第四章 多重共线性
4.1 多重共线性(计量经济学)
放宽基本假定的模型
说明
• 经典多元线性模型在满足若干基本假定的条件下， 应用普通最小二乘法得到了无偏、有效且一致的 参数估计量。
• 在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本 假定的情况并不多见。不满足基本假定的情况， 称为基本假定违背。
• 对截面数据模型来说，违背基本假定的情形主要 包括：
•逐步回归法（Stepwise forward Regression）
– 以Y为被解释变量，逐个引入解释变量，构成回归 模型，进行模型估计。
– 根据拟合优度的变化决定新引入的变量是否独立。 • 如果拟合优度变化显著，则说明新引入的变量是 一个独立解释变量；
• 如果拟合优度变化很不显著，则说明新引入的变 量与其它变量之间存在共线性关系。
§4.1 多重共线性 Multicollinearity
一、多重共线性 二、实际经济问题中的多重共线性 三、多重共线性的后果 四、多重共线性的检验 五、克服多重共线性的方法 六、案例
一、多重共线性的概念
1、多重共线性
Yi 0 1Xi1 2 Xi2 k Xik i i 1, 2, , n
实际上：正态性假设的违背
• 李子奈（2011）：计量经济学模型方法论 – 当存在模型关系误差时，如果解释变量是随机的，随 机误差项的正态性将得不到保证。 – 当模型遗漏了显著的变量，如果遗漏的变量是非正态 的随机变量，随机误差项将不具有正态性。 – 如果待估计的模型是原模型经过函数变换得到的，随 机误差项将不再服从正态分布。 – 当模型存在被解释变量的观测误差，如果观测误差相 对于随机误差项的标准差特别大、样本长度又特别小， 随机误差项的正态性假设会导致显著性水平产生一定 程度的扭曲。 – 当模型存在解释变量观测误差时，一般情况下，随机 误差项的正态性假设都是不能成立的；只有在回归函 数是线性的，且观测误差分布是正态的特殊情形下， 随机误差项的正态性才成立。
第四章 多重共线性
2
( x2 i x3 i ) 2 x [1 2 x3 i
2 2i
2
2 2 x2 i (1 r23 )
ˆ Var( 3 ) 同样可得
2
2 2 x3 i (1 r23 )
ˆ ˆ Cov( 2 , 3 )
r23 2
2 2 2 (1 r23 ) x2 i x3 i
1 X X 21 X 31
1 X 22 X 32
1 X 2n X 3n
nX 3 X 2 i X 3 i 2 X 3 i
X 2 i
2 X 2 i X 2 i X 3 i
X 3 i n nX 2 2 X 2 i X 3 i nX 2 X 2 i 2 X 3 i nX 3 X 2 i X 3 i
其中vi为随机变量，则称解释变量X2、X3、 …、 Xk 之间存在着不完全的多重共线性。 注意：解释变量之间不存在线性关系，并非不存在 非线性关系，当解释变量之间存在非线性关 系时，并不违反古典假定。
5
二、产生多重共线性的背景
多重共线性产生的经济背景主要有几种情形：
1.经济变量之间具有相同的变化趋势。
10
n X X nX 2 nX 3 n 0
nX 2 X
2 2i
nX 3 X 2 i X 3 i
2 X 3 i
X 2 i X 3 i nX 2
2 2 X 2 i nX 2
X 2 i x2 i X 2 X 3 i x3 i X 3
nX 3
X 2 i X 3 i nX 2 X 3
这里r23是X2，X3的相关系数。
16
计量经济学第四章多重共线性
R-squared
0.989654
Adjusted R-squared 0.986955 S.E. of regression 1437.448 Sum squared resid 47523916 Log likelihood -256.7013 Durbin-Watson stat 1.654140
4
（二）不完全的多重共线性
实际中，常见的情形是解释变量之间存在不 完全的多重共线性。
对于解释变量 X 2 , X 3, X k，存在不全为0的数
1
,
2
,
，使得
k
1 2X2 3X3 ...k Xk u 0
5
（三）解释变量的关系小节
可能表现为三种情形： r为相关系数 (1) rxixj 0 ，解释变量间毫无线性关系。这时多元
Var(ˆ2 )
9
二、不完全多重共线性产生的后果
1、参数估计值的方差增大
Var( βˆ 2 ) = σ 2
1 x22i (1-
r223 )
=
σ2
1
x22i (1 - r223 )
当 r23增大时,
^
Var( 2)
也增大
10
方差膨胀因子 (Variance Inflation Factor)
17 17
2、交叉相关系数（Cross correlation）
相关系数计算的是两组样本的同期相关程 度，交叉相关则可以表示不同期之间的相关 程度。
Eviews操作： Group窗口的view/cross correlation/输入 滞后期设定/ 输出结果阅读：看是否超出2倍标准差线
