湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题
2019届高三上学期期末数学统一考试(文科)答案
8．B
SΔPF1F2
=
1×2 2
2 ×1 =
2 ，故选 A.
【解析】 a + b = ab ≤ (a + b)2 ，于是 a + b ≥ 4 或 a + b ≤ 0 （舍）， a = b = 2 时取等， 4
故选 B． 9．C
【解析】由题设知，
f
(x)
的周期是
6，则
B(−
5 2
, −2),C( 7 2
π 3
⎤⎥⎥⎦
.
【解析】在正方体中，连 DA1、DB，则 CB1∥DA1，所以∠A1DP 为异面直线 CP 与 BA1
所成角，点
P
与
B
重合，∠A1DP
最大，且最大为
π 3
，当点
P
与
A1
无限接近时，
∠A1DP
趋近于零，故异面直线
CP
与
BA1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所成角的取值范围是 ⎛⎜⎜⎜⎝0,
π 3
⎤⎥⎥⎦
．
2 +1
16． 2 . 【解析】由 a = bcosC + csinB 及正弦定理得，
化简得 m2 = 9k 2 + 8 ．
…………10 分
所以 F1M iF1N = − 8 + m2 − 9k 2 = 0 ，
…………11 分
所以 F1M ⊥ F1N ，
故
∠MF1N
为定值
π 2
．
…………12 分
(注：可以先通过
k
=
0 计算出此时 ∠MF1N
=
π 2
，再验证一般性)
21.（本小题满分 12 分）
湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测文科数学(解析版)
真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】解：由 a，b，c 表示不同直线，������，������表示不同平面，知： 在①中，若������//������，������//������，则由平行公理得������//������，故①正确； 在②中，若������//������，������//������，则������//������或������ ⊂ ������，故②错误； 在③中，若������//������，������//������，则 a 与 b 相交、平行或异面，故③错误； 在④中，若������ ⊂ ������，������ ⊂ ������，������//������，则 a 与 b 平行或异面，故④错误． 故选：A． 在①中，由平行公理得������//������；在②中，则������//������或������ ⊂ ������；在③中，a 与 b 相交、平行或异面；在④中，a 与 b 平行
，������������2
，
∵ 以������1������2为直径的圆经过点 P，
∴⃗⊥⃗ ������������1 ������������2，
∴ ⃗ ⋅ ⃗ = ������2 + ������2 ‒ 2 = 2������2 ‒ 2 = 0
������������1 ������������2
则������(������)在其定义域上为减函数，不符合题意；
对于 B，������(������) = ������������(������ ‒ 1) ‒ ������������(������ + 1)，其定义域为(1, + ∞)，不是奇函数，不符合题意；
2019届长沙市高三统一检测 文科数学试题
③若 a / /，b / / ，则 a / /b ；④若 a ,b , / / ，则 a / /b ．
真命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
x y 0,
6．若
x,
y
满足
x
y
0,
，则 z 2x y 的取值范围是
x 1
文科数学试卷 第 1 页（共 7 页）
mi 值范围是
A． (, 1)
B． (,0)
C． (0, )
D． (1, )
3．下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是
A． f x sin x x
B． f x ln x 1 ln x 1
C． f x ex ex
（I）证明：平面 PAC 平面 ABC ； （Ⅱ）求三棱锥 P ABC 的表面积和体积．
图一
图二
文科数学试卷 第 4 页（共 7 页）
19．（本小题满分 12 分）
为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查. 已知 该校共有学生 960 人，其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为 n 的样本，得到一 周参加社区服务时间的统计数据如下表：
x
y
1 cos 1 sin
（
为参数），过原点 O
且倾斜角为
的直线 l
交
M 于 A ， B 两点.
（Ⅰ）求 l 和 M 的极坐标方程；
（Ⅱ）当
0,
4
时，求
OA
OB
的取值范围.
23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
湖南省长沙市2019届高三上学期月考数学(文)试卷(一)含答案
2019届高三月考试卷（一）数学（文科）第I卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的1、已知集合,则A、B、C、D、【答案】A【解析】【分析】化简集合A,根据交集的定义写出A∩B．【详解】,∴故选：A【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地,集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍．2、在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】B【解析】【分析】利用两个复数代数形式的除法,虚数单位i的幂运算性质化简复数z,求出其共轭复数,从而得到答案、【详解】∵复数===﹣1﹣3i,∴,它在复平面内对应点的坐标为（﹣1,3）,故对应的点位于在第二象限,故选：B．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法,共轭复数,虚数单位i的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的关系,属于基础题．3、执行如图所示的程序图,如果输入,,则输出的的值为A、7B、8C、12D、16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图,依次判断是否满足条件即可得到结论．【详解】若输入a=1,b=2,则第一次不满足条件a＞6,则a=2,第二次不满足条件a＞6,则a=2×2=4,第三次不满足条件a＞6,则a=4×2=8,此时满足条件a＞6,输出a=8,故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行,依次判断是否满足条件是解决本题的关键,比较基础．4、若变量x,y满足约束条件,则的最大值为A、1B、3C、4D、5【解析】【分析】画出满足条件的平面区域,求出A点的坐标,将z=2x+y转化为y=﹣2x+z,结合函数图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域,如图示：,由,解得：A（2,1）,由z=2x+y得：y=﹣2x+z,显然直线y=﹣2x+z过（2,1）时,z最大,故z的最大值是：z=4+1=5,故选：D．【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想、需要注意的是：一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得、5、已知回归直线的斜率的估计值是1．23,样本点的中心为（4,5）,则回归直线的方程是A、 B、C、 D、【答案】C【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息,即可得到结果．【详解】由条件知,,设回归直线方程为,则、∴回归直线的方程是故选：C【点睛】求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系,两者的区别是函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定的关系,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过(,)点,可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为准确值,而实质上是预测值(期望值)．6、在数列中,,数列是以3为公比的等比数列,则等于A、2017B、2018C、2019D、2020【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式得到,再结合对数运算得到结果、【详解】∵,数列是以3为公比的等比数列,∴∴故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式,考查指对运算性质,属于基础题、7、设,且,则等于A、2B、C、8D、【答案】C【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得 asinα+bcosβ=﹣3,再利用诱导公式求得f（2019）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,体现了整体的思想,属于基础题．8、某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为( )A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知,该几何体为圆锥的一半,那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形,所以侧面积为,底面积为,由三视图可知,轴截面为边长为2的正三角形,所以轴截面面积为,则该几何体的表面积为．