四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题
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试卷第 4 页，共 5 页
(1)若 E 是线段 BN 的中点，动点 F 在三棱锥 A－BMN 表面上运动，并且总保持 FE⊥BD， 求动点 F 的轨迹的长度（可用 表示），详细说明理由；
(2)若 P、Q 分别为线段 AB 与 DN 上一点，使得 AP NQ R ，令 PQ 与 BD 和
PB QD AN 所成的角分别为1 和2 ，求 sin1 sin2 的取值范围． 22．如图，已知三棱柱 ABC - A1B1C1 ，平面 A1ACC1⊥平面 ABC，ABC 90,BAC 30 ， A1A A1C AC ，E，F 分别是 AC， A1B1 的中点．请你用几何法解决下列问题：
4．已知直线 l 及三个互不重合的平面 ， ， ，下列结论错误的是（ ）
A．若 / / ， / / ，则 / /
B．若 ， ，则
C．若 ， / / ，则
D．若 ， ， I l ，则 l
5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，
7π 12
,
0
，为了得到
g
x
2sin2x
的图象，需将（
）
A．函数 f x 的图象的横坐标伸长为原来的 3 倍后，再向左平移 3π 个单位长度
2
8
B．函数 f x 的图象的横坐标缩短为原来的 2 后，再向右平移 个单位长度
3
8
C．函数 f x 的图象向左平移 π 个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 3 倍
D．若1 z 2i 2 ，则点 Z 的集合所构成的图形的面积为 π
10．在 VABC 中，AB 7，AC 5，BC 3，点 D 在线段 AB 上，下列结论正确的是（ ） A． ACB 150 B．若 CD 是中线，则 CD 19 2 C．若 CD 是角平分线，则 CD 15 8 D．若 CD 3 ，则 D 是线段 AB 的三等分点
如图，在鳖臑 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，且 AB=BC=CD，则异面直线 AC 与 BD 所成
角的余弦值为（ ）
A． 1
2
B．- 1
2
C．2
D． 3
2
6．欧拉公式 eix cos x i sin x （其中 e 是自然对数的底，i 为虚数单位）是由著名数学
家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了指数函数与三角函数的关系，
11．如图所示，四边形 ABCD 是由斜二测画法得到的平面四边形 ABCD 水平放置的直 试卷第 2 页，共 5 页
观图，其中， AD 5 ， CD CB 2 ，点 P 在线段 CD 上， P 对应原图中的点 P ， 则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．四边形 ABCD 的面积为 14
B．与
C． a 1且 b 0
D． a = b = 0
2．已知第二象限角
的终边与单位圆交于
P
m,
3 5
，则
sin2
（
）
A． 12 25
B． 24 25
C． 12 25
3．已知菱形
ABCD
边长为
1，
BAD
60
，则
uuur BD
uuur DC
（
）
D． 24 25
A． 3 2
B． 3
2
C． 1
2
D． 1 2
（1）证明： EF BC ； （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值； （3）求二面角 A A1C B 的正弦值
试卷第 5 页，共 5 页
列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 B A1C1P 的体积恒为定值 uuur uuur
B．过点 P 作平面 AB1D1 的垂线 l，则 l 与直线 AA1 相交于 Q，且 AQ QA1
C．若异面直线 B1P 与 C1D 的夹角为 30 ，则 1 D．当 2 时，三棱锥 A PB1D1 的外接球半径为 6 a
4
2
D．函数 f x 的图象向右平移 π 个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 3 倍
12
2
8．已知函数 f x 2sin x cos x 4cos2 x 1，若实数 a、b、c 使得 af x – bf x c 3 ，
对任意的实数 x 恒成立，则 2a b cos c 的值为（ ）
3
三、填空题 13．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 π ，底面圆的半径为 1，则圆锥的侧面积为．
3 14．已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，圆台的上底面圆
周在半球面上，且上底面圆半径为 3，若半球的体积为144 ，则圆台的体积为.