18
2倍 标准 差线
1、参数估计值有很大的偶然性。 2、参数显著性检验未通过。 3、经济意义检验未通过。 4、相关系数大。
第四章多重共线性
2
x2j VIFj
注意：R2j 是多个解释变量辅助回归的多重可决系数，
而相关系数 r223只是说明两个变量的线性关系 。
（一元回归中可决系数的数值等于相关系数的平方）
17
方差扩大因子的作用
由
R2j 越大
VIFJ 1 (1 R2j ) 多重共线性越严重
VIFj越大
VIFj的大小可以反映解释变量之间存在多重共线性的严重
1 x22i (1
r223 )
2
x22i
1 (1 r223)
2
x22i
VIF2
当 r23 增大时，VIF2 增大， Var(ˆ2 ) 也会增大 ，
思考: 当 r23 0 时 Var(ˆ2) 2
x22i
(与一元回归比较)
当 r23 1 时 Var(ˆ2 )
（见前页结论） 8
三、当多重共线性严重时，甚至可能使估计
在总体中部分或全部解释变量可能没有线性关系，但是 在具体获得的样本中仍可能有共线性关系，因此多重共线 性问题本质上是一种样本现象。
正因为如此，我们无法对多重共线性问题进行统计假设 检验，只能设法评价解释变量之间多重共线性的严重程度。
5
第二节 多重共线性产生的后果
从参数估计看，在完全无多重共线性时，各解释变量都独
Kt
Kt
ln Qt ln A ln Lt ln Kt ln u
（ln Lt 与 ln Kt 有多重共线性） ln Qt ln A ln Lt ln u
Kt
Kt 22
三、截面数据与时间序列数据的结合
有时在时间序列数据中多重共线性严重的变量，在截 面数据中不一定有严重的共线性
假定前提：截面数据估计出的参数在时间序列中变化不大
多重共线性
第四章 多重共线性第一节 什么是多重共线性一、多重共线性的含义所谓多重共线性，不仅包括解释变量之间完全（精确）的线性关系，还包括解释变量之间近似的线性关系。
对于解释变量23,,,k X X X ，如果存在不全为零的数123,,,,k λλλλ ，能使得12233i i k ki X X X λλλλ++++ =0 ，（i =1,2,,n ）——即解释变量的数据矩阵的列向量组线性相关。
则称解释变量23,,,k X X X 之间存在着完全的线性关系。
用数据表示，解释变量的数据矩阵为X =213112232223111k k nnkn X X X XX X X X X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦当()r X <k 时，也说明解释变量23,,,k X X X 之间存在着完全的线性关系。
当存在完全共线性时，至少有一个变量（列向量）可以用其余的变量（列向量）线性表出。
在实际问题中，完全的共线性并不多见。
常见的情形是解释变量23,,,k X X X 之间存在不完全的共线性，这是指存在不全为零是数123,,,,k λλλλ ，使得12233λλλλ+++++ i i k ki i X X X v =0（i =1,2,,n ）其中i v 是随机变量。
这表明此时解释变量之间只是一种近似的线性关系。
二、产生多重共线性的背景1.经济变量之间具有共同的变化趋势2.模型中包含滞后变量3.利用截面数据建立模型也可能出现共线性4. 样本数据自身的原因第二节 多重共线性产生的后果完全共线性时，矩阵X X '不可逆，参数估计式ˆβ=1()X X X Y -''不存在，OLS 无法应用。
不完全的共线性时，1()X X -'也存在，可以得到参数的估计值，但是对计量经济分析可能会产生一系列影响。
一、参数估计量的无偏性依然成立不完全共线性时ˆ()E β=1()E X X X Y -''⎡⎤⎣⎦=1()()E X X X X U β-''⎡⎤+⎣⎦=β+()1()X X X E U -''=β二、参数OLS 估计值方差扩大 如二元回归模型i Y =12233i i i X X u βββ+++中的2X 与3X 为不完全的共线性时，2X 与3X 之间的相关系数23r 可由下式给出223r=2232223()x x x x∑∑∑容易证明2ˆ()Var β=222223(1)i x r σ-∑3ˆ()Var β=222323(1)ixr σ-∑随着共线性的程度增加，23r 的绝对值趋于1，两个参数估计量的方差也增大。
第四章第二节 多重共线性产生的后果
Y E(Y ) 1 2 X2 3 X3
二元线性回归模型 Y 1 2 X 2 3 X3 u
其离差形式为： y 2 x2 3x3 u
y 2 x2 3 x3 e
2和 3 的估计式
ˆ2 (
yx2 )( x32 ) ( yx3 )( x2 x3 ) ( x22 )( x32 ) ( x2 x3 )2
x31x32 x3n xk1xk 2xkn (k1)n
y x e, xy xx xe xx ,即为正规方程组
x21x22 x2n y1 x31x32 x3n y2 xk1xk2 xkn yn