选D考点：几何体的表面积,三视图9、将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为,则函数的图象A、关于点（,0）对称B、关于直线对称C、关于直线对称D、关于点（）对称【答案】C【解析】【分析】利用平移变换得到,然后研究函数的对称性、【详解】将的图象右移个单位后得到图象的对应函数为,令得,,取知为其一条对称轴,故选：C、【点睛】函数的性质(1) 、(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间、10、若函数且）的值域是［4,＋∞）,则实数的取值范围是A、B、C、D、【答案】A【解析】【分析】先求出当x≤2时,f（x）≥4,则根据条件得到当x＞2时,f（x）=3+log a x≥4恒成立,利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时,,要使得函数的值域为,只需的值域包含于,故,所以,解得,所以实数的取值范围是、故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的应用,利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．11、已知点是双曲线的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】如图,根据双曲线的对称性可知,若是钝角三角形,显然为钝角,因此,由于过左焦点且垂直于轴,所以,,,则,,所以,化简整理得：,所以,即,两边同时除以得,解得或（舍）,故选择D、点睛：求双曲线离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式,利用和转化为关于的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围,在列方程或不等式的过程中,要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用、求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查,解答题不单独求解,穿插于其中,难度中等偏高,属于对能力的考查、12、已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则的最小值是A、B、C、D、【答案】A【解析】【分析】根据条件建立坐标系,求出点的坐标,利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原点建立坐标系,则,设,所以,所以,,故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解决本题的关键．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题,每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題,每小题5分,共20分13、锐角中,,△ABC的面积为,则＝_______。
2019年湖南高三文科数学上第一次联考试题
2019年湖南高三文科数学上第一次联考试题本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！满分150分时量120分钟一．选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.设集合则A∩B=A.ø2.已知函数集合A∩B只含有一个元素，则实数t 的取值范围是（）3.命题“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是（）A.若a+1≤b则a>bB.若a+1bc.若a+1≤b则a≤bD.若a+1>15.已知sinx=2cosx则sin6.在△ABc中，分别是角的对边，若a-b=则边c 的值为（）7.已知平面上不共线的四点,若则8.函数在定义域R内可导，若，且当时，，设a==则（）o时，是单调函数，则满足的所有x之和为______________________________三．解答题：本大题共6个小题共70分，解答应写出文字说明，推理证明过程。
7.（10分）已知函数的最大值是1，其图象经过点m（1）求的解析式（2）已知且求的值。
18.命题P：实数x满足其中a<0，命题q：实数x 满足或且是的必要不充分条件，求a的取值范围19.（12分）在△ABc中，分别为内角所对的边，且满足（1）求角A的大小（2）现给出三个条件：①a=2.②B=45°③c=试从中选出两个可以确定△ABc的条件写出你的选择，并以此为依据求△ABc的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）20.（12分）抛物线上有两点且（1）求证：∥若,求AB所在直线方程。
21.（14分）某企业拟在2019年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2019年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用。
2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合M＝{x∈R|﹣3＜x＜1}，N＝{x∈Z|﹣1≤x≤2}，则M∩N＝（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）在复平面内表示复数（m∈R，i为虚数单位）的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（l，+∞）3．（5分）下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A．f（x）＝sin x﹣x B．f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1）C．f（x）＝D．f（x）＝4．（5分）某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）若x，y满足，则z＝2x﹣y的取值范围是（）A．[0，3]B．[1，3]C．[﹣3，0]D．[﹣3，﹣1] 7．（5分）已知F1，F2是双曲线C：y2﹣x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．2D．18．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝ab，则a+b的最小值为（）A．2B．4C．6D．89．（5分）已知P（，2）是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若|BC|＝6，则f（x）的图象对称中心可以是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）10．（5分）在△ABC中，AB＝10，BC＝6，CA＝8，且O是△ABC的外心，则＝（）A．16B．32C．﹣16D．﹣3211．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点a（1，a）（a＞0）在C上，|AF|＝3．若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是（）A．12B．10C．9D．4.512．（5分）已知f（x）＝|e x﹣1|+1，若函数g（x）＝[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．（5分）设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线x+2y﹣6＝0垂直，则a＝．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（，﹣），则sin2θ＝．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则异面直线DP与CB1所成角的取值范围是．16．（5分）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B，且b＝，则△ABC面积的最大值是．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有a n﹣2a n+1+a n+2＝0，数列{b n}满足b n＝a，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求使b1+b2+…+b n＞2018成立的最小正整数n的值．18．（12分）已知三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（Ⅰ）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的表面积和体积．19．（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：（Ⅰ）求m，n；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时问是否超过1小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调査6名学生，试估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：K2＝20．（12分）已知椭C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、石焦点分别为F1、F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、石顶点为A1、A2，过A1、A2分别作x轴的垂线l1、l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx+m与l1、l2交于M、N两点，求证：∠MF1N为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax﹣，g（x）＝xlnx+（a﹣1）x+．