八年级数学十字相乘法
八年级数学十字相乘法因式分解
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
；宁波象山包船捕鱼 宁波象山包船捕鱼
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，替一位素昧平生的小人物鸣不平…… ? 该举震撼了
十字相乘法(八年级数学精品课件)
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。
例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
x
7
x 1
x7x 6x
因式分解：
(1) x2 14x 45= (x 5)(x 9) (2) x2 7 x 60= (x 12)(x 5)
(3) x2 29x 138= (x 23)(x 6)
(4) x2 14x 72= (x 4)(x 18) x2 (a b)x ab = (x a)(x b)
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
十字相乘法
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目，例子中的²是平方的意思例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
部编数学八年级上册专题31十字相乘法因式分解(解析版)含答案
专题31 十字相乘法因式分解1．下列式子中，因式分解正确的是( )A ．2815(3)(5)x x x x -+=--B ．2815(3)(5)x x x x -+=-+C ．2815(3)(5)x x x x -+=++D ．2815(3)(5)x x x x -+=+-【答案】A【分析】根据十字相乘法即可分解因式．【详解】解：2815(3)(5)x x x x -+=--．故选：A ．【点睛】本题主要考查用十字相乘法分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键．2．将多项式x 2－2x －8分解因式，正确的是（ ）A ．（x ＋2）（x －4）B ．（x －2）（x －4）C ．（x ＋2）（x ＋4）D ．（x －2）（x ＋4）【答案】A【分析】利用十字相乘法分解即可．【详解】解：()()2－2－8=24x x x x +-，故选：A ．【点睛】本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．3．分解因式x 2-5x -14，正确的结果是（ ）A ．（x －5）（x －14）B ．（x －2）（x －7）C ．（x －2）（x ＋7）D ．（x ＋2）（x －7）【答案】D【分析】根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．【详解】解：x 2-5x -14=（x -7）（x +2），故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．4．把多项式256x x -+分解因式，下列结果正确的是（ ）A ．(1)(6)x x -+B ．(6)(1)x x -+C ．(2)(3)x x ++D ．(2)(3)x x --【答案】D【分析】利用公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++即可得答案．【详解】解：256(2)(3)x x x x -+=--故选:D ．【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++．5．如果x 2+kx ﹣10＝（x ﹣5）（x +2），则k 应为（ ）A ．﹣3B ．3C ．7D ．﹣7【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．【详解】解：（x -5）（x +2）=x 2-3x -10，则k =-3，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x 2+（p +q ）x +pq =（x +p ）（x +q ）．6．如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、252x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；B 、253x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C 、()()25414x x x x -+=--，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D 、255x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．7．因式分解22212x x --=_________【答案】()()223x x +-【分析】先提公因式再利用十字相乘法进行因式分解即可；【详解】解：()()22212=232x x x x ---+；故答案为：()()223x x +-．【点睛】本题考查分解因式．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．8．分解因式：2246a a --=______．【答案】()()231a a -+##()()213a a +-【分析】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可；【详解】解：原式=()()()2223231a a a a --=-+；故答案为：()()231a a -+；【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x 2+px +q 的二次三项式，若能找到两数a 、b ，使a •b =q 且a +b =p ，那么x 2+px +q = x 2+（a +b ）x +a •b =（x +a ）（x +b ）．