r24 0.9632 r35 0.8435 r46 0.9248
r25 0.4569 r36 0.5494 r56 0.5438
r26 0.8569
表明一些解释变量之间确实存在共线性。
***离差形式的最小二乘估计量
多元线性总体回归模型有：
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui Y 1 2 X2 3 X3 k Xk Yi Y 2 ( X 2i X 2 ) 3 ( X 3i X 3 ) k ( X ki X k ) ui yi 2 x2i 3 x3i k xki ui
x22 )2
x22 )
(
yx2
) 2 ( y)( ( x22 )( 2 )
x22 )
通过上式可以看出，随着 X2、X3 共线性程度的越
高，即 愈向零靠近，从而 ˆ2 就会愈趋向于不确定
计量经济学(第四章多重共线性)
06
总结与展望
研究结论总结
多重共线性现象普遍存在于经济数据中，对计量 经济学模型的估计和解释产生了重要影响。
通过使用多种诊断方法，如相关系数矩阵、方差膨 胀因子（VIF）和条件指数（CI），可以有效地识别 多重共线性问题。
在存在多重共线性的情况下，普通最小二乘法 （OLS）估计量虽然仍然是无偏的，但其方差可能 变得很大，导致估计结果不稳定。
主成分分析法的优点
可以消除多重共线性的影响，同 时降低自变量的维度，简化模型。
岭回归法
岭回归法的基本思想
通过在损失函数中加入L2正则化项（即所有自变量的平方和），使得回归系数的估计更加稳定， 从而消除多重共线性的影响。
岭回归法的步骤
首先确定正则化参数λ的值，然后求解包含L2正则化项的损失函数最小化问题，得到岭回归系数的估 计值。
逐步回归法的优点
可以自动选择重要的自变量，同时消除多重共线性的影响。
主成分分析法
主成分分析法的基本思想
通过正交变换将原始自变量转换 为互不相关的主成分，然后选择 少数几个主成分进行回归分析。
主成分分析法的步骤
首先对原始自变量进行标准化处理， 然后计算相关系数矩阵并进行特征值 分解，得到主成分及其对应的特征向 量。最后，选择少数几个主成分作为 新的自变量进行回归分析。
岭回归法的优点
可以有效地处理多重共线性问题，同时避免过拟合现象的发生。此外，岭回归法还可以提供对所 有自变量的系数进行压缩估计的功能，使得模型更加简洁易懂。
05
实证研究与结果分
析
数据来源及预处理
数据来源
本研究采用的数据集来自于公开的统 计数据库，涵盖了多个经济指标和影 响因素的观测值。
数据预处理
第四章多重共线性实例
表 4.3.3 中国粮食生产与相关投入资料
农业化肥施 粮食播种面 受灾面积 农业机械总
用量 X 1
（万公斤）
积X 2
（千公顷）
X3
（公顷）
动力X 4
（万千瓦）
1659.8
114047 16209.3
18022
1739.8
112884 15264.0
19497
1775.8
108845 22705.3
20913
Yˆ 28259.19 2.240X5
(-1.04) (2.66) R2=0.3064 F=7.07 DW=0.36
• 可见，应选第1个式子为初始的回归模型。
4、逐步回归
将其他解释变量分别导入上述初始回归模型，寻 找最佳回归方程。
C
X1 X2 X3
X4
X5
R2
DW
Y=f(X1)
30868 4.23
0.8852 1.56
t值
25.58 11.49
Y=f(X1,X2)
-43871 4.65 0.67
0.9558 2.01
t值
-3.02 18.47 5.16
Y=f(X1,X2,X3)
-11978 5.26 0.41 -0.19
0.9752 1.53
t值
0.85
19.6 3.35 -3.57
Y=f(X1,X2,X3,X4) -13056 6.17 0.42 -0.17 -0.09
1930.6
110933 23656.0
22950
1999.3
111268 20392.7
24836
2141.5
110123 23944.7
计量经济学第四章 多重共线性
x2i
3 2
x3i
x3i
参数的估计值为：
ˆ2
x32i x2i yi x2i x3i x3i yi
(
x22i )(
x32i ) (
x2i
x 3i
)2
x32i
2
x3i yi x32i 2 2
x32i x32i
x2i x3i x22i
x2i x3i
ˆ1 Y ˆ2 X 2 ˆ3 X 3
ˆ2
x32i x2i yi x2i x3i x3i yi ( x22i )( x32i ) ( x2i x3i )2
ˆ3
x22i x3i yi x2i x3i x2i yi •
(
x22i )(
x32i ) (
x2i
x 3i
)
2
x2i yi x3i yi
x2i x3i x32i
4.2多重共线性的后果
如果X1和X2完全线性相关，则存在非0的λ使得：
1 2 X 2i 3 X 3i 0
则有：
1 2 X 2 3 X 3 0