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）记f（x）的零点为x0，g（x）的极小值点为x1，当a∈（1，4）时，求证：x0＞x1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为（φ为参数），过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．（Ⅰ）求l和M的极坐标方程；（Ⅱ）当α∈（0，]时，求|OA|+|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a 的取值范围．2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由集合N＝{x∈Z|﹣1≤x≤2}，得到集合N＝{﹣1，0，1，2}，又集合M＝{x∈R|﹣3＜x＜1}，则M∩N＝{﹣1，0}．故选：B．2．【解答】解：∵表示复数＝的点位于第二象限，∴，解得m＞0．∴实数m的取值范围是（0，+∞）．故选：C．3．【解答】解：根据题意，若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，依次分析选项：对于A，f（x）＝sin x﹣x，有f（﹣x）＝﹣（sin x﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，其导数f′（x）＝cos x﹣1≤0，则f（x）在其定义域上为减函数，不符合题意；对于B，f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1），其定义域为（1，+∞），不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝，有f（﹣x）＝＝＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于D，f（x）＝，有f（﹣x）＝＝﹣（）＝﹣f（x），为奇函数，其导数f′（x）＝＞0，则f（x）在其定义域上为增函数，符合题意．故选：D．4．【解答】解：设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选：B．5．【解答】解：由a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，知：在①中，若a∥c，b∥c，则由平行公理得a∥b，故①正确；在②中，若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故②错误；在③中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故③错误；在④中，若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故④错误．故选：A．6．【解答】解：不等式组表示的可行域如图所示：联立方程组，解得A（0，0）；联立方程组，解得B（1，﹣1）；化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×0﹣0＝0；当直线y＝2x﹣z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×1﹣（﹣1）＝3；∴z＝2x﹣3y的取值范围是[0，3]．故选：A．7．【解答】解：F1，F2是双曲线C：y2﹣x2＝1的上、下焦点，∴F1（0，），F2（0，﹣），一条渐近线方程为y＝x，设点P（m，m），∴＝（﹣m，﹣m），＝（﹣m，﹣﹣m），∵以F1F2为直径的圆经过点P，∴⊥，∴•＝m2+m2﹣2＝2m2﹣2＝0，解得m＝±1，即点P到y轴的距离为1，∴△PF1F2的面积S＝|F1F2|×|x P|＝×2×1＝，故选：A．8．【解答】解：在等式a+b＝ab两边同时除以ab，得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当a＝b时，等号成立，所以，a+b的最小值为4．故选：B．9．【解答】解：由题意有T＝6，当x＝时函数取最大值，即f（x）的图象对称中心为（++，0），即f（x）的图象对称中心为：（3k+2，0），k∈Z，当k＝0时，f（x）的图象对称中心可以是（2，0），故选：C．10．【解答】解：∵AB2＝BC2+CA2∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，∴外心O是AB的中点，•＝•（）＝•（﹣）＝•﹣2＝﹣×82＝﹣32故选：D．11．【解答】解：因为A（1，a）（a＞0）在C上，所以a2＝8，解得a＝2或a＝﹣2（舍去），故直线AF的方程为y＝﹣2（x﹣2），由消去y，得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4，∴B（4，﹣4）则|AB|＝．故选：C．12．【解答】解：若g（x）＝[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a＝[f（x）﹣2][f（x）+a]有三个零点，即g（x）＝[f（x）﹣2][f（x）+a]＝0有三个根，即f（x）＝2或f（x）＝﹣a．当f（x）＝2时，由|e x﹣1|+1＝2，即|e x﹣1|＝1，则e x﹣1＝1或e x﹣1＝﹣1，即e x＝2或e x＝0，则x＝ln2或x无解，此时方程只有一个解，则f（x）＝﹣a．有两个不同的根，作出f（x）的图象如图：由图象知，则1＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣2，﹣1），故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．【解答】解：由y＝ax2，得y′＝2ax，y′|x＝1＝2a，∵曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线x+2y﹣6＝0垂直，∴2a＝2，a＝1．故答案为：1．14．【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（，﹣），而点（，﹣）在单位圆上，∴sinθ＝﹣，cosθ＝，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣，故答案为：﹣．15．【解答】解：∵CB1∥DA1，∴∠A1DP为异面直线DP与CB1所成角，当P与B重合时，∠A1DP＝，当P与A1重合时，∠A1DP＝0，当P是A1B中点时，∠A1DP＝，∴异面直线DP与CB1所成角的取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．16．【解答】解：由正弦定理得到：sin A＝sin C sin B+sin B cos C，∵在△ABC中，sin A＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C），∴sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝sin C sin B+sin B cos C，∴cos B sin C＝sin C sin B，∵C∈（0，π），sin C≠0，∴cos B＝sin B，即tan B＝1，∵B∈（0，π），∴B＝，由余弦定理得到：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即2＝a2+c2﹣ac，∴2+ac＝a2+c2≥2ac，即ac≤＝2+，当且仅当a＝c，即a＝c＝时取“＝”，∵S△ABC＝ac sin B＝ac，∴△ABC面积的最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}满足a n﹣2a n+1+a n+2＝0，即a n+a n+2＝2a n+1，则数列{a n}为等差数列，又由a1＝3，a3＝7，则数列{a n}的公差d＝＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2n+1；b n＝＝2n+1，（Ⅱ）根据题意，设S n＝b1+b2+…+b n，由（Ⅰ）的结论，b n＝＝2n+1，则S n＝b1+b2+…+b n＝（21+1）+（22+1）+……+（2n+1）＝（21+22+23+……+2n）+n＝2n+1+n﹣2，若b1+b2+…+b n＞2018，则2n+1+n＞2020，且n∈N，则n≥10，即使b1+b2+…+b n＞2018成立的最小正整数n的值为10．18．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点O，连结OP，OB，由题意得P A⊥P A，BA⊥BC，PC＝P A＝PB＝BC＝AC＝，OA＝OC＝OP＝OB＝1，PO⊥AC，BO⊥AC，∴∠POB是二面角P﹣AC﹣B的平面角，PO2+BO2＝PB2，∴PO⊥BO，∴∠POB＝90°，∴平面P AC⊥平面ABC；解：（Ⅱ）三棱锥P﹣ABC的表面积为：S＝S△ABC+S△P AB+S△P AC+S△PBC＝+++＝+++＝2+．三棱锥P﹣ABC的体积为：V＝＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）根据分层抽样法，抽样比例为＝，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（Ⅱ）根据题意完善2×2列联表，如下；计算K2＝≈0.6857＜3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（Ⅲ）参加社区服务时间超过1小时的频率为＝，用频率估计概率，从该校学生中随机调査6名学生，估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为6×＝4（人）．20．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，即＝，∵|PF1|+|PF2|＝2a，|AF2|＝，AF2⊥F1F2，∴|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2，即（2a﹣）2＝（）2+（2c）2＝（）2+（）2，解得a＝3，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝8，∴椭圆方程为+＝1，（Ⅱ）证明：由题设知l1：x＝﹣3，l2：x＝3，l与C的方程联立可得，消去y可得（1+9k2）x2+18kmx+9（m2﹣8）＝0，（*），∵l与C相切，∴“*”中△＝182k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣8）＝0，∴m2﹣9k2＝8，l与11，l2联立得M（﹣3，﹣3k+m），N（3，3k+m），又F1（﹣1，0），∴•＝（﹣2，﹣3k+m）•（4，3k+m）＝﹣8+m2﹣9k2＝﹣8+8＝0∴MF1⊥NF1，即∠MF1N＝，故∠MF1N为定值，定值为．