高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直学案 苏教版必修2-苏教版高一必

2.1.3 两条直线的平行与垂直
1．理解两条直线平行与垂直的判断条件．(重点)
2．能根据斜率判定两条直线平行与垂直，体会用代数方法研究几何问题的思想．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 两条直线平行 阅读教材P 89，完成下列问题．
若直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2(k 1，k 2均存在)． 【拓展】 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且
B 1
C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l 1与l 2斜率相等，则l 1∥l 2.(×)
(2)若直线l 1∥l 2(两条直线的斜率分别为k 1，k 2)，则k 1＝k 2.(√) (3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．(√)
2．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝________. 【解析】 k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.
【答案】 3
教材整理2 两条直线垂直
阅读教材P 90例2～P 91思考以上部分内容，完成下列问题． 两条直线垂直与斜率的关系
(1)如图2－1－7①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1(k 1，
k 2均存在)．
(2)如图2－1－7②，若l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是垂直．
① ②
图2－1－7
1．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______.
【解析】 直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－1
2，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.
【答案】 2
2．过点(0,1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________.
【导学号：41292081】
【解析】 直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－1
2x ＋1，即x ＋2y
－2＝0.
【答案】 x ＋2y －2＝0
[小组合作型]
两直线平行的判定
判断下列各题中直线l 1与l 2是否平行． (1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1,1)，Q (3,3)；
(2)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5,5)； (3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点C (－1,3)，D (2,0)．
【精彩点拨】 依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2
不存在判断．
【自主解答】 (1)k 1＝1，k 2＝3－1
3－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.
(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.
(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－3
2－－1
＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.
判断两条直线平行的方法
[再练一题]
1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)． 【解】 (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－4
5
，
k 2＝
－7－－38－3＝－4
5
.
因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23
－2－3＝ 3.
因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．
两直线垂直的判定
判断下列各题中直线l 1与l 2是否垂直． (1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；
(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝
⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0.
【精彩点拨】 利用两直线垂直的斜率关系判定． 【自主解答】 (1)k 1＝1
2，k 2＝－2，
∵k 1·k 2＝1
2×(－2)＝－1，
∴l 1与l 2垂直．
(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．
当a ≠0时，直线l 2的斜率为1
a
，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．
(3)k 1＝0－
5453
－0＝－3
4，
k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876
－0＝3
4.
∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．
1．判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．
2．直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．
[再练一题]
2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：
(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；
(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10,40)．
【解】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－－21－－1＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－－12－－2＝1
2，k 1k 2
＝1，故l 1与l 2不垂直．
(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝1
10，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.
(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝
40－40
10－－10
＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.
[探究共研型]
两直线平行与垂直的应用
探究 如图2－1－8，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？
图2－1－8
【提示】 α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．
已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．
【精彩点拨】 利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．
【自主解答】 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.
(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.
∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－3
4(x －2)，
即3x ＋4y －14＝0.
(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.
∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.
∴l 2的方程为y －2＝4
3
(x －2)，即4x －3y －2＝0.
法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求． (2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2，∴4x －3y －2＝0为所求．
两直线平行或垂直的应用
1．求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法，一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程，二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.
2．由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．
[再练一题]
3．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD . (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2
＋1)，且l 1⊥l 2，求
实数a 的值．
【解】 (1)证明：由斜率公式得：
k AB ＝6－310－5＝3
5
， k CD ＝
11－－4－6－3＝－5
3
，
则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2
＋1－－2
0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.
1．下列说法正确的有________．
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
【解析】①中，当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，错误；②中，斜率不存在时，错误；
④错误．只有③正确．
【答案】③
2．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为________.
【导学号：41292082】
【解析】过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k1＝6－3
3－0
＝2－3；
过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率
k2＝2－0
6－2
＝3＋ 2.
因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．
【答案】垂直
3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________.
【解析】由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a＝2.
【答案】 2
4．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为________．
【解析】由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.
【答案】135°
5．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．
【解】直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×(2a)＝0，即a＝0.。