2 X 2i X 2 3 X3i X3 0
X 2i X3i X 2iYi
X
2 3i
X
3iYi
VAR
COV
(βˆ )
2
(XX)1
2
N X 2i
X 3i
X2i
X
2 2i
X 2i X 3i
《计量经济学》第四章精选题及答案
第四章：多重共线性二、简答题1、导致多重共线性的原因有哪些？2、多重共线性为什么会使得模型的预测功能失效？3、如何利用辅回归模型来检验多重共线性？4、判断以下说法正确、错误，还是不确定？并简要陈述你的理由。
(1)尽管存在完全的多重共线性，OLS 估计量还是最优线性无偏估计量（BLUE ）。
(2)在高度多重共线性的情况下，要评价一个或者多个偏回归系数的个别显著性是不可能的。
(3)如果某一辅回归显示出较高的2i R 值，则必然会存在高度的多重共线性。
(4)变量之间的相关系数较高是存在多重共线性的充分必要条件。
(5)如果回归的目的仅仅是为了预测，则变量之间存在多重共线性是无害的。
5、考虑下面的一组数据：12233i i i Y X X βββ=++来对以上数据进行拟合回归。
(1) 我们能得到这3个估计量吗？并说明理由。
(2) 如果不能，那么我们能否估计得到这些参数的线性组合？可以的话，写出必要的计算过程。
6、考虑以下模型：231234i i i i i Y X X X ββββμ=++++由于2X 和3X 是X 的函数，那么它们之间存在多重共线性。
这种说法对吗？为什么？ 7、在涉及时间序列数据的回归分析中，如果回归模型不仅含有解释变量的当前值，同时还含有它们的滞后值，我们把这类模型称为分布滞后模型（distributed-lag model ）。
我们考虑以下模型：12313233i t t t t t Y X X X X βββββμ---=+++++其中Y ——消费，X ——收入，t ——时间。
该模型表示当期的消费是其现期的收入及其滞后三期的收入的线性函数。
（1） 在这一类模型中是否会存在多重共线性？为什么？ （2） 如果存在多重共线性的话，应该如何解决这个问题？ 8、设想在模型12233i i i iY X X βββμ=+++中，2X 和3X 之间的相关系数23r 为零。
如果我们做如下的回归：1221i i i Y X ααμ=++ 1332i i i Y X γγμ=++（1）会不会存在22ˆˆαβ=且33ˆˆγβ=？为什么？ （2）1ˆβ会等于1ˆα或1ˆγ或两者的某个线性组合吗？ （3）会不会有22ˆˆvar()var()βα=且33ˆˆvar()var()γβ=？ 9、通过一些简单的计量软件（比如EViews 、SPSS ），我们可以得到各变量之间的相关矩阵：2323232311 1k k k k r r r r R r r ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
第四章 多重共线性
多重共线性的定义 产生多重共线性的背景 多重共线性产生的后果 多重共线性的检验 多重共线性的补救措施
第四章 多重共线性
一、多重共线性的定义：案例1 能源消费 多重共线性的定义：案例1
1、完全多重共线性： 、完全多重共线性： 对于 变 量 X 2 , X 3 ,L, X k ，如 果 存在 不全 为零 的数 λ2，λ3， ，λk ， 使 L
年份 财政收 农业增 工业增 建筑业 总人口/ 最终消 入CS 加值NZ 加值GZ 增加值 万人 费CUM
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1132.3 1146.4 1159.9 1175.8 1212.3 1367 1642.9 2004.8 2122 2199.4 2357.2 2664.9 2937.1 3149.48 3483.37 1018.4 1258.9 1359.4 1545.6 1761.6 1960.8 2295.5 2541.6 2763.9 3204.3 3831 4228 5017 5288.6 5800 1607 1769.7 1996.5 2048.4 2162.3 2375.6 2789 3448.7 3967 4585.8 5777.2 6484 6858 8087.1 10284 138.2 143.8 195.5 207.1 220.7 270.6 316.7 417.9 525.7 665.8 810 794 859.4 1015.1 1415 96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 2239.1 2619.4 2976.1 3309.1 3637.9 4020.5 4694.5 5773 6542 7451.2 9360.1 10556.5 11365.2 13145.9 15952.1
第四章-多重共线性-答案
第四章 多重共线性一、判断题1、多重共线性是一种随机误差现象。
（F ）2、多重共线性是总体的特征。