9．因式分解：289x x --=______________．【答案】()()19x x +-【分析】根据二次三项式的特征，采取十字相乘因式分解法直接分解即可．【详解】解：采取十字相乘因式分解法直接分解289x x --，289x x \--()()19x x =+-，故答案为：()()19x x +-．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，根据代数式特征选择恰当的因式分解方法是解决问题的关键．10．因式分解：2412x x --=_______．【答案】(6)(2)x x -+【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【详解】解：因为1262,624-=-´-+=-，且4-是x 的一次项的系数，所以2412(6)(2)--=-+x x x x ，故答案为：(6)(2)x x -+．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．11．观察下列因式分解中的规律：①()()23212x x x x ++=++；②()()271025x x x x ++=++；③()()25623x x x x -+=--；④()()28422x x x x -=+--；利用上述系数特点分解因式26x x +-=__________．【答案】()()32x x +-【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：()()2632x x x x +-=+-，故答案为：()()32x x +-．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：()()2()x a b x ab x a x b +++=++．12．分解因式：x 2﹣7xy ﹣18y 2＝___．【答案】()()92x y x y -+【分析】根据十字相乘法因式分解即可．【详解】x 2﹣7xy ﹣18y 2()()92x y x y =-+，故答案为：()()92x y x y -+．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．三、解答题13．阅读材料：由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x ²+（a +b ）x +ab ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x ²+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ）．示例：分解因式：x 2+5x +6＝x ²+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）． 请用上述方法分解因式：(1)x 2-3x -4；(2)x 2-7x +12．【答案】(1)()()14x x +-(2)()()34x x --【分析】（1）根据-4=1×(−4)，1-4=-3即可分解因式；（2）根据-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式．（1）解：x 2−3x −4=x 2+(1-4)x +1×(−4)=(x +1)(x −4)；（2）解：x 2−7x +12=x 2+(−3−4)x +(−3)×(−4)=(x −3)(x −4)．【点睛】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数．14．阅读理解题：由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x éùéùëû--=++-+´-=+û+ë．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．(1)尝试：分解因式：()()268____________x x x x ++=++；(2)应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【答案】(1)2，4(2)()()23x x --，()()16+-x x 【分析】（1）利用阅读材料的方法解答，即可求解；（2）利用阅读材料的方法解答，即可求解；(1)268x x ++()22424x x =+++´()()24x x =++；故答案为：2，4(2)解：256x x -+()()()()22323x x éùéùëû=+-+-+-´-ëû()()23x x =--；256x x --()()21616x x éùéùëû=++-+-ë´û()()16x x =+-【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，理解阅读材料的因式分解方法是解题的关键．15．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(1)(3)23x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)x x x x ++=++；223(1)(3)x x x x +-=-+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是111=´，常数项3(1)3-=-´，一次项系数2(1)3=-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：223(1)(3)x x x x +-=-+．利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1)2710x x ++=__________；(2)223x x --=__________；(3)2712y y -+=__________；(4)2718x x +-=__________．【答案】(1)()()25x x ++(2)()()31x x -+(3)()()34y y --(4)()()92x x +-【分析】（1）仿照题意求解即可；（2）仿照题意求解即可；（3）仿照题意求解即可；（4）仿照题意求解即可．