15．已知点 O 是△ABC 的外心，AB 6，BC 8，B
uuur AB
同向的单位向量的坐标为
(
3 5
,
4 5
)
C．
uuur AD
在向量
uuur AB
上的投影向量的坐标为
(9 5
,
12 ) 5
uuur uuur D．| 3PA PB | 的最小值为 17
uuur uuur
12．棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 满足 AP PC R且 -1 ，则下
A． 1
2
B．1
C． 3 2
D．2
二、多选题 9．设复数 z 在复平面内对应的点为 Z，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若 z 3 2i ，则 z 的虚部为－2i
B．若|z|＝1，则 z＝±1 或 z＝±i C．若点 Z 坐标为（－1，3），且 z 是关于 x 的实系数方程 x2＋px＋q＝0 的一个根， 则 p＋q＝12
四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学 2022-2023 学年高 一下学期 6 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 z ai ba,b R 是纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A． a 0 且 b 0 B． b 0
x
，其中
0
6 ，且
f
12
1 2
．
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)若
12
,
6
，且 f பைடு நூலகம்5 ，求 sin 2 的值．
6
19．已知复数 z a bi ，其中 a,b 为实数且 a 0 ．
(1)若 z z z 2 4i ，求 z ；
(2)若 z 2 为纯虚数，且1≤ ≤ 2 ，求 b 的取值范围．
z 20．如图所示，已知 AB 平面 ACD， DE 平面 ACD，VACD 为等边三角形， AD DE 2AB ，F 为 CD 的中点.求证：
(1) AF∥平面 BCE； (2)平面 BCE 平面 CDE. 21．在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC ，BC 2AD 2AB 2 2 ，∠ABC＝90（° 如图 1）．把 △ABD 沿 BD 翻折，使得二面角 A－BD－C 的平面角为 （如图 2），M、N 分别是 BD 和 BC 中点．
2π 3
，若
uuur BO
xBA
uuur yBC
uuur ，则 3x 4y ．
16．在三棱锥 P-ABC 中，PA BC, BC 2PA 2AB 4, PC 2 6 ，点 M，N 分别是 PB，
BC 的中点，且 AM PC ，则平面 AMN 截三棱锥 P-ABC 的外接球所得截面的面积是．
被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将
e
2πi 3
所表示的复数记为
z，则
z
（
）
A． 1 3 i 22
B． 1 3 i 22
试卷第 1 页，共 5 页
C． 1 3 i 22
D． 1 3 i 22
7．已知函数
f
x
2cos x
0,
π 2
的部分图象如下所示，其中
A
π 12
,
2
,
B
四、解答题
试卷第 3 页，共 5 页
17．如图，在 VABC 中，ABC 90，AB 3 ，BC 1, P 为 VABC 内一点，BPC 90．
(1)若 PC 3 ，求 PA ； 2
(2)若 APB 120，求VABP 的面积 S ．
18．已知函数 f x
3 sinx cosx
sin2
(1)若 E 是线段 BN 的中点，动点 F 在三棱锥 A－BMN 表面上运动，并且总保持 FE⊥BD， 求动点 F 的轨迹的长度（可用 表示），详细说明理由；
(2)若 P、Q 分别为线段 AB 与 DN 上一点，使得 AP NQ R ，令 PQ 与 BD 和
PB QD AN 所成的角分别为1 和2 ，求 sin1 sin2 的取值范围． 22．如图，已知三棱柱 ABC - A1B1C1 ，平面 A1ACC1⊥平面 ABC，ABC 90,BAC 30 ， A1A A1C AC ，E，F 分别是 AC， A1B1 的中点．请你用几何法解决下列问题：
4．已知直线 l 及三个互不重合的平面 ， ， ，下列结论错误的是（ ）
A．若 / / ， / / ，则 / /
B．若 ， ，则
C．若 ， / / ，则
D．若 ， ， I l ，则 l
5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，
7π 12
,
0
，为了得到
g
x
2sin2x
的图象，需将（
）
A．函数 f x 的图象的横坐标伸长为原来的 3 倍后，再向左平移 3π 个单位长度
2
8
B．函数 f x 的图象的横坐标缩短为原来的 2 后，再向右平移 个单位长度
3
8
C．函数 f x 的图象向左平移 π 个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 3 倍
D．若1 z 2i 2 ，则点 Z 的集合所构成的图形的面积为 π
10．在 VABC 中，AB 7，AC 5，BC 3，点 D 在线段 AB 上，下列结论正确的是（ ） A． ACB 150 B．若 CD 是中线，则 CD 19 2 C．若 CD 是角平分线，则 CD 15 8 D．若 CD 3 ，则 D 是线段 AB 的三等分点
如图，在鳖臑 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，且 AB=BC=CD，则异面直线 AC 与 BD 所成
角的余弦值为（ ）
A． 1
2
B．- 1
2
C．2
D． 3
2
6．欧拉公式 eix cos x i sin x （其中 e 是自然对数的底，i 为虚数单位）是由著名数学
家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了指数函数与三角函数的关系，
