第四章 多重共线性和虚拟变量的应用

... 如果存在一组不完全为零的常数 λ 1、 λ 2、 λ n ，满 足 λ 1X1+λ 2X2+...+λ nXn=0，即任一变量都可以由其 它变量的线性组合推出，则这组变量满足完全多重共 线性。
若变量组 X 1、 X2、...Xn 满足如下关系 式：λ 1X1+λ 2X2+...+λ nXn+u=0 ，其中u表示随机误差 项，即某一变量不仅取决于其它变量的线性组合，也 取决于随机误差项，此时变量组之间存在非严格但近 似的线性关系，解释变量之间高度相关，也即变量组 存在近似多重共线性关系。
检验多重共线性问题是否严重
若回归模型的 R 2 值高（如 R 2>0.8）,或F检验值显著， 但单个解释变量系数估计值却不显著；或从金融理论 知某个解释变量对因变量有重要影响，但其估计值却 不显著，则可以认为存在严重的多重共线性问题。 若两个解释变量之间的相关系数高，比如说大于0.8， 则可以认为存在严重的多重共线性。
(p it-p i,t-1 ) p it p it= = log( ) = log(p it)-log(p i,t-1 ) p i,t-1 p i,t-1
•
3、以比率代替高度相关的变量。若模型中存在高度 相关的变量，在不违反金融理论的前提下，可以求得 两者之间的比率，并以此比率代替相应变量出现在模 型中。例如对于模型 Y t= α 0+ α 1X 1t+ α 2X 2t+ α 3X 3t+ut ， 若 X2t与 X3t之间高度相关，且模型的目的是用于预测， X2t 则可令 ，则 。 Yt=β 0+β 1X1t+β 2Rt+vt R t= X3t 此外，当模型中有较多解释变量的滞后值，并存在严 重多重共线性时，可以考虑用被解释变量的滞后值代 替解释变量的滞后值；以人均形式的变量代替总体变 量在某些状况下也可以在一定程度上降低多重共线性 的程度。
多重共线性产生的原因
多重共线性问题在金融数据中是普遍存在的，不仅存 在于时间序列数据中，也存在于横截面数据中。具体 而言，多重共线性产生的原因主要有以下几点： （1）数据收集及计算方法。 （2）模型或从中取样的总体受到限制。 （3）模型设定偏误。 此外，在观测值个数较少，以至于小于解释变量个数 时，也会产生多重共线性；时间序列数据中，若同时 使用解释变量的当期值和滞后值，由于当期值和滞后 值之间往往高度相关，也容易产生多重共线性。
判断多重共线性的存在范围
要确定多重共线性是由哪些主要变量引起的，可以采 用辅助回归法（auxiliary regression method）。所 谓辅助回归是指某一解释变量对其余解释变量的回归， 区别于因变量对所有解释变量回归的主回归（main regression）。 辅助回归法构造的检验统计量定义如下：
一.删除不必要的变量。 如果在产生多重共线性的因素中有相对不重要的变量， 则可试着将其删除，这是解决多重共线性最简单的方 法，但删除变量也可能会导致新问题的产生： 1、被删除变量对因变量的影响将被其它解释变量和 随机误差项所吸收，这可能一方面解决了一部分变量 的多重共线性问题，但另一方面却又同时增强了另一 部分变量的多重共线性问题，而且，还可能使随机误 差项的自相关程度增强。 2、删除某个变量可能会导致模型设定误差 （specification error）。所谓模型设定误差，指的是 在建立回归模型的过程中，因为错误设定模型结构而 产生的误差。错误的删除解释变量将会导致最小二乘 估计值是有偏的。
利用普通最小二乘法回归方程，得到如下的结果：
logY t=619.88 − 0.062X 1t+0.006X 2t+0.053X 3t+0.078logX 4t+0.067logX 5t-0.357logX 6t
+0.061logX 7t-0.001logX 8t-72.596X 9t-0.789logX 10t-0.186即不能求得参数估计值。
而对于参数估计值的方差，有
σ v 2 ∑ x2i 2 ˆ var( β1 ) = = 2 =∞ 2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ x1i ∑ x2i − (∑ x1i x2i ) λ (∑ x 2i ) − λ (∑ x 2i )
ˆ 同理，β 2的方差也是无限大的。因此，当存在完全多 重共线性时，我们将不能求得参数估计值，参数估计 值的方差无限大。 当存在近似多重共线性时，尽管可以求得参数估计值， 但它们是不稳定的，同时参数估计值的方差将变大， 变大的程度取决于多重共线性的严重程度。
去掉不显著的变量，对模型重新回归得到：
logY t=739.37 − 0.055X 1t+0.05X 3t-0.257 logX 6t+0.056 logX 7t-86.951X 9t-0.91 logX 10t