(1)解：根据题意可知()()271025x x x x ++=++(2)解：根据题意可知()()22331x x x x --=-+(3)解：根据题意可知()()271234y y y y =---+(4)解：根据题意可知()()271892x x x x +-=+-【点睛】本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．16．阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，()()225710x x x x --=-+．反过来，就得到2710x x -+的因式分解形式，即2710(2)(5)x x x x -+=--．把这个多项式的二次项系数1分解为11´，常数项10分解为(2)(5)-´-，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把2-，5-分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数7-（如图1）．像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．例如，将二次三项式243x x +-分解因式，它的“十字”如图2：所以，()()243143x x x x +-=+-．请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：(1)256x x ++= ；(2)2273x x -+= ；(3)()222x m x m +--= ．【答案】(1)（x +2）（x +3）(2)（2x -1）（x -3）(3)（x +2）（x -m ）【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．（1）解：由上图可知：x 2+5x +6=（x +2）（x +3），故答案为：（x +2）（x +3）；（2）解：由上图可知：2x 2-7x +3=（2x -1）（x -3），故答案为：（2x -1）（x -3）；（3）解：由上图可知：x2+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m），故答案为：（x+2）（x-m）．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．17．探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：________；（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3）【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征进行判断即可；（2）将x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案；（3）根据整式乘法计算（x+3）（x+5）的结果即可；（4）将x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案．【详解】解：（1）因为x2+8x+16=（x+4）2，所以x2+8x+15不是完全平方公式，故答案为：不能；（2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5），故答案为：3，5，3，5，3，5；（3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15，∴x2+8x+15=（x+3）（x+5）因此多项式x2+8x+15的因式分解是符合题意的；（4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握x 2+（a +b ）x +ab =（x +a ）（x +b ）的结构特征是正确应用的前提．18．由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ）．示例：分解因式：x 2+5x +6＝x 2+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）．（1）尝试：分解因式：x 2+6x +8＝（x +____）（x +____）；（2）应用：请用上述方法解方程：①x 2﹣3x ﹣4＝0；②x 2﹣7x +12＝0．【答案】（1）2，4；（2）①1x =-或4x =；②3x =或4x =【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）①利用十字相乘法将左边因式分解为()()41x x -´+后求解可得；②利用十字相乘法将左边因式分解()()43x x -´-后求解可得．【详解】解：（1）2268(24)24(2)(4)x x x x x x ++=+++´=++，故答案为：2，4；（2）①2340x x Q --=，2(41)(4)10x x +-++-´=，(4)(1)0x x \-+=，则10x +=或40x -=，解得：1x =-或4x =，②27120x x -+=Q ，2(34)(3)(4)0x x +--+-´-=，(3)(4)0x x \--=，则30x -=或40x -=，解得：3x =或4x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法中的因式分解法．19．阅读材料：解方程22350x x +-=我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式2235x x +-，①竖分二次项与常数项：2x x x =×，()()3557-=-´+．②交叉相乘，验一次项：57x x -+752x x x Þ-=．③横向写出两因式：()()223557x x x x +-=-+．（2）根据乘法原理：若0ab =，则0a =或0b =，则方程22350x x +-=可以这样求解22350x x +-=方程左边因式分解得()()570x x -+=所以原方程的解为15=x ，27x =-．