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝+a+＝（x＞0），若a≥0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；若a＜0，则ax2+x+1＝0一正一负两根，且正根是，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；综上，a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（Ⅱ）g（x）＝xlnx+（a﹣1）x+，g′（x）＝lnx﹣+a（x＞0），故g′（x）在（0，+∞）递增，又g′（1）＝a﹣1＞0，g′（）＝﹣ln2﹣4+a＜0，故g′（x）存在零点x2∈（，1），且g（x）在（0，x2）递减，在（x2，+∞）递增，x2即是g（x）的极小值点，故x2＝x1，由g′（x1）＝0知，lnx1﹣+a＝0，故f（x1）＝lnx1+ax1﹣＝lnx1+x1（﹣lnx1）﹣＝（1﹣x1）lnx1，又x1＝x2∈（，1），故f（x1）＝（1﹣x1）lnx1＜0＝f（x0），由（Ⅰ）知，a＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，故x0＞x1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）过原点O且倾斜角为α的直线l的方程为y＝tanαx，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ＝tanα•ρcosθ，即θ＝α．∵曲线M的参数方程为（φ为参数），∴曲线M的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，∴曲线M的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0．（2）当α＝0时，直线l的直线坐标方程为x＝0，直线l与圆M相切，|OA|＝|OB|＝1，不成立；当时，|OA|+|OB|＝+＝2，∴当α∈（0，]时，|OA|+|OB|的取值范围是（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）＝|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。
【100所名校】2019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第三次调研考试数学(文科)试题(解析版)
好教育云平台 名校精编卷 第1页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共6页）2019届湖南省长沙市长郡中学 高三上学期第三次调研考试数学（文科）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．已知集合A ={y|y =√x 2−2x +2}，集合B ={x|2x−3x+1≤0}，全集为U ＝R ，则(C U A)∩B 为 A ．(−1,2] B ．(2,3] C ．[−1,1) D ．(−1,1) 2．设复数z 的共轭复数为z̅，且满足z +z̅=4，复数z 对应点在直线2x +y +4=0上，则复数z 1+i （i 为虚数单位）所在的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知下列两个命题 p 1：存在正数a ，使函数y =2x +a ·2−x 在R 上为偶函数； p 2：函数y =sinx +cosx +√2无零点，则在命题q 1:p 1∨p 2,q 2:p 1∧p 2,q 3:(¬p 1)∨p 2和q 4:p 1∧(¬p 2)中，真命题是 A ．q 1，q 4 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 3 D ．q 2，q 4 4．已知点A （1，0），点B （x ，y ）（x ，y ∈R ），若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤1，则2y−x ≥1的概率为 A ．12+14π B ．14+1π C ．12−12π D ．14−12π 5．已知等比数列{a n }满足8a 4−a 7=0，a 1,a 2+1,a 3且成等差数列．若数列{b n }满足b n+1=a n +b n （n ∈N*），且b 1=1，则数列{b n }的通项公式b n = A ．21−n B ．2n −1 C ．2n +1 D ．22n +16．已知x ∈R ，y ∈R ，且x ，y 满足{x +2≥y x +y ≤4y ≥0 ，若z =x +2y 的最大值为a ，最小值为b ，则a +b 的值为 A ．1 B ．3 C ．5 D ．8 7．沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A ，B ，C ，D ，E ，F 尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D 或E 答对了；同学乙猜测：C 不可能答对；同学丙猜测：A ，B ，F 当中必有1人答对了；同学丁猜测：D ，E ，F 都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．已知函数f(x)=√3sinx +cosx ，把函数f(x)的图象向右平移π3个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g(x)的图象，当x ∈[0,π2]时，方程g(x)−k =0有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为 A ．[1,√3] B ．[√3,2) C ．[1,2] D ．[1,2) 9．已知点M 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，椭圆的长轴长为8√2，离心率e =√22，左、右焦点分别为F 1、F 2，其中B （3，2），则|MF 1|+|MB|的最小值为 A ．6√2−√2 B ．6√2−√3 C ．4√2 D ．8√2−√5 10．已知a,b,c >0，M =(abc)log 2a+log 2b+log 2c ，N =sin(log 2b c ·log 2c a ·log 2a b )， P =a log 2b c ·b log 2c a ·c log 2a b ，则 A ．M ≥N ≥P B ．M ≥P ≥N C ．P ≥M ≥N D ．P ≥N ≥M 11．已知函数f(x)=2x −22x +2,g(x)=k(x −1)3，若f(x)的图象与g(x)的图象有n 个不同的交点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n )，则（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ）＋（y 1＋y 2＋y 3＋…＋y n ）＝ A ．n B ．2n C ．n +2 D ．n 2 12．设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，两条渐近线分别为l 1、l 2，过F 作平行于l 1的直线依次交双曲线C 和直线l 2于点A 、B ，若FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈(2,3)，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1,√2) B ．(√62,√2) C ．(√2,√3) D ．(√62,√3) 二、填空题 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页）13．已知在ΔABC 中，AB =AC =2,∠BAC =120∘，其中D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =____．14．各条棱长均为√2的四面体的体积为____．15．已知首项为2的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且当n≥2时，3S n －2＝a n 2－3S n －1．若S n2n ＋1≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为_______________．16．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2a −x)=2b −f(x)， ℎ(x +a)=bx 4+x 2sinx+8bx 4+8，设y =ℎ(x)与y =f(x)图象的交点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x 2m ,y 2m )，若∑(x i +y i )2m i=1=4m ，则a 2+b 2的最小值为____．三、解答题17．已知ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ΔABC 的面积为S ΔABC ，且S ΔABC sin2B =ac ．（Ⅰ）若b =2，求ΔABC 的外接圆的半径；（Ⅱ）若c =5，(sinC sinA )2=53sin 2B ，AD 为BC 边上的中线，求ΔABD 的周长．18．为了改善市民的生活环境，长沙某大型工业城市决定对长沙市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现长沙市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N （50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在［50，60］内，可以认为该企业治污水平基本达标．