在10%的显著性水平下，变量系数估计值的t值都是 显著的，模型的 R 2 =0.78，R 2 =0.75，总体上看模 型是不错的。尽管估计值的t值是显著的，我们仍来 检验该模型解释变量之间是否存在多重共线性，因为 若两个变量之间存在高度相关并且符号相反，他们的 作用就会相互抵消，从而有可能两个变量都是显著的。 首先，根据 2和t值，我们无法发现多重共线性，因 R 此我们将利用变量之间的相关系数来判断。
第四章 多重共线性和虚拟变量的应用
多重共线性的概念
多重共线性（multicollinearity）一词最早由挪威经济 学家弗瑞希（R.Frisch）于1934年提出。 其原义是 指回归模型中的一些或全部解释变量中存在的一种完 全(perfect)或准确(exact)的线性关系。而现在所说的 多重共线性，除指上述提到的完全多重共线性 （perfect multicollinearity）,也包括近似多重共线性 （near multicollinearity）.为对上述两概念加以区别， 我们以一组解释变量 为例： X 1、 X2、...X n
σ v 2 ∑ x2i 2
在实际金融数据中，完全多重共线性只是一种极端 情况，各种解释变量之间存在的往往是近似多重共 线性，因此通常所说多重共线性造成的后果是指近 似多重共线性造成的后果，具体而言，它将造成如 下的后果： 1.回归方程参数估计值将变得不精确，因为较大的 方差将会导致置信区间变宽。 2.由于参数估计值的标准差变大，t值将缩小，使得t 检验有可能得出错误的结论 。 3.将无法区分单个变量对被解释变量的影响作用。
∑ yi x1i ∑ x2i 2 − ∑ x1i x2i ∑ yi x2i λ ∑ yi x2i ∑ x2i 2 − λ ∑ yi x2i ∑ x2i 2 0 ˆ = = β1 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 λ (∑ x 2i ) − λ (∑ x 2i ) ∑ x1i ∑ x2i − (∑ x1i x2i ) 0
多重共线性的后果
多重共线性不会改变最小二乘估计的无偏性，但在解 释变量之间存在严重的多重共线性而被忽略时，会对 模型的估计、检验与预测产生严重的不良后果。以某 一离差形式（即 xt = Xt − X ）表示的二元线性回归模 型完全共线性 yi = β1 x1i + β 2 x2 i + vi 为例 : 假设存在关系 x1i = λ x2i ，常数 λ ≠ 0 。则 β1 的估计
Ri 2 /(k − 1) Fi= ，服从自由度为k-1与n-k的F分布。 2 (1 − Ri ) /(n − k)
其中 Ri 2（i=1,2,…k）为第i个解释变量 X i 关于其余解 释变量的辅助回归的拟和优度，k为解释变量的个数， n代表样本容量。
检验多重共线性的表现形式
当确定多重共线性是由哪些主要变量引起后，若要找 出与主要变量有共线性的解释变量，即确定多重共线 性的表现形式，可采用偏相关系数法。解释变量与的 偏相关系数即是在其它的解释变量固定的情况下它们 之间的相关系数。 偏相关系数法构造的检验统计量定义如下： ρ ij ，服从自由度为T-p-1的t分布。 ti = n − k − 1
在对数据调整后，我们建立如下的模型：
logY t= α 0 + α 1X 1t+ α 2X 2t+ α 3 X 3t+ α 4 logX 4t+ α 5 logX 5t+ α 6 logX 6t+ α 7logX 7t
+ α 8 logX 8t + α 9 X 9t + α 10 logX 10t + α 11 logX 11t + u t
二、改变解释变量的形式。 1、差分法。对于时间序列数据而言，若原始变量存 在严重的多重共线性，则可以考虑对变量取差分形式， 可在一定程度上降低多重共线性的程度。例如对于模 Y t= α 0+ α 1X 1t+ α 2X 2t+u t 型 ，可把变量变换为参数 形式： 。 ∆Yt=α 0+α 1∆X1t+α 2∆X2t+∆ut 2、指数增长率方法。例如研究三种指数 p1、p2、p3 • • • 关系时，可用如下模型：p 1t=β 1+β 2 p 2t+β 3 p 3t+vt
ρ 其中n为样本容量，k为解释变量的个数， ij 为 Xi与 Xj 的偏相关系数。若 ti 显著不为零，则认为Xi 、Xj 是引
起多重共线性的原因，否则不是。
1 − ρ ij2
多重共线性的修正
如前所述，多重共线性在金融数据中是普遍存在的， 是否对多重共线性采取修正措施取决于多重共线性的 严重程度。若多重共线性程度较轻微，并不严重影响 系数估计值（符号正确，t值显著），则可以忽略多 重共线性问题。若多重共线性对重要因素的系数估计 值有严重的影响，则必须进行补救。而采取何种补救 措施，则取决于多重共线性因素的重要性、其它数据 来源的可用性、所估计模型的目的以及其它需要考虑 的事项。以下将介绍几种补救措施。