试用上述方法和原理解下列方程：（1）2560x x ++=；（2）2670x x --=．【答案】（1）12x =-，23x =-；（2）11x =-，27x =【分析】（1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可；（2）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可．【详解】解：（1）2560x x ++=，()()230x x ++=，20,30x x +=+=，12x =-，23x =-．（2）2670x x --=，()()170x x +-=，10,70x x +=-=，11x =-，27x =．【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因式．20．阅读下列材料：材料1：将一个形如x 2＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n ，则可以把x 2＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（＋n ）的形式，如x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1解：将“x ＋y ”看成一个整体，令x ＋y ＝A ，则原式＝A 2＋2A ＋1＝（A ＋1）2，再将“A ”还原，得原式＝（x ＋y ＋1）2上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x 2﹣6x ＋8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3【答案】（1）()()42x x --；（2）()()31x y x y -+-+【分析】（1）根据材料1的方法，满足()()()()842,642=-´--=-+-，进而进行因式分解即可；（2）根据材料1的方法，满足313,413=´=+，根据材料2将“x y -” 看成一个整体，进而因式分解即可【详解】（1）()()()()842,642=-´--=-+-Q \x 2﹣6x ＋8()()42x x =--（2）令x y A -=,313,413=´=+Q 则（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3(3)(1)A A =++\（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3=()()31x y x y -+-+【点睛】本题考查了因式分解，运用整体思想是解题的关键．。
八年级数学十字相乘法因式分解
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2－1－1－10=源自1111－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
在分组分解法中，我们学习 了形如 x 2＋(p＋q)x＋pq 的式子 的因式分解问题。 即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
解： 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 =(2x2－3xy－2y2)＋3x＋4y－2
； 脑瘫 小儿脑瘫 脑瘫儿
；
要同生共死。那种勇气与真情足以惊天地、泣鬼神。在死神降临之时，你身边还有那么多的亲人围绕，比起梅表姐离世时的凄凉，你简直就是被上帝偏爱着。你在家庭里的顺从与屈服，不能说明什么。死，也是要和所爱的人留有结晶。为避“血光之灾”下的死亡，你是一个彻底不值得的牺牲品。但 你决不是懦弱的代表，你只是在为自己所爱的人能在家里
十字相乘法课件
第14章 整式的乘法与因式分解
十字相乘法因式分解
观察与思考
( （1） x 2)( x 3) x 3x 2 x 3 2
2
x 2 5x 6
x +2 x +3 +3x+2x
反之
x 2 5 x 6 ( x 2)( x 3)
同样
(5)
b2-b-2 =(b+1)(b-2)
把下列各式分解因式 =(x+1)(x-8) (1) x2-7x-8 (2) m2-3m-10 =(m+2)(m-5) =(y+2)2 (3) y2+4y+4 2-2a-8 (4) a =(a+2)(a-4)
(5)
b2-2b-3 =(b+1)(b-3)
把下列各式分解因式 =(x-1)(x-4) (1) x2-5x+4 (2) m2-5m-6 =(m+1)(m-6) =(y-4)2 (3) y2-8y+16 2+4a-21 (4) a =(a-3)(a+7)
小结: 由多项式乘法法则
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
反过来用就得到一个因式分解的方法
∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
x x
p
q
这个方法也称为十字相乘法
2+mx+n的 即:只要一个形如x
二次三项式的常数项可以分解 成两个有理数相乘,且这两个有 理数的和恰好等于一次项的系 数,这个多项式就能用十字相乘 法分解因式
(a 4)(a 1) a 2 a 4a 4 (1) （2）
12-5 (选学)第4课时 十字相乘法(课件)华东师大版八年级数学上册
9．把下列多项式分解因式：
(1)y2－20y＋99； 解：原式＝(x－9)(x－11)． (2)x2y2－7xy－44； 解：原式＝(xy－11)(xy＋4)． (3)(x＋y)2－5(x＋y) －36； 解：原式＝(x＋y－9)(x＋y＋4)． (4)(a＋b)2－2(a＋b)y －8y2. 解：原式＝(a＋b－4y)(a＋b＋2y)．
第12章 整式的乘除
12．5 因式分解 (*选学)第4课时 十字相乘法
知识点 十字相乘法分解因式 1．十字相乘法：对于二次三项式 x2＋px＋ab，如果 p＝a＋b，用十字表示
为