（Ⅰ）如图为长沙市的某工业区所有被调査的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（Ⅱ）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在［18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量X ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=68.3％， P(μ−2σ<X <μ+2σ)=95.4％，P(μ−3σ<X <μ+3σ)=99.7％）19．如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在平面，且AB =2AD =2， (Ⅰ)求证：； (Ⅱ)设平面与半圆弧的另一个交点为, ①求证：AB //AB ; ②若，求三棱锥E-ADF 的体积． 20．折纸是一项艺术，可以折出很多数学图形．将一张圆形纸片放在平面直角坐标系中，圆心B （－1，0），半径为4，圆内一点A 为抛物线y 2=4x 的焦点．若每次将纸片折起一角，使折起部分的圆弧的一点A ′始终与点A 重合，将纸展平，得到一条折痕，设折痕与线段A ′B 的交点为P ． （Ⅰ）将纸片展平后，求点P 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）已知过点A 的直线l 与轨迹C 交于R ，S 两点，当l 无论如何变动，在AB 所在直线上存在一点T ，使得TR ⃗⃗⃗⃗⃗ |TR ⃗⃗⃗⃗⃗ |+TS ⃗⃗⃗⃗⃗ |TS ⃗⃗⃗⃗⃗ |所在直线一定经过原点，求点T 的坐标． 21．已知函数f(x)=ax 2+(2−a)x −lnx(a ∈R )，又函数g(x)=13x 3+m 2x 2+x +1的两个极值点为x 1,x 2(x 1<x 2)满足|x 1+x 2|≥3√22；x 1,x 2恰为ℎ(x)=lnx −f(x)+bx 的零点． （Ⅰ）当a ∈(−2,0)时，求f(x)的单调区间； （Ⅱ）当a =1时，求证：(x 1−x 2)ℎ′(x 1+x 22)≥2ln2−43．好教育云平台 名校精编卷 第5页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第6页（共6页）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα (α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C 1，C 2的公共点为A,B .（Ⅰ）求直线AB 的斜率；（Ⅱ）若点C,D 分别为曲线C 1，C 2上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形ACBD 的面积.23．已知函数f(x)=|ax +1|，若不等式f(x)≤a 的解集为[−32,12]．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若存在x ∈R ，使不等式f(x)<a|x|+a +k 成立，求k 的取值范围．好教育云平台 名校精编卷答案 第1页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第2页（共16页）2019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第三次调研考试数学（文科）试题数学 答 案参考答案1．D【解析】【分析】化简集合A ，B ，然后求出A 的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵A ={y|y =√x 2−2x +2}=[1，+∞) ，∴C u A =(−∞，1)又B ={x|2x−3x+1≤0}=(−1，32]∴(C u A )∩B =(−1,1)故选：D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．C【解析】【分析】设复数z=a+bi （a ，b ∈R ），由题意可得{a +bi +a −bi =42a +b +4=0 ，从而得到z ，利用除法运算可得z 1+i ，从而得到所在的象限.【详解】设复数z=a+bi （a ，b ∈R ）则z̅= a-bi∴{a +bi +a −bi =42a +b +4=0 ,{a =2b =−8 ,∴z =2−8i∴z 1+i =(2−8i )(1−i )(1+i )(1−i )=−6−10i 2=−3−5i∴复数z 1+i （i 为虚数单位）所在的象限为第三象限 故选：C 【点睛】 复数的运算，难点是乘除法法则，设z 1=a +bi,z 2=c +di(a,b,c,dR)，则z 1z 2=(a +bi)(c +di)=ac −bd +(ad +bc)i ，z 1z 2=a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)i c 2+d 2. 3．A 【解析】 【分析】 分别判断出p ，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可． 【详解】 命题p 1：当a=1时，y =2x +2−x 在R 上为偶函数，故命题为真命题； 命题p 2：y =sinx +cosx +√2=√2sin (x +π4)+√2，x =−3π4显然是函数的零点，故命题为假命题， ∴¬p 1为假命题，¬p 2为真命题， ∴p 1∨p 2为真命题，p 1∧p 2为假命题，(¬p 1)∨p 2为假命题，p 1∧(¬p 2)为真命题， 故选：A 【点睛】 本题考查了复合命题真假的判定，考查函数的奇偶性问题以及三角函数的零点问题，是一道基础题． 4．D 【解析】 【分析】 本题是几何概型的求法，首先分别求出事件对应区域面积，利用面积比求概率． 【详解】 ∵点A （1，0），点B （x ，y ）（x ，y ∈R ），|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤1 ∴(x −1)2+y 2≤1表示以（1,0）为圆心，1为半径的圆面（包括边界）， ∵2y−x ≥1，∴y≥x ， 如图所示：好教育云平台 名校精编卷答案 第3页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共16页）由几何概型的公式得到14π×12−12×12π×12=14−12π故选：D【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.5．B【解析】【分析】利用题意可得b n+1−b n =2n ，再利用累加法即可得到通项公式b n .【详解】设等比数列的公比为q ，∵等比数列{a n }满足8a 4−a 7=0，∴a 7a 4=q 3=8，∴q =2，又a 1,a 2+1,a 3成等差数列∴2(a 2+1)=a 1+a 3，即2(2a 1+1)=a 1+4a 1，∴a 1=2，∴a n =2n ，∴b n+1−b n =2n∴b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=2n−1+2n−2+⋯+2+1=2n −1. 故选：B 【点睛】 本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是构造新等比数列的方法，注意新数列的首项与原数列首项的关系. 6．C 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】 由约束条件{x +2≥y x +y ≤4y ≥0 作出可行域如图， 化目标函数z =x +2y 为y=−12x+z 2， 由图可知，当直线y=−12x+z 2过（-2，0）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为−2； 当直线y=−12x+z 2过（1，3）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为7． ∴a=7，b=﹣2，则a+b=5． 故选：C ． 【点睛】 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 7．D 【解析】 【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．故选：D．【点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．8．D【解析】【分析】化简函数为f(x)= 2sin(x+π6)，由平移变换与伸缩变换得到g(x)=2sin(2x−π6)，然后数形结合可得实数k的取值范围.【详解】函数f(x)=√3sinx+cosx=2sin(x+π6)，把函数f(x)的图象向右平移π3个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g(x)=2sin(2x−π6)当x∈[0,π2]时，方程g(x)−k=0有两个不同的实根等价于函数g(x)=2sin(2x−π6)与y=k有两个不同交点，令t=2x−π6∈[−π6，5π6]，即y=2sint与y=k有两个不同交点，结合图象可知：1≤k<2故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)⋅f(b)< 0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9．D【解析】【分析】先求出椭圆的方程，借助于椭圆的定义把|MF1|+|MB|=2a﹣（|MF2﹣MB|），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案【详解】由题意可得：{2a=8√2e=√22，解得{a=4√2b=4∴椭圆方程为：x232+y216=1|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|）≥2a﹣|BF2|=8√2﹣√5，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值8√2−√5．