山东省德州市2012届高三上学期期末考试文科数学2012.1
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山东省德州市2012届高三上学期期末考试
数学试题(文科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1—2 页,第Ⅱ卷第 3—4页,全卷满分 150 分,(120 分钟) 。
第Ⅰ卷(共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,请考生将自己的姓名、准考证号、考试科目用 2B 铅笔填涂在答题卡上;
2.选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题号的大难标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案,不能答在试卷上 .
一、选择题:本大题12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集{
}4,3,2,1=U ,集合{}4,3,1=A ,{}3,2=B ,则图中阴影部分表示的集合为() A. {}2 B. {}3 C. {
}4,1 D. {}4,3,2,1 2. 已知复数i 211-=Z ,则复数1
-1
112Z Z Z +=的虚部是()
A. I
B. –i
C. 1
D. -1
3. ”“2a = 是直线02=+y ax 与直线1=+y x 平行的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.已知ABC ∆中,a 、b 、c 分别为A,B,C 的对边,
30,34,4=∠==A b a ,则B ∠等于( )
A. 30
B. 30或 150
C. 60
D. 30或 120
5.已知不等式02=++c bx ax 的解集为{}42|<<x x 则不等式02<++c bx ax 的解集为() A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>
21|x x B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧
<41|x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4121
|x x D. ⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
<>4121|x x x 或 6.设数列{}n a 是等差数列,且15432=++a a a ,则这个数列的钱5项和5S () A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7.函数)(1)4
cos()4sin(
2)(R x x x x f ∈-+-=π
π
是() A. 最小正周期为π2的奇函数 B. 最小正周期为π的奇函数
C. 最小正周期为π2的偶函数
D. 最小正周期为π的偶函数
8. 若抛物线px y 22
=的焦点与双曲线13
22
=-y x 的右焦点重合,则p 的值为() A. -4 B. 4 C. -2 D. 2
9.已知实数y x ,满足的约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥622y x y x 则y x z 42+=的最大值为()
A. 20
B. 24
C. 16
D. 12
10.若直线2=-y x 被圆4)(2
2
=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为( ) A. -1或3 B. 1或3 C. -2或6 D. 0或4
11. 已知函数)(x f 是定义在),(-∞+∞上的奇函数,若对于任意的实数0≥x ,都有)()2(x f x f =+,且当[)2,0∈x 时,)1(log )(2+=x x f ,则)2012()2011(f f +-的值为() A. -1 B. -2 C. 2 D. 1
12. 函数)(x f 的图像如图,)('x f 是)(x f 的导函数,则下列数值排
列正确的是()
A. )2()3()3()2(0'
'
f f f f -<<< B. )2()2()3()3(0'
'
f f f f <-<< C. )2()3()2()3(0'
'
f f f f -<<< D. )3()2()2()3(0'
'
f f f f <<-<
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共四小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题纸相应位置。
13.已知函数x x f 2log )(=,则))4((f f = . 14.如果执行右边的程序框图,那么输出的S= . 15.已知向量a,b 满足,
2,1==b a ,)(b a a +⊥,
则b a 与夹角的大小是
16. 定义映射B A f →:其中{}
R n m n m A ∈=,),(,
R B =,已知对所有的有序正整数对),(n m 满足下述条件:
○
11)1,(=m f ; ○2若0),(=<n m f m n , ○
3[])1,(),(),1(-+=+n m f n m f n n m f 则)2,3(f 的值为 。
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本题满分12分)
已知函数)(x f 是定义在R 上的单调函数满足,2)3(=-f ,且对任意的实数R a ∈有0)()(=+-a f a f 恒成立
(Ⅰ)试判断)(x f 在R 上的单调性,并说明理由. (Ⅱ)解关于x 的不等式2)2(<-x
x
f
18.(本题满分12分)
已知函数)2
,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>>+=A x A x f 的图像与y 轴的交点为)1,0(他在y 轴右侧的第一个
最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx 。
(Ⅰ)求)(x f 的解析式及0x 值; (Ⅱ)若锐角θ满足3
1
cos =
θ求)4(θf 的值
19. (本题满分12分)
如图所示,将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ,要求B 点在AM 上
D 点在AN 上,且对角线MN 过点C,已知AB=3米,AD=2米。
(Ⅰ)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则DN 的长应在什么范围内? (Ⅱ)当DN 的长度为多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值。
20. (本题满分12分)
已知数列n a 满足)(2
222*13221N n n
a a a a n n ∈=+⋅⋅⋅+++- (Ⅰ)求数列{}n a 的通项; (Ⅱ)若n
n a n
b =
求数列{}n b 的前n 项n S 和 21. (本题满分14分) 已知函数x
x
x g kx x f ln )(,)(== (Ⅰ)求函数x
x
x g ln )(=
的单调区间; (Ⅱ)若不等式)()(x g x f ≥在区间),0(+∞上恒成立,求实数k 的取值范围;