得到因式分解：x2＋px＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
2．对于二次三项式 mnx2＋px＋ab，如果 p＝mb＋na，用十字表示为 得到因式分解：mnx2＋px＋ab＝(mx＋a)(nx＋b)．
考点 1 二次项系数为 1 的二次三项式因式分解 例 1 把下列多项式分解因式： (1)x2＋3x＋2； (2)x2－5x＋6； (3)x2＋x－2； (4)x2－2xy－15y2. 【答案】解：(1)原式＝(x＋1)(x＋2)． (2)原式＝(x－2)(x－3)． (3)原式＝(x＋2)(x－1)． (4)原式＝(x－5y)(x＋3y)．
思维拓展 13．分解因式：3xy＋y2＋3x－4y－5. (提示：将式子中的 x 看作常数) 解：原式＝y2＋(3x－4)y＋(3x－5) ＝(y＋3x－5)(y＋1)．
11．若 x2＋px＋6 可以分解因式，那么整数 p 的取值是7、－7、5、－5 ．
12．分解因式： (1)(x－7)(x－8)－6； 解：原式＝x2－15x＋56－6 ＝x2－15x＋50 ＝(x－5)(x－10)．
(2)x2(x2＋5)－6； 解：原式＝x4＋5x2－6 ＝(x2＋6)(x2－1) ＝(x2＋6)(x＋1)(x－1)． (3)(a2－2a)(a2－2a－2)－3. 解：原式＝(a2－2a)2－2(a2－2a) －3 ＝(a2－2a－3)(a2－2a＋1) ＝(a－3)(a＋1)(a－1)2.
数学八年级上册十字相乘法
数学八年级上册十字相乘法1十字相乘法顺口溜
1.首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。
竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
2.竖分常数交叉验
（1）竖分二次项和常数项, 即把二次项和常数项的系数竖向写出来,
（2）交叉相乘, 和相加, 即斜向相乘然后相加,得出一次项系数,
（3）检验确定, 检验一次项系数是否正确。
3.横写因式不能乱，即把因式横向写,而不是交叉写, 这里不能搞乱。
2十字相乘法的注意事项
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
（1）用来解决两者之间的比例问题。
（2）得出的比例关系是基数的比例关系。
（3）总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
人教版八年级数学上册《因式分解之十字相乘法》课件
例1．利用十字相乘法分解因式 （1）x2+6x+5；（2）x2－2x－8；（3）－x2－7x+18．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】 方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在 利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一 般把 所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
指点迷津
1．本小章节考试趋势： 本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
因式分解之十字相乘法
课标引路
学习目标
知识梳理
1．十字相乘法的概念：
利用十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法， 即对二次三项式x2+bx+c若存在p+q=b，p•q=c，则有： x2+bx+c =(x+p)(x+q) 2．十字相乘法的解题技巧与注意事项：
十字相乘法教学设计(多篇)
十字相乘法教学设计（多篇）篇：十字相乘法设计因式分解——十字相乘法东莞市可园中学教材与学情分析本课时属数学教材八年级上学期《分解因式》的补充内容，依据一是这一内容在九年级解一元二次方程中有很大的应用价值，二是学生的掌握难度并不大，增补此内容并不会增加学生负担，三是学习此内容可开阔学生视野，锻炼学生的思维，所以，我们也安排了课时讲解此内容。
教学目标：1、会用十字相乘法进行二次三项式（x2px q）的因式分解；2、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，在尝试中提高学生的观察能力和逆向思维能力。
教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（x2px q）的因式分解。
b，a b q。
教学难点：在x2px q分解因式时，准确地找出a、使ab p，教学过程：一、复习引入分解因式：把一个多项式分解成几个整式的_______的形式。
已学的因式分解方法有_______________和______________.思考：你知道x25x6怎样分解因式吗？二、探究(x2)(x3) = ____；(x2)(x4)= _。
填空：（1）（2）(x3)(x4)= ___；(x a)(x b)= _。
（3）（4）根据上面结果，你会对下列二次三项式进行因式分解？请试一下。
它们有什么共同的特点？(1)x25x 6 =____________ , (2) x22x8=_______________。
(3)x27x12 =____________ , (4)x2(a b)x ab =_______________。
共同特点：①二次项系数是_____；②常数项是两个数之_______；③一次项系数是常数项的两个因数之_______。
例题讲解例1.因式分解x25x 6十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
练习1 .因式分解（1）x27x 6 （2）x25x 6例2.因式分解x22x8练习2.因式分解（1）x22x8 （2）x27x8四、巩固练习练习3.因式分解（1）x27x10 （2）x27x10（3）x29x10 （4）x23x10练习4.若x2mx n(x4)(x9)，则m=______，n=________.五、拓展提升出题比赛练习5.在横线上填一个整数，然后因式分解（1）x2____x15 （2）x2____x 15练习6.若x2ax6在整数范围内可以因式分解，则a的值可能是_____________.六、小结七、教学反思在读书的时候学到十字相乘法时，曾经心里有这样一个疑惑，是不是所有的二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解呢？这留作我们今天这节课的第三个思考题。