故选：D．【点睛】本题考查了与椭圆有关的最值的求法，考查了椭圆定义，考查了等价转化思想方法，是中档题．10．B【解析】【分析】通过取特值的方法排除掉三个选项即可.【详解】∵知a,b,c>0，M=(abc)log2a+log2b+log2c，N=sin(log2bc·log2ca·log2ab)，P=a log2b c·b log2c a·c log2a b，∴当a=b=c=1时，M=1，N=0，P=1，排除A，D；当a=4,b=2,c=1时，M=83，P=1，M＞P，排除C；故选：B【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查排除法、对数性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．A好教育云平台名校精编卷答案第5页（共16页）好教育云平台名校精编卷答案第6页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第7页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第8页（共16页）【解析】【分析】通过f (x )+f (2−x )=0可知y=f （x ）关于点（1，0）对称，y=g （x ）也关于点（1，0）对称，从而曲线y=f （x ）与y=g （x ）图象的交点关于点（1，0）对称，计算即得结论．【详解】∵f(x)=2x −22x +2∴f (x )+f (2−x )=2x −22x +2+22−x −222−x +2=2x −22x +2+22−2×2x 22+2×2x =2x −22x +2+2−2x2+2x =0即f (x )+f (2−x )=0，∴函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，g(x)=k(x −1)3的图象也关于点(1,0)中心对称，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n =n ，y 1＋y 2＋y 3＋…＋y n =0故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，属于中档题．12．B【解析】【分析】设直线l 的方程为：y =b a (x −c)，分别求出y A =b 2(b c −c a )，y B =−bc 2a ，又λ=|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|y B ||y A |，从而得到双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意可得：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线方程为：y =±b a x ，设直线l 的方程为：y =b a (x −c)，则直线l 与双曲线的另一条渐近线的交点为：B （c 2，−bc 2a ），联立方程：{x 2a 2−y 2b 2=1y =b a (x −c)解得y A =b 2(b c −c a )∴λ=|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|y B ||y A |=bc 2ab 2(c a −a c )=e e−1e∈(2,3) 解得：e ∈(√62,√2)故选：B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得a,c 的值，直接代入公式e =c a 求解； （2）列出关于a,b,c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2=a 2−c 2，消去b 后转化成关于e 的方程(或不等式)求解． 13．−12 【解析】 【分析】 由题意可知AB →•AC →=﹣2，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB →+AC →)∙(12AC →−AB →)，从而得到结果. 【详解】 ∵在ΔABC 中，AB =AC =2,∠BAC =120∘， ∴AB →•AC →=2×2×（﹣12）=﹣2 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB →+AC →)∙(12AC →−AB →)=12(12AB →•AC →−AB →2+12AC →2−AB →•AC →), =12(−1−4+2+2)=−12. 故答案为：−12 【点睛】 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 14．13 【解析】 【分析】 分别求出四面体的底面积和高即可得到结果. 【详解】 在四面体ABCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于点H ， 则H 为底面正三角形BCD 的重心， AH=√AB 2−BH 2=23√3，好教育云平台 名校精编卷答案 第9页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第10页（共16页）S △BCD =12×BD×BC×√32=12×√2×√2×√32=√32，V A ﹣BCD =13×√32×2√33=13，故答案为：13【点睛】本题考查正四面体体积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.15．[1516，+∞)【解析】【分析】由a n 与S n 的关系，利用作差法，求得a n 的通项公式，进而求得S n ，将其代入不等式，由于是恒成立问题，所以由不等式的性质求出其左侧式子的最大值，即可求出m 的范围.【详解】由题意可得：{3S n −2=a n 2−3S n−13S n+1−2=a n+12−3S n ，两式相减可得：a n+12−a n 2−3a n+1−3a n =0，因式分解可得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −3)=0，由与数列为正项数列，所以a n+1−a n −3=0，故数列{a n }为以2为首项，3为公差的等差数列，所以S n =n(3n+1)2，所以n(3n+1)2n+2≤m 恒成立，即其最大值小于等于m .由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n 较大时，函数值越来越小，n 较小时存在最大值，经代入验证，当n =3时有最大值1516，所以m ≥1516.【点睛】本题考查数列的通项以及前n 项和的求法，结合函数的恒成立问题，考查数列的最值，可根据函数特点进行推理求得最值.16．2【解析】【分析】由已知可得f （x ）和h （x ）的图象均关于（a ，b ）对称，故每一组对称点有横坐标和为2a ，纵坐标和为2b ，进而可得a+b=2，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【详解】∵f （2a ﹣x ）=2b ﹣f （x ），可知f （x ）的图象关于（a ，b ）对称，又∵h （x+a ）=bx 4+x 2sinx+8bx 4+8=b+sinxx 2+8x 2•设g （x ）=sinxx 2+8x 2，则g （﹣x ）=﹣g （x ），即g （x ）为奇函数，∴y=h （x ）的图象关于（a ，b ）对称， ∴对于每一组对称点有横坐标和为2a ，纵坐标和为2b ， ∴∑2m i=1（x i +y i ）=2am+2bm=4m ， ∴a+b=2， 故a 2+b 2=a 2+（2﹣a ）2=2a 2﹣4a+4=2（a ﹣1）2+2≥2 当且仅当a=b=1时，a 2+b 2取最小值2． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力与数形结合的意识，属于中档题. 17．（Ⅰ）4√1515；（Ⅱ）ΔABD 的周长为7+2√6． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用正弦形式的面积公式可得12acsinB =2acsinBcos B ，解得cos B =14，结合同角关系得到sinB =√154，再利用正弦定理可得ΔABC 的外接圆的半径；（Ⅱ）由（Ⅰ ）结合正弦定理可得a =4，利用余弦定理解得AD ，从而得到ΔABD 的周长． 【详解】 （Ⅰ）∵S ΔABC sin2B =ac ∴12acsinB =2acsinBcos B ,又sinB ≠0 ∴cos B =14，∴sinB =√154 由正弦定理可得：2R=b sinB =√154，解得：R=4√1515． （Ⅱ）∵(sinC sinA )2=53sin 2B ，c =5，sinB =√154 ∴(c a )2=53(√154)2，即a =4， 由余弦定理可得：AD =√AB 2+DB 2−2AB ∙DBcosB =2√6 ∴ΔABD 的周长为5+2+2√6=7+2√6 【点睛】 解三角形的基本策略： 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．（Ⅰ）基本达标；（Ⅱ）5092万元．【解析】【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图计算平均数；（Ⅱ）利用正态分布分别计算标准分在［18，34）内的化工企业与标准分低于18分的化工企业的概率，从而得到结果.【详解】（Ⅰ）该工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值：(10×0.0050+30×0.0125+50×0.0150+70×0.010+90×0.0075)×20=51，故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标；（Ⅱ）化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162）标准分在［18，34）内的概率，P(18≤X<34)=0.954−0.6832=0.1355∴60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失为:10000×0.6×0.1355×4=3252万元，标准分低于18分的概率，P(X<18)=1−0.9542=0.023，∴10000×0.8×0.023×10=1840万元故长沙市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有3252+1840=5092万元【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布的应用问题，是中档题．19．(1)通过证明AE⊥面BCE，进而得到线线垂直的证明。
湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题(解析版)
长沙市2019届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合N，然后对集合M,N取交集即可得到答案.【详解】,则故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化简为a+bi的形式，然后根据复数对应点位于第二象限，即可得到m范围.【详解】,复数对应的点为（），若点位于第二象限，只需m>0,故选：C.【点睛】本题考查复数的有关概念和复数的商的运算，属于基础题.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数，选项B，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项C，因为f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故排除；选项A，函数为奇函数且f’(x)=cosx-1可知函数在定义域上单调递减，故排除；选项D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断方法，属于基础题.4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，根据几何概型的概率公式可求．【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选：B．【点睛】本题考查几何概型，先要判断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题．5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】对于①,由平行公理4,可知正确；对于②，若a⊂α，显然结论不成立，故②错误；对于③，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故③错误；对于④，a∥β，a⊂α，b⊂β，a与b平行或异面，故④错误；真命题的个数为1个，故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6.若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件画出可行域如图，即y=2x-z,由图得当z＝2x﹣y过点O（0，0）时，纵截距最大，z最小为0．当z＝2x﹣y过点B（1，-1）时，纵截距最小，z最大为3．故所求z＝2x﹣y的取值范围是故选：A．【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，根据点P在渐近线上和圆上，得点P 坐标，从而可得三角形的面积.【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，，故选：.【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简单应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可直接得到所求最小值.【详解】，于是或（舍），当时取等号，则a+b的最小值为4，故选.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.9.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得函数周期，从而得点B,C的坐标，，即是图象的对称中心.【详解】因为P是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两最低点，可知|BC的周期，半个周期为3，则得，，由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，故选：.【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属于基础题.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.【详解】法一：因为在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，，由抛物线的定义，得，所以.故选.法二：直线过焦点，，又，所以，故选.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算能力. 12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(文科)试题(解析版)
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，全集为U＝R，则为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.设复数的共轭复数为，且满足，复数对应点在直线上，则复数（i为虚数单位）所在的象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】由题意可得，从而得到，利用除法运算可得，从而得到所在的象限.【详解】设复数z=a+bi（a，b∈R）则a-bi∴,,∴∴∴复数（i为虚数单位）所在的象限为第三象限故选：C【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.已知下列两个命题p1：存在正数a，使函数在R上为偶函数；p2：函数无零点，则在命题和中，真命题是A. q1，q4B. q2，q3C. q1，q3D. q2，q4【答案】A【解析】【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【详解】命题：当a=1时，在R上为偶函数，故命题为真命题；命题：，显然是函数的零点，故命题为假命题，∴为假命题，为真命题，∴为真命题，为假命题，为假命题，为真命题，故选：A【点睛】本题考查了复合命题真假的判定，考查函数的奇偶性问题以及三角函数的零点问题，是一道基础题．4.已知点A（1，0），点B（x，y）（x，y∈R），若，则的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题是几何概型的求法，首先分别求出事件对应区域面积，利用面积比求概率．【详解】∵点A（1，0），点B（x，y）（x，y∈R），∴表示以（1,0）为圆心，1为半径的圆面（包括边界），∵，∴y≥x，如图所示：由几何概型的公式得到故选：D【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.5.已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足（n∈N*），且，则数列的通项公式A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用题意可得，再利用累加法即可得到通项公式.【详解】设等比数列的公比为，∵等比数列满足，∴，∴，又成等差数列∴，即，∴，∴，∴∴.故选：B【点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是构造新等比数列的方法，注意新数列的首项与原数列首项的关系.6.已知x∈R，y∈R，且x，y满足，若的最大值为a，最小值为b，则的值为A. 1B. 3C. 5D. 8【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=x+，由图可知，当直线y=x+过（-2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2；当直线y=x+过（1，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．∴a=7，b=﹣2，则a+b=5．故选：C．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7.沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D或E答对了；同学乙猜测：C不可能答对；同学丙猜测：A，B，F当中必有1人答对了；同学丁猜测：D，E，F都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．故选：D．【点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．8.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数为，由平移变换与伸缩变换得到，然后数形结合可得实数的取值范围. 【详解】函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数当时，方程有两个不同的实根等价于函数与有两个不同交点，令t，即与有两个不同交点，结合图象可知：故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9.已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出椭圆的方程，借助于椭圆的定义把|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案【详解】由题意可得：，解得∴椭圆方程为：|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|）≥2a﹣|BF2|=8﹣=，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值．