（F ）3、在存在不完全多重共线性的情况下，回归系数的标准差会趋于变小，相应的t 值会趋于变大。
（F ）4、尽管有不完全的多重共线性，OLS 估计量仍然是最优线性无偏估计量。
（T ）5、在高度多重共线的情形中，要评价一个或多个偏回归系数的个别显著性是不可能的。
（T ）6、变量的两两高度相关并不表示高度多重共线性。
（F ）7、如果分析的目的仅仅是预测，则多重共线性一定是无害的。
（T ）8、在多元回归中，根据通常的t 检验，每个参数都是统计上不显著的，你就不会得到一个高的2R 值。
（F ） 。
9、如果简单相关系数检测法证明多元回归模型的解释变量两两不相关，则可以判断解释变量间不存在多重共线性。
（ F ）10、多重共线性问题的实质是样本问题，因此可以通过增加样本信息得到改善。
（T ） 11、虽然多重共线性下，很难精确区分各个解释变量的单独影响，但可据此模型进行预测。
（T ）12、如果回归模型存在严重的多重共线性，可不加分析地去掉某个解释变量从而消除多重共线性。
（F ）13、多重共线性的存在会降低OLS 估计的方差。
（F ）14、随着多重共线性程度的增强，方差膨胀因子以及系数估计误差都在增大。
（T ） 15、解释变量和随机误差项相关，是产生多重共线性的原因。
（F ） 16、对于模型i ni n i 110i u X X Y ++++=βββ ，n 1i ,, =；如果132X X X -=,模型必然存在解释变量的多重共线性问题。
（T ）17、多重共线性问题是随机扰动项违背古典假定引起的。
（F ） 18、存在多重共线性时，模型参数无法估计。
（F ）.二、单项选择题1、在线性回归模型中，若解释变量1X 和2X 的观测值成比例，既有12i i X kX =，其中k 为 非零常数，则表明模型中存在 （ B ） A 、异方差 B 、多重共线性 C 、序列相关 D 、随机解释变量2、 在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的可决系数接近1，则表明模型中存在 （ C ） A 、异方差性 B 、序列相关 C 、多重共线性 D 、拟合优度低3、对于模型i i 22i 110i u X X Y +++=βββ，与0r 12=相比，当50r 12.=时，估计量1βˆ的方差()1βˆvar 将是原来的 （ B ） A 、 1 倍 B 、 倍 C 、 倍 D 、 2 倍>4、如果方差膨胀因子VIF ＝10，则认为什么问题是严重的（ C ）A 、异方差问题B 、序列相关问题C 、多重共线性问题D 、 解释变量与随机项的相关性 5、经验认为某个解释与其他解释变量间多重共线性严重的情况是这个解释变量的VIF （ C ）。
第四章 多重共线性
三、产生的后果
• 概括地讲，其后果是参数估计量失去应有含义；方差增大， t检验失效；预测结论不准确。 具体地讲， • 由于参数估计量的方差增大，使得估计量的精度大大降低， 因而不能正确地判断各解释变量对被解释变量影响大小，即 参数估计量经济含义不合理（参数不反映各自与被解释变量
之间的结构关系，而是反映对被解释变量的共同影响）
（二）多重共线性的类型
如果多元线性回归模型中，存在两个或多个解释变量之 间存在严格的线性关系，则称为完全（exact）多重共 线性,如前例。 有时解释变量之间存在近似的、而不是严格的线性关系， 则称为近似（near)多重共线性。前者是由于模型引进 变量不当引起，后果是回归分析完全失效；而后者既与 变量选择有关，也与数据存在共同趋势有关，但更多的 是与数据有关。其后果是参数无法唯一确定（即参数估
计不稳定）；错误的结论（即数据较小变化引起参数估 计量较大变化）；参数估计量方差增大；参数估计量符 号与实际结果相反。
二、多重共线性产生的原因
• 1.截面数据（或面板数据）建立的回归模型，选择的 经济变量往往从经济上存在密切关联。 • 如：以截面数据建立的生产函数，从投入要素看 （劳动力、资金），都与企业生产规模密切相关。 则各要素间存在较强的相关性；又如，农业生产过 程中，土地面积与施肥量存在密切联系，即面积越 大，施肥量越多。 • 2.许多经济变量在随时间变化过程中，往往存在共同 的变化趋势，则经济变量间易产生多重共线性。 如：经济增长 、收入增长、商品销售增长、物价提 高、货币发行增多、储蓄增加
1、相关系数检验
• 确定相关系数的方法：（比较简单） COR 解释变量名称 如:COR x1 x2 x3 • 以相关系数的大小确定解释变量之间是否相关
第四章 多重共线性
建筑业增加值JZZ
总人口TPOP 最终消费CUM 受灾面积SZM
-1.527089
0.151160 0.101514 -0.036836
1.206242
0.033759 0.105329 0.018460
-1.265989
4.477646 0.963783 -1.995382
0.2208
0.0003 0.3473 0.0605
计量经济学
第四章 多重共线性
1
基本假定是否现实?