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
八年级上册数学课件分解因式——十字相乘法
例2 分解因式
3x
－1
3x2 10x 3 x
－3
=(3x－1)(x－3)
－9x－x=－10x
例3 分解因式
5x
+3
5x2 17x 12 x
－4
=(5x+3)(x－4)
－20x+3x=－17x
练习：将下列各式分解因式 1、 7x2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y2－4y＋12 答案(y＋6)(2－y)
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
由整式的乘法法则可推导出： (x+p)(x+q) =x2+px+qx+pq = x2+(p+q)x+pq
因式分解是与整式乘法方向相 反的变形，利用这种关系可得： x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
实际在使用此公式时，需要把一次项系数和 常数项进行拆分，在试算时，会带来一些困难。
3、 15x2＋7xy－4y2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
6、 (x － y)2+(x － y) － 6
答案(x-y+3)(x-y-2)
下面介绍的方法，正好解决了这个困难。
x2 + (p+q)x + pq =(x+p)(x+q)
x
p
x
q
px+qx=(p+q)x
十字相乘法：
因式分解---《十字相乘法》教学PPT课件 初中数学八年级下册公开课
6.挑战自我
(x y)2 10(x y) 9
解( x原 式y)
(x y)
(x
y
1)(x--19y
9)
x4 10x2 9
解 原式 (x2 1)( x2 9)
(x 1)(x 1)(x 3)(x 3)
四、课堂练习
n -14
1. 因式分解
n2 4n 140
义务教育教科书北师大版八年级数学下册
第四章 因式分解
4.十字相乘法
一、前情回顾
因式分解: 把一个多项式化 为几个整式的乘积的形式。 这种变形也叫分解因式。
分解因式的常见方字相乘法是指什么？ 2.今天所学能用十字相乘法 的多项式有什么特征？ 3.你能否快速的运用十字相 乘法进行因式分解？
(n+9)(n+8)=n²+17n+72 . 4y²-3y-70= (y-10)(y+7)
x²-5x+(-84)=(x+7)(x-12)
x²y²+(-4xy)-60 = (xy-10)(xy+ 6 )
3.观察与探究
(x a)(x b) x2 bx ax ab
即：十字 x2 (a b)x ab 交叉线左边 相乘等于二 次项, 右边 相乘等于常数项,交叉相乘再 相加等于一次项。
三、合作交流，探究新知
(a 3)(a 5) a2 8a 15 (x 3)(x 2) x2 x 6
(m 7)(m 8) m2 15m 56
通过计算,请思考：
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
2.快速写出答案
4.试一试
人教版八年级数学--十字相乘法
竖分首末交叉验，
横写因式不能乱。
巩固3
a2-17ab+72b2
课堂小结
十字相乘法：借助十字交叉线分解因式的方法 竖分首末交叉验， 横写因式不能乱。 因式分解 方法小结： 提公因式 公式法 十字相乘法
随堂练习 因式分解：
（1） (a+b)2 – (a+b) – 20 （2）(x2+2x)2–7(x2+2x)–8 （3） 5x5–15x3y–20xy2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8x+15 = (x-3) (x-5)
-3
(x-3)
巩固1 因式分解：
竖分首末交叉验，
(1) y2–7y–30 (2) a2-6a+9 (3) –t2+4t–3
横写因式不能乱。
x2 + (p+q)x + pq =( x + p )( x + q ) 例2 因式分解：
(1) (
2+5 ( 2 ) y
横写因式不能乱。
（3） 2x2+13x+15
竖分首末交叉验， 横写因式不能乱。
2 y )+6
y4+5y2+6
(2) (
2- 5 ( ) a+b a+b )+6
巩固2 因式分解：
竖分首末交叉验，
(1) (a-b)2 + 2(a-b) – 15
横写因式不能乱。
(2) x4 – 20x2 + 91
(3) m2 x2 – 2mx -35
x2 + (p+q)x + pq =( x + p )( x + q )
十字相乘法 教案 2023--2024学年人教版八年级数学上册
14．3因式分解14.3.3 十字相乘法教学内容14.3.3 十字相乘法课时1核心素养目标1.会用数学的眼光观察现实世界：十字相乘法要求学生在已有的方法上，培养学生的观察能力和理解运用的能力.2.会用数学的思维思考现实世界：在对十字相乘法因式分解的探究中，深入学习整式的乘法与因式分解的关系，培养逆向思维能力.3.会用数学的语言表示现实世界：通过对运用十字相乘法进行因式分解的探究学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，培养类比归纳的能力逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.知识目标1.理解并掌握十字相乘法的特征和使用十字相乘法因式分解的条件.2.能正确使用十字相乘法进行因式分解.教学重点理解并掌握十字相乘法的特征和使用十字相乘法因式分解的条件.教学难点正确使用十字相乘法进行因式分解.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、回顾导入二、探究新知一、旧知回顾，导入新知1.