动力气象学第三章 尺度分析与基本方程组的简化

t x y
x
v u v v v fu 1 p
t x y
y
3.3.2 铅直运动方程的简化，静力平衡近似
w u w v w w w 1 p g
t x y z z
W
UW WW P g
L D D
107
107 108 101 101
p g
z
3.3.3 连续方程的简化
V
w
( u
u v w 0 x y z
热力学方程
u v w 0
t x y z
T t
u
T x
v
T y
(
d
)w
0
3.3.4 平衡与非平衡简化方程组，大尺度运动的基本性质
大尺度零级近似方程组
1 p fv 0
x
1 p fu 0
y
1 p g 0
z
u v 0 x y
中纬度大尺度运动是准水平、 准地转平衡、准静力平衡、 准水平无辐散、缓慢变化的 涡旋运动。
D<H时为浅（薄）对流，D~H时为深厚对流。
§3.3 基本方程组的简化与中纬度大尺度运动的性质 g~101m/s2，f0~10-4/s，L~106m，N~10-2/s，U~101m/s， D~H~104m，τ~L/U~105s，W~10-2m/s， π~10-3t/m3， ΔP~100tm-1/s2 ，Δπ~10-5t/m3 3.3.1 水平运动方程的简化，地转近似
诊断方程、平衡简化方程组。
一级简化方程组
u u u v u 1 p fv
t x y x
u u u v u 1 p fu
t x y y
1 p g 0
z (u v ) w 0
x y z
u v w 0
t x y z
p ( p00 )R /cp R p
如科氏力在大范围的运动中是起关键性作用的因子之 一，但是对于空间范围很小的运动而言是可以忽略不 计的。认识和把握大气运动的规律往往是从个别特定 形式的运动入手的，为此，必须将特定形式的运动与 其他形式的运动分离开来。 在数学上简化方程组，保留主要项，略去次要项。 结论简单，物理意义清楚。
§3.1 尺度概念与大气运动的尺度分类 3.1.1 尺度分析法 物理量的特征值，估计各项量级的大小。 各物理场变量的时空变化有一个范围 具有代表意义的量值——特征值——尺度。 例：水平风速在5~25m/s之间，特征值取为10m/s。 u=Uu*，v=Uv*，则U~101m/s，u*和v*为数值在 0.5~2.5之间的无量纲量。
z D z D z D
p ~ p ~ P T ~ T ~ T * ~ ~
x y L x y L x y L 在时间尺度上，各物理量的改变量均与经过L的改变 量有相同的大小：
p ~ P u ~ U w ~ W
t t t
尺度分析数量级运算规则：
1。若：A ~ 10n , B ~ 10n1, C ~ 10n2，则 ( A B C) ~ 10n ( A B C) ~ 10n 2。u ~ v ~ U 而 u v U
准水平
准静力平衡 密度变化准定常
3.3.5 地转参数的简化，β平面近似 f f0 (f / y) y f0 y
当f处于系数地位不被微商时，取f=f0； 当f处于对y求微商地位时，取df/dy=常数，称为β 平面近似。
在低纬赤道地区，f0≈0, 因而又f≈βy，称为赤道β平 面近似。
§3.4 无量纲方程与无量纲参数 u u u v u w u 1 p' fv
x y L x y L 3。在方程A B C D 0中， 若有A B 0，则无法保证C D 0的结论。 4。方程中的最大项至少要有两项。
3.1.2 大气运动的尺度分类
水平气压梯度力是一真实力，它应是运动方程 中的主要项。观测表明，在水平特征尺度相差 很大的气旋、反气旋和龙卷、飑线、飓风（台 风）中的水平气压变动尺度可达到同样的量级， 使得它们的水平气压梯度相差好几个量级。说 明大气运动的特征与水平尺度关系密切，因此 常根据运动的水平特征尺度对大气运动进行分 类。通常分为大、中、小尺度运动。
u u u v u w u fv 1 p
t x y z
x
v u v v v w v fu 1 p
t x y z
y
U
U 2 WU
P
L D f0 U L
104
104 105 103 103
零级近似——诊断方程Fra bibliotekv 1 px
一级近似——预报方程
fu 1 p
y
u u u v u fv 1 p
L ~ 106 m D ~ 104 m U ~ 101m / s ~ 105 s
表3.1 大气运动尺度分类
行星尺度
中 长波 纬 副热带反气旋 度
热 ITCZ 带 东风波
天气尺度
温带气旋 温带反气旋
云团 热带气旋
中尺度
小尺度 微尺度
锋面 背风波
积雨云 边界层涡动 雷阵雨
飑线
龙卷
中尺度对流群 对流单体 边界层涡动
第三章尺度分析与基本方程组的简化第三章尺度分析与基本方程组的简化大气中存在各种不同尺度的运动虽然各种不同尺度运动满足同一基本方程组但不同尺度的运动有不同的特点决定运动基本性质的主要因子也不一样
第三章 尺度分析与基本方程组的简化
第三章 尺度分析与基本方程组的简化
大气中存在各种不同尺度的运动，虽然各种不同尺度 运动满足同一基本方程组，但不同尺度的运动有不同 的特点，决定运动基本性质的主要因子也不一样。
P
L
1
*
p'* x *
f0Uf
*v*
1 u * U (u * u * v * u *) D U 2 / D2 w* u *
f0 t * f0L x * y * H N 2
z *
1 p'* f *v *
* x *
1 ~ u / fv f0 t
Ro U ~ V u f0L fv
准地转平衡运动是缓慢变化 ε<<1的大尺度运动Ro<<1，同 时大气层结应是高度稳定的 Ri>>1。
Ri
N 2D2 U2
~
g
ln
z
/( V z
)2
D
H
D
L
同理可得：静力平衡近似的充分条件是λ=1，δ<<1。
P57: 1-6,10
例如，某地地面气温的变动范围在233~313K之间，则 可写成(2.33~3.13)×102K，可认为该地地面气温的数量 级为102K，它代表了该地地面气温的“一般大小”或 “概量”。气象上称这种具有代表意义的值为物理量 的“特征值”或“特征尺度”，简称为尺度。
大气运动的水平速度、垂直速度、气压、温度和密度 的尺度分别标记为U，W，P，T*和Π。 物理量发生变动的水平尺度(L)，对于波状运动取波长 的1/4，圆形涡旋系统取其半径；铅直尺度(D)为系统在 垂直方向上伸展的高度，一般可取为对流层的厚度； 时间尺度(τ)，指运动系统的生命期，即由发生到消亡 所经历的时间。
v
)
w
0
t
z x y z
U W U W
L DL
H
1010 1010 109 108
109
零级近似——水平无辐散
u v 0 x y
一级近似——非弹性近似
w ln u v w 0
z x y z
(u v) w 0
x y z
达因补偿原理 (u v)dz 0 0 x y
Boussinesq近似
t x y z x
令(x, y) L(x*, y*), (u, v) U (u*,v*), p' p'*(P),
z Dz*, w Ww*, *,t t*, f f0 f *
U u * U 2 (u * u * v * u *) WU w* u *
t * L x * y * D z *
经过L或D，速度场的改变量可达到自身的大小：
u u ~ U x x L
u ~ u ~ v ~ v ~ U x y x y L
w ~ w ~ W x y L
u ~ v ~ U z z D
w ~ W z D
压力、温度和密度的改变量经过D可达自身的大小，但 经过L却达不到本身的量级：
p ~ P T ~ T * ~