．……（6分） 21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
（1）将)1,1(与
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+14323111
222
2b a
b a ，…………（2分） G P A
B
C F
E
解得32=a ，2
3
2
=
b ．…………（5分） 所以椭圆C 的方程为13
232
2=+y x ．…………（6分） （2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，
由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．
①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时
211
2211||2||1||122222222=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分） 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时
2112211||2||1||122
222222=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=++=++b a b a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x k
y 1
-
=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+
=1323
22y x kx y ，解得2
2
1213k x +=，22
21213k k y +=，……（4分） 所以2221
2
1
2
2
21)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2
22
2)1(3||k
k OM ++=， 所以2)
1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||12
22222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分） 综上，
2
22||2
||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） （1）由题意，得⎩⎨
⎧+=+=q
pS S q
pa S 2312，……（2分）
即⎩⎨⎧+=-++=q p p q q p 33323 ，解得⎪⎩⎪
⎨⎧==2
21q p ．…………（4分） （2）由（1）知，22
1
1+=+n n S S ①
当2≥n 时，221
1+=
-n n S S ② …………（1分） ①－②，得n n a a 211=+（2≥n ），又122
1
a a =，…………（3分）
所以数列}{n a 是首项为2，公比为2
1
的等比数列．…………（4分）
所以}{n a 的通项公式为2
21-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a （*
N ∈n ）．…………（6分）
（3）由（2），得⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=n n S 2114，…………（1分）
由1221+<--+m m n n m S m S ，得122211421141+<-⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m n n m m ，即12222)4(42)4(+<-⋅--⋅-m
m n
n m m ， 即1
2122)4(2+>-⋅-m
n m ．因为012>+m
，所以22)4(>⋅-n m ， 所以4<m 且42
2)4(21
+<⋅-<+m n
m ， （*）
因为*
N ∈m ，所以1=m 或2或3．……………………（2分）
当1=m 时，由（*）得8232<⨯<n
，所以1=n ； …………（3分） 当2=m 时，由（*）得12222<⨯<n
，所以1=n 或2； …………（4分） 当3=m 时，由（*）得2022<<n
，所以2=n 或3或4． …………（5分） 综上可知，存在符合条件的正整数m 、n ，所有符合条件的有序整数对),(n m 为：
)1,1(，)1,2(，)2,2(，)2,3(，)3,3(，)4,3(． …………（6分）
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（1）当2=a ，]3,0[∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-≥=+-⋅=.
20,4;2,
2|2|)(2
2
x x x x x x x x x f …（2分） 作函数图像（图像略），可知函数)(x f 在区间]3,0[上是增函数，所以)(x f 的最大值为9)3(=f ．…………（4分）
（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=.
,)2(,
,)2()(2
2a x x a x a x x a x x f ……（1分）
①当a x ≥时，4)2(22)(2
2
--
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=a a x x f ， 因为2>a ，所以
a a <-2
2
， 所以)(x f 在),[∞+a 上单调递增．…………（3分）
②当a x <时，4)2(22)(22
++
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减．…………（5分）
综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦
⎤
⎝⎛
+∞-22,a 和),[∞+a ， 单调递减区间是⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+a a ,22．………………（6分）
（3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，02
2
≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，
关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）
②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦
⎤ ⎝⎛
+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．
即⎪⎭⎫
⎝⎛+4+=+<
<4818)2(12a a a a t ．…………（5分） 令a
a a g 4
)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．…………（7分）
所以，实数t 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛89,1．…………（8分）。