假定1：零均值假定 或 相关假定
E ( u i ) 0 ( i 1, 2, , n )
E (u) = 0
假定2和假定3：同方差和无自
C ov ( u i , u j ) E[( u i - E u i )( u j - E u j )] E ( u i u j )
632.0999
0.000000 6
模型估计与检验结果分析
●可决系数为0.995，校正的可决系数为0.993，模型 拟合很好。模型对财政收入的解释程度高达99.5%。 ●F统计量为632.10，说明0.05水平下回归方程整体 上显著。 ● t 检验结果表明，除了工业增加值和总人口以外， 其他因素对财政收入的影响均不显著。 ●农业增加值和建筑业增加值的回归系数是负数。 农业和建筑业的发展反而会使财政收入减少吗？! 这样的异常结果显然与理论分析和实践经验不相符。 若模型设定和数据真实性没问题，问题出在哪里呢？
2
（ y x )( x 3i） y i x 3i）（ x 3 i x 3 i ) （ 0 ˆ i 3i 3 2 2 2 2 2 ( x i )( x 3 i ) ( x 3 i x 3 i ) 0
多重共线性和虚拟变量的使用
多重共线性的修正
四、利用先验信息法。 • 这里的先验信息，包括从金融理论以及实际统计 资料所获得的解释变量或所估计参数之间的关系。 若发生多重共线性的那些解释变量之间的关系可 由先验信息得到，则在所研究的模型中利用这种 关系，便可以减轻多重共线性的程度。
金融数据的多重共线性处理 ：示例
• 理论上，股票代表着对公司未来现金流的所有权， 因此，公司未来的收益以及利息是股票价格的决 定因素。而宏观经济形势能够影响到公司未来的 收益，进而对股票价格产生影响。同时宏观经济 形势也能够通过其它的一些渠道直接对股票价格 产生影响。我们将以整个股票市场为研究对象， 来考虑影响股票价格指数的宏观经济因素以及它 们的影响程度。我们将采取从一般到特别的建模 方式，即首先将模型中包含尽可能多的变量，然 后通过各种检验逐步剔出对因变量没有解释能力 的变量。
多重共线性的检验
• 如前所述，多重共线性普遍存在于金融、经济数据中，因 此对多重共线性的检验并不是要确定其是否存在，而是要 确定多重共线性的程度。 • 由于多重共线性是对被假定为非随机变量的解释变量的情 况而言的，所以它是一种样本而非总体特征，这决定了我 们只能以某些经验法则（rules of thumb）来检验模型的 多重共线性。 • 对多重共线性的检验主要包括以下内容： （1）检验多重共线性问题是否严重 （2）多重共线性的存在范围，即确定多重共线性 是由哪些主要变量引起的。 （3）多重共线性的表现形式，即找出与主要变量 有共线性的解释变量。
本章要点
• • • • • • • • 多重共线性的含义 多重共线性产生的原因 多重共线性的后果 判断多重共线性的方法及其修正方法 虚拟变量的设置原则 虚拟变量模型的应用 邹氏检验的做法及缺陷 虚拟变量法检验结构稳定性的优点
4 多重共线性
2 λ (∑ yx2 )(∑ x2 ) − λ (∑ yx2 )(∑ x2 x2 ) 0 = = 2 2 0 λ (∑ x2 )(∑ x2 2 ) − λ 2 (∑ x2 2 ) 2
2 (∑ yλ x2 )(∑ x2 ) − (∑ yx2 )(∑ x2 λ x2 ) ˆ β3 = 2 (∑ x2 )(∑ (λ x2 ) 2 ) − (∑ x2 λ x2 ) 2
第二节 多重共线性产生的后果
▲完全多重共线性下的后果 ▲不完全多重共线性下的后果 一、完全多重共线性下的后果 1、参数估计值不确定 在完全多重共线性下，解释变量 X i 满足：
λ2 X 2 + λ3 X 3 + " + λk X k = 0
其中 λi 不全为零。则对应解释变量的矩阵 X ，有 X ' X = 0 ，或者
∑ (λ x )
2
2
σ
2
∑x =
0
2 2
σ2 = ∞
表明在解释变量之间存在完全共线性时， 参数估计值的方差会无限变
完全
二、多重共线性的定义
不完全
1、完全的多重共线性（线性相关的方法描述） ： 对于变量 X 2 , X 3 ," , X k ，如果存在不全为零的数 λ2 , λ3 ," , λk ，使得 下式成立：
2
λ2 X 2 + λ3 X 3 + " + λk X k = 0
（4.1）
则称变量
X 2 , X 3 ," , X k 之间存在一种完全的多重共线性。
第四章 多重共线性
在现实经济问题中，古典假定不一定能满足，这就是所谓的古典 假定的违反。 古典假定： 1.零均值，即 E (ui ) = 0 ； 2.同方差，即 Var (ui ) = σ 2 ； 3.无自相关，即 Cov(ui , u j ) = 0, i ≠ j ； 4.解释变量非随机性，即 Cov(ui , X i ) = 0 ; 5. 无 多 重 共 线 性 ， 即 不 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 λ2、λ3 " λk ， 使
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第四章 多重共线性一、填空题1. 在多元线性回归模型中，解释变量间呈现近似线性关系的现象为________问题，给计量经济建模带来不利影响，因此需检验和处理它。
