广东高三高中数学开学考试带答案解析

广东高三高中数学开学考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）
A．B．C．D．
2.已知集合均为全集的子集，且,,则（）A．B．C．D．
3.已知等差数列满足，，则它的前10项和（）
A．85B．135C．95D．23
4.设，则这四个数的大小关系是（）
A．B．C．D．
5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是（）
A．若,则；
B．若则；
C．若,则；
D．若,则.
6.已知向量，，，若（），则（）
A．2B．-2C．8D．-8
7.给出下列四个结论：
①若命题，则；
② “”是“”的充分而不必要条件；
③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0”；
④若，则的最小值为．
其中正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
8.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．
9.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是,则（）
A．B．C．D．
10.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当
时，，则的值为（）
A．-1B．-2C．2D．1
二、填空题
1.在区间上随机取一个数，使得函数有意义的概率为 .
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
3.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐
标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则 .
4.已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆的参数方程
为为参数），点的极坐标为（，）．若点是圆上的任意一点，两点间距离的
最小值为 .
5.如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过点作⊙的切线,切点为，，若
，则⊙的直径__________ ．
三、解答题
1.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；
（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．
2.某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩分组如下：第一组[65，70），第二组 [70，75），第三组[75，80），第四组 [80，85），第五组 [85，90）（假设考试成绩均在[65，90）内），得到频率分布直方图如图：
（１）求测试成绩在[80，85）内的频率；
（２）从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的
的概率．
3.如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中
点．
(1) 求证：；
(2) 若平面平面,且为的中点，求四棱锥的体积．
4.若数列的前项和为，对任意正整数都有，记．
（1）求,的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若求证：对任意．
5.已知椭圆：的长轴长为4，且过点．
（１）求椭圆的方程；
（２）设、、是椭圆上的三点，若，点为线段的中点，、两点的坐标分别为、，求证：．
6.设函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，若对于[1，2]，[0，1]，使成立，求实数的取值范围．
广东高三高中数学开学考试答案及解析
一、选择题
1.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】由已知
【考点】1、复数的运算；2、共轭复数的概念.
2.已知集合均为全集的子集，且,,则（）A．B．C．D．
【答案】A.
【解析】画出venn图可知.
【考点】集合的运算.
3.已知等差数列满足，，则它的前10项和（）
A．85B．135C．95D．23
【答案】C.
【解析】由得．【考点】等差数列通项公式及前和公式．
4.设，则这四个数的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】Ｄ．
【解析】是上的减函数，，又．【考点】指数函数、对数函数及幂函数单调性的应用．
5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是（）
A．若,则；
B．若则；
C．若,则；
D．若,则.
【答案】B.
【解析】由线面垂直的判定定理知，还需与相交才能得，故错；由线面平行的判定定理，还需知
，故错；由面面平行的判定定理知，还需与相交才能得，故错. 所以选B.
【考点】立体几何线面位置关系．
6.已知向量，，，若（），则（）
A．2B．-2C．8D．-8
【答案】C．
【解析】由已知可得．
【考点】平面向量数量积坐标运算．
7.给出下列四个结论：
①若命题，则；
② “”是“”的充分而不必要条件；
③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0”；
④若，则的最小值为．
其中正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C.
【解析】由特征命题的否定知①正确；所以
“”是“”的必要而不充分条件，所以②错误；由逆否命题的定义知③正确；
④正确.
【考点】1、常用逻辑用语；2、均值不等式.
8.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．
【答案】D.
【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选
【考点】三角函数图像变换.
9.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是,则（）
A．B．C．D．
【答案】A.
【解析】初始值；第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；结束算法，输出．
【考点】算法与框图．
10.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当
时，，则的值为（）
A．-1B．-2C．2D．1
【答案】A.
【解析】由已知为上奇函数且周期为2，对于任意的实数，都有，
.
【考点】函数的性质.
二、填空题
1.在区间上随机取一个数，使得函数有意义的概率为 .
【答案】
【解析】由得的定义域为，由几何概型求解公式得所求概率为．
【考点】1、函数定义域；2、几何概型．
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
【答案】.
【解析】首先画出可行域如下图所示，可知当时，取最大值.
【考点】线性规划.
3.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐
标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则 .
【答案】.
【解析】有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的
距离为..
【考点】双曲线与抛物线的几何性质.
4.已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆的参数方程为为参数），点的极坐标为（，）．若点是圆上的任意一点，两点间距离的
最小值为 .
【答案】．
【解析】点的直角坐标为．设，则
．
【考点】1、坐标系与参数方程；2、两点间距离公式；3、最值问题．
5.如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过点作⊙的切线,切点为，，若
，则⊙的直径__________ ．
【答案】．
【解析】连结，在中，．
【考点】几何证明选讲．
三、解答题
1.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；
（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．
【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．
【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用
正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．
试题解析：(１)由,得, 1分
, 2分
.