22. (本题满分12分)
已知椭圆C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过
)2
2
1(,10,),( (Ⅰ)求椭圆C 的方程
(Ⅱ)直线0133:=--y x l 交椭圆C 与A 、B 两点,若)1,0(T -=+
数学试题答案(文)
1-5 BCCDD 6-10 DBABD 11-12 BA 13. 1 14. 720 15. 4
3π
16. 6 17. (本题满分12分) 解:(Ⅰ))(x f 是R 上的减函数
由0)()(=+-a f a f 可得)(x f 在R 上的奇函数,∴0)0(=f ∴)(x f 在R 上是单调函数,
由)3()0(2)3(-<=-f f f ,所以)(x f 为R 上的减函数。
(Ⅱ)由2)3-(=f ,又由于)3()2(
-<-f x
x
f 又由(Ⅰ)可得32->-x x ,即:02
2>+x
x ,解得:01>-<x x 或
∴不等式的解集为{}01|>-<x x x 或
18.(本题满分12分)
已知函数)2
,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>>+=A x A x f 的图像与y 轴的交点为)1,0(他在y 轴右侧的第一个
最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx 。
(Ⅰ)求)(x f 的解析式及0x 值;
(Ⅱ)若锐角θ满足3
1
cos =θ求)4(θf 的值 解:(Ⅰ)由题意可得:2
1
42,22,2=∴===ωπωππ即T A
)21sin(2)(ϕ+=x x f ,2,1sin 2)0(π
ϕϕ<==由f
得6πϕ=,所以)6
21sin(2)(π+=x x f
2)621sin(2)(00=+=πx x f 所以226210πππ+=+k x ,)(3
240Z k k x ∈+=π
π
又0x 是最小的正数,3
20π
=∴x ;
(Ⅱ)θθπ
θθ2cos 2sin 3)6
2sin(2)4(+=+
=f
3
1
)cos(),2,0(=∈θπθ ,322sin =∴θ,
92
4cos sin 22sin ,971cos 22cos 2==-=-=θθθθθ
9
764979243)4(-=-•
=∴θf
19. (本题满分12分)
如图所示,将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ,要求B 点在AM 上,D 点在AN 上,且对角线MN 过点C,已知AB=3米,AD=2米。
(Ⅰ)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则DN 的长应在什么范围内? (Ⅱ)当DN 的长度为多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值。
解:(Ⅰ)设DN 的长为)0(>x x 米,则)2(+=x AN 米
AM DC
AN DN =,∴x
x AM )
2(3+=,∴x x AM AN S AMPN 2)2(3+=•=
由32>AMPN
S 得32)2(32
>+x
x ,又0>x 得0122032>+-x x
解得:6320><
<x x 或,即DN 的长取值范围是),6()3
2
,0(+∞ (Ⅱ)矩形花坛的面积为
)0(1212
312123)2(322>++=++=+=x x
x x x x x x y 24121232=+•≥x x
当且仅当212
3==
x x
x 即时,矩形花坛的面积最小24平方米 20. (本题满分12分)
已知数列n a 满足)(2
22121N n n
a a a n n ∈=+⋅⋅⋅++- (Ⅰ)求数列{}n a 的通项; (Ⅱ)若n
n a n
b =
求数列{}n b 的前n 项n S 和 解:(Ⅰ)2
1
11=
=a n 时 2
2221321n
a a a a n n =
+⋅⋅⋅++-………………………(1) 时2≥n 2
1
-22212321n a a a a n n =+⋅⋅⋅++-- (2)
(1)-(2)得2121=-n n a 即n n a 21
=
又211=
a 也适合上式∴n n a 2
1= (Ⅱ)n
n n b 2•=
n n n S 223222132⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=, 13222)1(22212+⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅=n n n n n S
1112(12)222212n n n n n S n n +++--=-⋅=--⋅-
22)1(1+-=∴+n n n S
21. (本题满分12分) 已知函数x
x
x g kx x f ln )(,)(== (Ⅰ)求函数x
x
x g ln )(=
的单调区间; (Ⅱ)若不等式)()(x g x f ≥在区间),0(+∞上恒成立,求实数K 的取值范围;
(Ⅲ)求证:
e n n 21
ln 33ln 22ln 4
44<+⋅⋅⋅++ 解:(Ⅰ) )
,(0ln )(>=x x
x
x g ,故其定义域为),0(+∞ ∴2
ln -1)(x x x g =‘
,令)(x g ‘>0,得e x <<0,令)(x g ‘<0,得e x > 故函数x
x
x g ln )(=的单调递增区间为),0(e 单调递减区间为),(+∞e
(Ⅱ) ,ln ,0x x kx x ≥>2ln x x k ≥∴,令2ln )(x
x
x h =
又3
ln 2-1)(x
x x h =‘
,令0)(=x h ‘解得e x = 当x 在),0(+∞内变化时,)(x h ‘
,)(x h 变化如下表
由表知,当e x =时函数)(x h 有最大值,且最大值为
e
2 所以,e
21≥
k 22. (本题满分14分)
已知椭圆C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过
)2
2
1(10,),,( (Ⅰ)求椭圆C 的方程
(Ⅱ)直线0133:=--y x l 交椭圆C 与A 、B
-=+解:设椭圆C 的方程为12
2
=+ny mx
由椭圆C 过点
)2
2
1(10,),,(得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+121m n m ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==121n m ∴椭圆C 的方程为12
22
=+y x (Ⅱ)设),(),,(2211y x B y x A ,由⎪⎩⎪
⎨⎧=+=--12
01332
2y x y x 消去y 整理得01612272=--x x ,由韦达定理得,则⎪⎩
⎪⎨
⎧
-
==+2716
942121
x x x x
-=+0=•TB TA
只需证明0=•TB TA
)1)(1(2121--+=y y x x 1)(212121++++=y y y y x x
而9
1
)(31)31)(31(21212121+
+-=--=x x x x x x y y 3
2
3131212121-+=-+-=+x x x x y y
∴916
)(3421)(2121212121+
+-
=++-+=•x x x x y y y y x x TB TA =09
162716-2732-=+
-=+
)
()(1,1,2211-⋅-=•y x y x TB TA。