2. 在回归分析中，当检验回归系数所得的t 值不显著时，我们往往将它归结为多重共线性。
但也可能是其他原因的影响，如 或 。
3. 存在多重共线时，回归系数的标准差趋于 ，t 值趋于 。
方差膨胀因子越大，OLS 估计量的 将越大。
4. 检验样本是否存在多重共线性的常见方法有：________ 、 和 。
5. 处理多重共线性的方法主要有两大类：__________和_________。
二、问答题1. 简述多重共线性的含义。
2. 简述多重共线性的后果。
3. 方差膨胀因子（Variance Inflation Factor, VIF ）及其含义？4. 列举多重共线性的检验方法。
5. 多重共线性的补救办法？6. 假设在模型i i i i u X X Y +++=22110βββ中，1X 与2X 之间的相关系数为零，于是有人建议你进行如下回归：i i i i i i u X Y u X Y 22201110++=++=γγαα(1) 是否存在11ˆˆβα=且22ˆˆβγ=？为什么？ (2) 0ˆβ会等于0ˆα或0ˆγ或某两个的某个线性组合吗？ (3) 是否有()()11ˆvar ˆvar αβ=且()()22ˆvar ˆvar γβ=？ 7. 在决定一个回归模型的“最优”解释变量集时人们常用逐步回归的方法。
在逐步回归中既可采取每次引进一个解释变量的程序(逐步向前回归)，也可以先把所有可能的解释变量都放在一个多元回归中，然后逐一地将它们剔除(逐步向后回归)。
加进或剔除一个变量，通常是根据F 检验看其对ESS 的贡献而作出决定的。
根据你现在对多重共线性的认识，你赞成任何一种逐步回归的程序吗？为什么？8．克莱因与戈德伯格曾用1921-1950年(1942-1944年战争期间略去)美国国内消费Y 和工资收入X1、非工资—非农业收入X2、农业收入X3的时间序列资料，利用OLSE 估计得出了下列回归方程：37.107 95.0 (1.09) (0.66) (0.17) (8.92) 121.0452.0059.1133.8ˆ2321==+++=F R X X X Y 括号中的数据为相应参数估计量的标准误。
试对上述模型进行评析，指出其中存在的问题。
9. 将下列函数以适当的方法消除多重共线性（1）消费函数为：u P W C +++=210βββ，式中C 、W 、P 分别表示消费、工资收入和非工资收入，W 与P 可能高度相关，但研究表明2/12ββ=。
（2）需求函数为：u P P Y Q s ++++=3210ββββ，式中Q 、Y 、P 、P s 分别表示需求量、收入水平、该商品价格及其替代品价格水平，P 、P s 可能高度相关。
三、实践题1. 下表给出了中国商品进口额Y 、国内生产总值GDP 、消费者价格指数CPI 。
资料来源：《中国统计年鉴》，中国统计出版社2000年、2004年。
请考虑下列模型：it t t u CPI GDP Y ++=ln ln ln 321βββ＋ (1) 利用表中数据估计此模型的参数。
(2) 你认为数据中有多重共线性吗？(3) 进行以下回归：it t it t it t v CPI C C GDP v CPI B B Y v GDP A A Y 321221121ln ln ln ln ln ln ++=+=+=＋＋根据这些回归你能对数据中多重共线性的性质说些什么？(4) 假设数据有多重共线性，但32ˆˆββ和在5%水平上个别地显著，并且总的F 检验也是显著的。
对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？2. 理论上认为影响能源消费需求总量的因素主要有经济发展水平、收入水平、产业发展、人民生活水平提高、能源转换技术等因素。
为此，收集了中国能源消费总量Y (万吨标准煤)、国内生产总值(亿元)X1 (代表经济发展水平)、国民总收入(亿元)X2(代表收入水平)、工业增加值(亿元)X3、建筑业增加值(亿元)X4、交通运输邮电业增加值(亿元)X5(代表产业发展水平及产业结构)、人均生活电力消费 (千瓦小时)X6(代表人民生活水平提高)、能源加工转换效率(%)X7(代表能源转换技术)等在1985-2002年期间的统计数据，具体如下：资料来源：《中国统计年鉴》2004、2000年版，中国统计出版社。
要求：(1)建立对数线性多元回归模型(2)如果决定用表中全部变量作为解释变量，你预料会遇到多重共线问题吗？为什么？ (3)如果有多重共线性，你准备怎样解决这个问题？明确你的假设并说明全部计算。
参考答案 一、填空题1.多重共线性；2.设定偏误；模型的理论依据不强。
3. 无穷大；很小；标准差。
4.简单相关系数；可决系数法；参数t 检验的显著性。
5. 差分法；逐步回归法。
二、问答题1. 答：对于K 元线性回归模型i ik k i i i u X X X Y +++++=ββββ 22110 ， i=1,2,…,n其基本假设之一是解释变量之间是互相独立的。
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为多重共线性。
如果存在02211=+++ik k i i X X X λλλ ， i=1,2,…,n 其中λ不全为0，即某一个解释变量可以用其它解释变量的线性组合表示，则称为完全共线性。