. ３分
．４分
(２)由正弦定理，有, ５分
．６分
，, ７分
． 8分
由余弦定理，有， 9分
或（舍去）． 10分
故向量在方向上的投影为 11分
． 12分
【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．
2.某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩分组如下：第
一组[65，70），第二组 [70，75），第三组[75，80），第四组 [80，85），第五组 [85，90）（假设考试成绩均
在[65，90）内），得到频率分布直方图如图：
（１）求测试成绩在[80，85）内的频率；
（２）从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的
的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由所有频率的和为，易得测试成绩在[80，85）内的频率；（2）先分别求出第三组、第四组、第
五组的人数，再由分层抽样方法得各组应该抽取的人数。

用字母表示所研究的事件，用列举法得基本事件的总数以及所研究事件含多少个基本事件，最后利用古典概型公式求得概率．
试题解析：（１）测试成绩在[80，85）内的频率为： 2分
3分
（２）第三组的人数等于,第四组的人数等于，
第五组的人数等于， 5分
分组抽样各组的人数为第三组３人，第四组２人，第五组１人. 6分
设第三组抽到的３人为，第四组抽到的２人为,第五组抽到的１人为
. 7分
这6名同学中随机选取2名的可能情况有１５种，如下：
. 10分
设“第四组２名同学至少有一名同学被抽中”为事件,事件包含的事件个数有９种，即：
,,,,. 11分
所以, 事件的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为
． 12分
【考点】1、考查频率分布；2、频率分布直方图；3、古典概型．
3.如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．
(1) 求证：；
(2) 若平面平面,且为的中点，求四棱锥的体积．
【答案】(1)详见解析； (2) ．
【解析】(1)只要证与平面内的两条直线相交垂直即可，如与都垂直； (2)先作求出四棱锥的高，再利用四棱锥体积公式求四棱锥的体积．
试题解析：（1），为中点，１分
连，在中，，，
为等边三角形，为的中点，
, 2分
,平面,平面 ,
(三个条件少写一个不得该步骤分) 3分
平面. 4分
（2）连接,作于. 5分
,平面,
平面平面ABCD,
平面平面ABCD， 6分
, 7分
,
8分
. 9分
, 10分
又,. 11分
在菱形中，,
方法一:, 12分
. 13分
． 14分
方法二:
， 12分
, 13分
14分
【考点】1、空间线面垂直关系的证明；2、空间几何体体积的计算．
4.若数列的前项和为，对任意正整数都有，记．
（1）求,的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若求证：对任意．
【答案】（1）；（2）；（3）见试题解析．
【解析】（1）分别令可求得的值；（2）利用与的关系式，先求，再利用已知条件求得数列的通项公式；（3）先利用累加法求得,再利用裂项相消法求和，进而可证明不等式．
试题解析：(1)由，得，解得． 1分
，得，解得． 3分
（2）由①，
当时，有②， 4分
①－②得：，５分
数列是首项，公比的等比数列６分
，７分
．８分
（3），
， (1)
， (2)
，
，
， ()９分
(1)+(2)+ +()得， 10分
， 11分
， 12分
， 13分
，
对任意均成立． 14分
【考点】1、数列通项公式的求法；2、数列前项和的求法；3、数列不等式的证明．
5.已知椭圆：的长轴长为4，且过点．
（１）求椭圆的方程；
（２）设、、是椭圆上的三点，若，点为线段的中点，、两点的坐标分别为、，求证：．
【答案】（1）；（2）详见试题解析．
【解析】（1）由已知列方程组可求得的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）利用平面向量的坐标运算和待定系数法可得线段的中点的轨迹是以，为焦点的椭圆，有椭圆的定义最终可得．
试题解析：(1)由已知２分
解得.４分
椭圆的方程为．５分
（２）设，则，． 6分
由,
得,即．７分
是椭圆上一点，所以
，８分
即
得，故．９分
又线段的中点的坐标为， 10分
，11分
线段的中点在椭圆上． 12分
椭圆的两焦点恰为， 13分
14分
【考点】1、椭圆的定义、方程；2、应用平面向量解决解析几何问题．
6.设函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，若对于[1，2]，[0，1]，使成立，
求实数的取值范围．
【答案】（1）在处的切线方程为；（2）函数的单调增区间为;单调减区间为
；（3）.
【解析】（1）首先求函数的定义域，利用导数的几何意义求得在处的切线的斜率，再利用直线的
点斜式方程求得在处的切线方程；（2）分别解不等式可得函数的单调递增区间、单
调递减区间；（3）由已知“对于[1，2]，使≥成立”在上的最小值不大于在上的最小值，先分别求函数，的最小值，最后解不等式得实数的取值范围．
试题解析：函数的定义域为， 1分
2分
（1）当时，，， 3分
，
， 4分
在处的切线方程为. 5分
(2).
当,或时, ; 6分
当时, . 7分
当时，函数的单调增区间为;单调减区间为. 8分
(如果把单调减区间写为,该步骤不得分)
（3）当时，由（2）可知函数在上为增函数，
∴函数在[1，2]上的最小值为 9分
若对于[1，2]，使≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*） 10分
又，
当时，在上为增函数，
与（*）矛盾 11分
当时，，由及
得， 12分
③当时，在上为减函数，
及得. 13分
综上，的取值范围是 14分
【考点】1、导数的几何意义；2、应用导数求函数的单调区间；3、应用导数解决含参数不等式的参数取值范围问题．。