因式分解和整式乘法的关系是？师生活动：教师引导学生分析因式分解和整式乘法的关系：得出：两者是方向相反的变形.2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？师生活动：教师引导学生回忆与总结：二、小组合作，探究概念和性质知识点：十字相乘法因式分解合作探究探究：1.计算：(1) ( x + 2 )( x + 3 ) = ___________；(2) ( x- 4 )( x + 1 ) =____________；(3) ( x + 4 )( x- 2 ) =____________；设计意图：通过问题串的形式，引导学生独立思考，实现从整数到整式的过渡，培养类比数的性质学习整式的学习方法.设计意图：用计算结果的直观展示，让学生感悟出多项式的乘法中有着特殊计算结果的算式，培养学生的观察总结的能力.2. 根据题1 和等式的性质填空：(1) x2 + 5x + 6 = ______________ ；(2) x2- 3x- 4 =_______________；(3) x2 + 2x- 8 =_______________；师生活动：学生独立完成填空，在教师的引导下发现并总结运算规律.观察因式分解算结果，你能发现什么规律？师生活动：学生独立完成填空，在教师的引导下发现运算规律并提出猜想. 教师完成总结：十字相乘法求因式分解：运算法则：x2 + (p + q)x + p q = (x + p)(x + q)条件：1. 多项式为二次三项式；2. 多项式常数项可分解成两个因式，且两个因式的和等于一次项系数.典例精析例1 分解因式：x2−5x + 6 .师生活动：学生根据十字相乘法的条件特点，尝试进行运算，选一名学生板书，教师在旁整理分析，总结计算方法.练一练1. 把下列多项式因式分解：(1) x2- 6x + 8；(2) x2 + 4x- 5 .师生活动：学生独立完成运算，选一名学生板书，教师与其余学生共同评价与完善板书.设计意图：用计算结果的直观展示，让学生观察总结能够用十字相乘法进行因式分解的多项式的特征.设计意图：锻炼运用提公因式法进行因式分解的能力，规范正确的解题步骤.设计意图：锻炼运用提公因式法进行因式分解的能力，培养学生建立几何与数式之间的联系.三、当堂练习，巩固所学三、当堂练习，巩固所学1.下列因式分解正确的是( )A．x3－4x = x(x2－4)B．x2－x－2 = (x + 1)(x－2)C．x2 + 2x－1 = (x－1)2D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 12.把多项式x2 + m x－5因式分解成(x + 5)(x－n)，则m的值为( ).A．m = 4 B．m = 3 C．m = 6 D．m = 53.因式分解：(1) 2x2 + 6xy + 4y2；(2) -3a2 + 18a- 24.4. 已知整式A = x(x＋3)＋5，整式B = ax－1.(1) 若A＋B＝(x－2)2，求a的值；(2) 若A－B可以分解为(x－2)(x－3)，求a的值.设计意图：考查学生因式分解的概念的掌握.设计意图：考查学生运用十字相乘法进行因式分解的理解和运用.设计意图：检验学生运用十字相乘法进行因式分解的理解和运用的掌握情况.板书设计14.3.3 十字相乘法运算法则：x2 + (p + q)x + p q = (x + p)(x + q)条件：1. 多项式为二次三项式；2. 多项式常数项可分解成两个因式，且两个因式的和等于一次项系数.课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
因式分解(4)——十字相乘法人教版八年级数学上册
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
（3）a2-6a-16；
（a-8）（a+2）
（4）x2+7x+12.
（x+3）（x+4）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
9. 分解因式：
（1）x2+5x+6；
（x+2）（x+3）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
13. 分解因式：
（1）2x2-7x+3；
（2x-1）（x-3）
（2）x3-7x2-30x.
x（x+3）（x-10）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
三级拓展延伸练
14. 分解因式：
7. 分解因式：
（1）3x2-4x+1；
（x-1）（3x-1）
（2）2x2-5x-3；
（2x+1）（x-3）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
（3）4a2-16ab+15b2；
（2a-3b）（2a-5b）
（4）x2-5xy-6y2.
方法：首尾分解，交叉相乘再相加要等于中间 项，成功之后横着写. 如：
2. （例 1）分解因式：
（1）x2+7x+10；
（x+2）（x+5）
（2）x2-8x+12.
（x-6）（x-2）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
八年级数学十字相乘法
八年级数学十字相乘法《八年级数学十字相乘法：神奇的数学魔法》嘿，你知道吗？在八年级的数学世界里，有一个超级厉害的方法，就像一把神奇的钥匙，能轻松打开好多数学难题的大门，这个方法就是十字相乘法。
我记得第一次在课堂上听到老师讲十字相乘法的时候，我简直是一头雾水。
老师在黑板上写了一个二次三项式，然后就开始画十字，嘴里还念念有词。
我当时就想，这是啥呀？就像看魔术表演一样，完全不知道魔术师是怎么把东西变没又变出来的。
同桌呢，也是皱着眉头，看来他也和我一样迷糊。
老师看我们一个个茫然的样子，就笑着说：“同学们，这个十字相乘法呀，就像给二次三项式找朋友呢。
”我心里就纳闷了，找朋友？数学式子怎么找朋友呢？老师接着讲，比如说对于二次三项式ax²+bx + c（a≠0），我们要把a分解成两个因数，把c也分解成两个因数，然后像搭十字桥一样把它们组合起来。