2. 答：在多重共线性存在的情况下，OLS 估计量仍然保持BLUE 的性质。
虽然OLS 估计量可以得到，但极不稳定，数据资料即使有极小的变化，估计值及标准差就会有很敏感的反应。
估计量的方差随着共线程度的增加而变大，如果达到完全共线，估计量的方差就会为无限大。
随着共线程度的增加，对于回归系数所进行的t 检验，接受原假设的概率加大，即回归系数可能变得不显著。
但与此同时，可以得到较高的可决系数（R 2），如果模型的用途是预测，那么，高度的多重共线未必不是好事。
3. 答：回归系数的OLS 估计量的方差为：12)()(-'=iiu X X b Var σ，可以看作随机项方差2u σ乘上一个比例常数1)(-'ii X X ，这个比例常数称为方差膨胀因子，即1)(-'=iii X X VIF 可以证明：211i i R VIF -=式中i=1,2,…,k, 表示回归模型中引入了k 个解释变量X 。
2i R 为i X 作为被解释变量，与其余k-1个X 进行多元回归分析后得到的可决系数。
如果2i R 越大，说明i X 与其余k-1个X 的多重共线程度越高，得到的i VIF 就会表现出越大。
为了综合评价OLS 估计时出现的多重共线性的程度，可以采用平均膨胀因子： kVIFVIF Ki i∑==1一般认为i VIF 超过10（也有人主张超过5）时，就认为多重共线的程度较高，必须加以处理。
4. 答：主要有相关系数法、可决系数检验法和方差膨胀因子法。
诊断多重共线性最直接的办法就是观察解释变量之间的相关系数，由此可以观察发生在解释变量之间的相关程度的大小。
如果是在回归分析完成之后考察多重共线性的存在，那末，重要变量的回归系数如果没有通过t 检验, 或回归系数的数值与符号与预期严重不符，可以认为存在多重共线问题。
由于引入模型中的解释变量有多个，到底是哪一个导致了多重共线的后果，可以采用可决系数法来判别。
方差膨胀因子法（VIF ）也是诊断多重共线性的常用方法。
5. 答：多重共线性存在的情况下最简单的补救办法就是弃掉一个共线变量。
一般地，减轻多重共线性从三个方面考虑：样本方面、解释变量方面和模型的形式方面。
样本方面。
主要是考虑加大样本容量，增加数据小数点后的位数，目的是降低解释变量序列之间成比例的可能性。
解释变量方面。
应用面板数据估计模型，或利用来自经济理论和以往经验的先验信息，用以消除多重共线对估计模型的影响。
逐步回归法是常用的一种多重共线性存在时选择解释变量的方法。
逐步回归法。
要排除多重共线性产生的不良后果，软件操作中应用较多的是逐步回归法。
逐步回归法的基本思想是：将Y 分别对每一个X 作回归模型（K 个），选一可决系数R 2最大者，作为基础方程。
将其余R 2由小到大排队，将X 按R 2由大到小的顺序逐次加入基础方程。
有三种情况：a.加入某个X 后， R 2提高，t 检验显著，保留该X ；b.加入某个X 后， R 2没改善，剔除该X ；c.加入某个X 后， R 2变大，t 绝对值下降，b 的符号、数值变异，认为该X 引起多重共线，不必加入。
模型形式方面。
一阶差分回归模型可以降低多重共线的严重程度，所以我们往往对原模型进行差分变换，对得到的差分模型进行估计进而得到队原模型的估计结果。
这种办法的不足是：由于计算差分，失去了一个观察值，这在小样本中是一个值得关注的问题。
一阶差分法只适于时间序列资料。
同时由于差分计算，可能给差分模型引入原来并不存在的残差项自相关的问题。
6．答：(1) 存在11ˆˆβα=且22ˆˆβγ=。
因为()()()()()()()22122212122211ˆ∑∑∑∑∑∑∑--=ii iiii ii iii x x x x x x x y x x y β当1X 与2X 之间的相关系数为零时，离差形式的021=∑i i xx有 121122212211ˆˆαβ==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑∑∑ii i i i i i i xxy x x x x y同理有：22ˆˆβγ= (2) 会的。
(3) 存在()()11ˆvar ˆvar αβ= 且 ()()22ˆvar ˆvar γβ= 因为()()∑-=21221211ˆvar r x i σβ当012=r 时，()()()12122122121ˆvar 1ˆvar ασσβ==-=∑∑ii x r x同理，有()()22ˆvar ˆvar γβ= 8. 答：从模型拟合结果可知，样本观测个数为27，消费模型的判定系数95.02=R ，F 统计量为107.37，在0.05置信水平下查分子自由度为3，分母自由度为23的F 临界值为3.028，计算的F 值远大于临界值，表明回归方程是显著的。
模型整体拟合程度较高。
依据参数估计量及其标准误，可计算出各回归系数估计量的t 统计量值：11.009.1121.0 ,69.066.0452.0 ,10.617.0059.1 ,91.092.8133.83210========t t t t除1t 外，其余的j t 值都很小。
工资收入X1的系数的t 检验值虽然显著，但该系数的估计值过大，该值为工资收入对消费边际效应，因为它为1.059，意味着工资收入每增加一美元，消费支出的增长平均将超过一美元，这与经济理论和常识不符。