11．如图所示，四边形 ABCD 是由斜二测画法得到的平面四边形 ABCD 水平放置的直 试卷第 2 页，共 5 页
观图，其中， AD 5 ， CD CB 2 ，点 P 在线段 CD 上， P 对应原图中的点 P ， 则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．四边形 ABCD 的面积为 14
B．与
C． a 1且 b 0
D． a = b = 0
2．已知第二象限角
的终边与单位圆交于
P
m,
3 5
，则
sin2
（
）
A． 12 25
B． 24 25
C． 12 25
3．已知菱形
ABCD
边长为
1，
BAD
60
，则
uuur BD
uuur DC
（
）
D． 24 25
A． 3 2
B． 3
2
C． 1
2
D． 1 2
（1）证明： EF BC ； （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值； （3）求二面角 A A1C B 的正弦值
试卷第 5 页，共 5 页
列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 B A1C1P 的体积恒为定值 uuur uuur
B．过点 P 作平面 AB1D1 的垂线 l，则 l 与直线 AA1 相交于 Q，且 AQ QA1
C．若异面直线 B1P 与 C1D 的夹角为 30 ，则 1 D．当 2 时，三棱锥 A PB1D1 的外接球半径为 6 a
4
2
D．函数 f x 的图象向右平移 π 个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 3 倍
12
2
8．已知函数 f x 2sin x cos x 4cos2 x 1，若实数 a、b、c 使得 af x – bf x c 3 ，
对任意的实数 x 恒成立，则 2a b cos c 的值为（ ）
3
三、填空题 13．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 π ，底面圆的半径为 1，则圆锥的侧面积为．
3 14．已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，圆台的上底面圆
周在半球面上，且上底面圆半径为 3，若半球的体积为144 ，则圆台的体积为.
15．已知点 O 是△ABC 的外心，AB 6，BC 8，B
uuur AB
同向的单位向量的坐标为
(
3 5
,
4 5
)
C．
uuur AD
在向量
uuur AB
上的投影向量的坐标为
(9 5
,
12 ) 5
uuur uuur D．| 3PA PB | 的最小值为 17
uuur uuur
12．棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 满足 AP PC R且 -1 ，则下
A． 1
2
B．1
C． 3 2
D．2
二、多选题 9．设复数 z 在复平面内对应的点为 Z，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若 z 3 2i ，则 z 的虚部为－2i
B．若|z|＝1，则 z＝±1 或 z＝±i C．若点 Z 坐标为（－1，3），且 z 是关于 x 的实系数方程 x2＋px＋q＝0 的一个根， 则 p＋q＝12
四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学 2022-2023 学年高 一下学期 6 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 z ai ba,b R 是纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A． a 0 且 b 0 B． b 0
x
，其中
0
6 ，且
f
12
1 2
．
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)若
12
,
6
，且 f பைடு நூலகம்5 ，求 sin 2 的值．
6
19．已知复数 z a bi ，其中 a,b 为实数且 a 0 ．
(1)若 z z z 2 4i ，求 z ；
(2)若 z 2 为纯虚数，且1≤ ≤ 2 ，求 b 的取值范围．
z 20．如图所示，已知 AB 平面 ACD， DE 平面 ACD，VACD 为等边三角形， AD DE 2AB ，F 为 CD 的中点.求证：
(1) AF∥平面 BCE； (2)平面 BCE 平面 CDE. 21．在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC ，BC 2AD 2AB 2 2 ，∠ABC＝90（° 如图 1）．把 △ABD 沿 BD 翻折，使得二面角 A－BD－C 的平面角为 （如图 2），M、N 分别是 BD 和 BC 中点．
2π 3
，若
uuur BO
xBA
uuur yBC
uuur ，则 3x 4y ．
16．在三棱锥 P-ABC 中，PA BC, BC 2PA 2AB 4, PC 2 6 ，点 M，N 分别是 PB，
BC 的中点，且 AM PC ，则平面 AMN 截三棱锥 P-ABC 的外接球所得截面的面积是．
被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将
e
2πi 3
所表示的复数记为
z，则
z
（
）
A． 1 3 i 22
B． 1 3 i 22
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C． 1 3 i 22
D． 1 3 i 22
7．已知函数
f
x
2cos x
0,
π 2
的部分图象如下所示，其中
A
π 12
,
2
,
B
四、解答题
试卷第 3 页，共 5 页
17．如图，在 VABC 中，ABC 90，AB 3 ，BC 1, P 为 VABC 内一点，BPC 90．
(1)若 PC 3 ，求 PA ； 2
(2)若 APB 120，求VABP 的面积 S ．
18．已知函数 f x
3 sinx cosx
sin2