这就好比我们要给小动物们找合适的家一样，得找到最匹配的组合。
我回到家，就开始对着作业里的题目发愁。
我看着那一道道二次三项式的题目，就像看着一群调皮捣蛋的小怪兽，不知道该怎么制服它们。
这时候爸爸过来了，我就像看到救星一样。
我对爸爸说：“爸爸，这个十字相乘法好难啊，我完全搞不懂。
”爸爸看了看题目，然后拿起笔，在纸上写了一个例子，x²+5x+6。
爸爸说：“你看，对于这个式子，a = 1可以写成1×1，c = 6可以写成2×3，然后我们这样画十字。
”爸爸边说边画，我突然就好像有点明白了。
我兴奋地说：“那是不是就像把合适的积木搭在一起呀？”爸爸笑着说：“对呀，你很聪明嘛。
”后来在学校里，我和同学们讨论十字相乘法。
有个同学说：“我总是分不清该怎么分解因数呢。
”另一个同学就说：“我觉得就像玩拼图一样，要不断尝试不同的组合，直到找到最合适的那一个。
”我们都觉得这个比喻很形象呢。
再比如说二次三项式2x² - 7x+3。
对于2x²，我们可以把2分解成2和1，对于3呢，可以分解成- 1和- 3或者1和3。
八年级下册十字相乘法
八年级下册十字相乘法八年级下册十字相乘法十字相乘法是数学中一种常用的乘法计算方法，它可以帮助我们更快速、准确地进行乘法运算。
在八年级下册的数学学习中，我们将学习和掌握这一方法，以便在解决实际问题时能够灵活运用。
本文将详细介绍十字相乘法的步骤和应用。
一、十字相乘法的步骤十字相乘法主要适用于两个多位数的乘法运算。
下面以一个例子来说明具体的步骤：假设我们要计算 345 × 27。
1. 首先，将被乘数和乘数的个位数分别写在十字相乘法的左上角和右下角，即：3 4 5× 2 72. 接下来，将被乘数的个位数与乘数的十位数相乘，将结果写在十字相乘法的右上角，即：3 4 5× 2 76 93. 然后，将被乘数的十位数与乘数的个位数相乘，将结果写在十字相乘法的左下角，即：3 4 5× 2 75 4 06 94. 最后，将被乘数的十位数与乘数的十位数相乘，将结果写在十字相乘法的中间，即：3 4 5× 2 75 4 06 9 05. 将十字相乘法中的四个部分相加，即：3 4 5× 2 75 4 06 9 0+ 2 4 6 5--------------9 3 1 5所以，345 × 27 = 9315。
通过以上步骤，我们可以清晰地进行多位数的乘法运算，避免了繁琐的竖式计算，提高了计算效率。
二、十字相乘法的应用十字相乘法不仅可以用于两个多位数的乘法运算，还可以应用于解决实际问题。
下面以一个实际问题为例，来说明十字相乘法的应用：某商店每天卖出的苹果数量为 345，每个苹果的价格为 27 元。
请计算该商店每天卖出苹果的总收入。
我们可以使用十字相乘法来解决这个问题：3 4 5× 2 75 4 06 9 0+ 2 4 6 5--------------9 3 1 5根据计算结果，该商店每天卖出苹果的总收入为 9315 元。
通过这个例子，我们可以看到十字相乘法在解决实际问题时的便利性和高效性。
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常数项 一次项系数 十字交叉线
(+1)＋(+2)＝+3
∴
x x
1 2
解：原式 ( x 1)(x 2)
利用十字交叉线来分解系 数，把二次三项式分解因 式的方法叫做十字相乘法。
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x (a b) x ab ( x a)(x b)
2
例1： 分解因式:
(x+3)(x+1) x2+4x+3=＿＿＿＿＿＿＿
x x 3 1
(x-3)(x+1) x2-2x-3=＿＿＿＿＿＿＿＿
x x -3
1
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(4)x2-11x-12
(5)x2+13x+12
(6)x2-x-12
对于x2+px+q
同号 相同 （1）当q＞0时，a、b﹍﹍，且 a、b的符号与p的符号﹍﹍。
知识回顾
１．举例说明因式分解与整式乘法的关系
２.我们已经学习了哪些因式分解的方法？ 提公因式法: ma+mb+mc=m(a+b+c) 运用公式法: a2-b2=(a+b)(a-b) a2 ±2ab+b2=(a ±b)2
３.把下列各式因式分解：
(2) (y2 + x2 )2 - 4x2y2
(6) 2ax2+6ax+4a
(2) (y2 + x2 )2 - 4x2y2 =(y2 + x2 +2xy) (y2 + x2 -2xy) =(x+y)2(x-y)2
(6) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2) =2a(x+1)(x+2)
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
2 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进 我 行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项. 3.符号规律： 当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
异号 a、b中绝对值较大的因数 （2）当q＜0时，a、b﹍﹍，且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍与p的符号相同。
例２：试将x2
6 x 16
2
分解因式
解： x 6x 16
x 6x 16
2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
一个二次三项式
反过来，得
2 x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
因式分解
两个一次二项式相乘的积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数 q能分解成两个因数a、b的积，而且一次 项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可 以进行如上的因式分解。
试一试：把x2+3x+2分解因式