故选：D．【点睛】本题考查了与椭圆有关的最值得求法，考查了椭圆定义，考查了等价转化思想方法，是中档题．10.已知，，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过取特值的方法排除掉三个选项即可.【详解】∵知，，，，∴当时，，，排除A，D；当时，，，排除C；故选：B【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查排除法、对数性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.已知函数，若的图象与的图象有n个不同的交点，则（x1＋x2＋x3＋…＋x n）＋（y1＋y2＋y3＋…＋y n）＝A. nB. 2nC. n+2D.【答案】A【解析】【分析】通过可知y=f（x）关于点（1，0）对称，y=g（x）也关于点（1，0）对称，从而曲线y=f（x）与y=g（x）图象的交点关于点（1，0）对称，计算即得结论．【详解】∵∴即，∴函数的图象关于点中心对称，的图象也关于点中心对称，∴x1＋x2＋x3＋…＋x n=n，y1＋y2＋y3＋…＋y n=0故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，属于中档题．12.设双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为l1、l2，过F作平行于l1的直线依次交双曲线C和直线l2于点A、B，若，，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设直线l的方程为：，分别求出，又，从而得到双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意可得：双曲线C：的渐近线方程为：，设直线l的方程为：，则直线l与双曲线的另一条渐近线的交点为：B（），联立方程：解得∴解得：故选：B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知在中，，其中D为BC的中点，E为AC的中点，则____．【答案】【解析】【分析】由题意可知•=﹣2，又，从而得到结果.【详解】∵在中，，∴•=2×2×（﹣）=﹣2,.故答案为：【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14.各条棱长均为的四面体的体积为____．【答案】【解析】【分析】分别求出四面体的底面积和高即可得到结果.【详解】在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，则H为底面正三角形BCD的重心，AH==，S△BCD=×BM×DC=××=，V A﹣BCD=××=，故答案为：【点睛】本题考查正四面体体积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.15.已知首项为2的正项数列{}的前n项和为，且当n≥2时，3－2＝－3．若≤m恒成立，则实数m的取值范围为_______________．【答案】【解析】【分析】由与的关系，利用作差法，求得的通项公式，进而求得，将其代入不等式，由于是恒成立问题，所以由不等式的性质求出其左侧式子的最大值，即可求出m的范围.【详解】由题意可得：，两式相减可得：，因式分解可得：，由与数列为正项数列，所以，故数列为以2为首项，3为公差的等差数列，所以，所以恒成立，即其最大值小于等于m.由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n较大时，函数值越来越小，n较小时存在最大值，经代入验证，当时有最大值，所以.【点睛】本题考查数列的通项以及前n项和的求法，结合函数的恒成立问题，考查数列的最值，可根据函数特点进行推理求得最值.16.已知定义在R上的函数满足，，设与图象的交点坐标为，若，则的最小值为____．【答案】2【解析】【分析】由已知可得f（x）和h（x）的图象均关于（a，b）对称，故每一组对称点有横坐标和为2a，纵坐标和为2b，进而可得a+b=2，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【详解】∵f（2a﹣x）=2b﹣f（x），可知f（x）的图象关于（a，b）对称，又∵h（x+a）==b+•设g（x）=，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，∴y=h（x）的图象关于（a，b）对称，∴对于每一组对称点有横坐标和为2a，纵坐标和为2b，∴（x i+y i）=2am+2bm=4m，∴a+b=2，故a2+b2=a2+（2﹣a）2=2a2﹣4a+4=2（a﹣1）2+2≥2当且仅当a=b=1时，a2+b2取最小值2．故答案为：2．【点睛】本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力与数形结合的意识，属于中档题.三、解答题（共70分。
【100所名校】2019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第三次调研考试数学(文科)试题(解析版)
好教育云平台 名校精编卷 第1页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共6页） 2019届湖南省长沙市长郡中学 高三上学期第三次调研考试数学（文科）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．已知集合A ={y|y =√x 2−2x +2}，集合B ={x|2x−3x+1≤0}，全集为U ＝R ，则(C U A)∩B 为 A ．(−1,2] B ．(2,3] C ．[−1,1) D ．(−1,1) 2．设复数z 的共轭复数为z̅，且满足z +z̅=4，复数z 对应点在直线2x +y +4=0上，则复数z 1+i （i 为虚数单位）所在的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知下列两个命题 p 1：存在正数a ，使函数y =2x +a ·2−x 在R 上为偶函数； p 2：函数y =sinx +cosx +√2无零点，则在命题q 1:p 1∨p 2,q 2:p 1∧p 2,q 3:(¬p 1)∨p 2和q 4:p 1∧(¬p 2)中，真命题是 A ．q 1，q 4 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 3 D ．q 2，q 4 4．已知点A （1，0），点B （x ，y ）（x ，y ∈R ），若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤1，则2y−x ≥1的概率为 A ．12+14π B ．14+1π C ．12−12π D ．14−12π 5．已知等比数列{a n }满足8a 4−a 7=0，a 1,a 2+1,a 3且成等差数列．若数列{b n }满足b n+1=a n +b n （n ∈N*），且b 1=1，则数列{b n }的通项公式b n = A ．21−n B ．2n −1 C ．2n +1 D ．22n +16．已知x ∈R ，y ∈R ，且x ，y 满足{x +2≥y x +y ≤4y ≥0 ，若z =x +2y 的最大值为a ，最小值为b ，则a +b 的值为 A ．1 B ．3 C ．5 D ．8 7．沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A ，B ，C ，D ，E ，F 尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D 或E 答对了；同学乙猜测：C 不可能答对；同学丙猜测：A ，B ，F 当中必有1人答对了；同学丁猜测：D ，E ，F 都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．已知函数f(x)=√3sinx +cosx ，把函数f(x)的图象向右平移π3个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g(x)的图象，当x ∈[0,π2]时，方程g(x)−k =0有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为 A ．[1,√3] B ．[√3,2) C ．[1,2] D ．[1,2) 9．已知点M 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，椭圆的长轴长为8√2，离心率e =√22，左、右焦点分别为F 1、F 2，其中B （3，2），则|MF 1|+|MB|的最小值为 A ．6√2−√2 B ．6√2−√3 C ．4√2 D ．8√2−√5 10．已知a,b,c >0，M =(abc)log 2a+log 2b+log 2c ，N =sin(log 2b c ·log 2c a ·log 2a b )， P =a log 2b c ·b log 2c a ·c log 2a b ，则 A ．M ≥N ≥P B ．M ≥P ≥N C ．P ≥M ≥N D ．P ≥N ≥M 11．已知函数f(x)=2x −22x +2,g(x)=k(x −1)3，若f(x)的图象与g(x)的图象有n 个不同的交点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n )，则（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ）＋（y 1＋y 2＋y 3＋…＋y n ）＝ A ．n B ．2n C ．n +2 D ．n 2 12．设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，两条渐近线分别为l 1、l 2，过F 作平行于l 1的直线依次交双曲线C 和直线l 2于点A 、B ，若FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈(2,3)，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1,√2) B ．(√62,√2) C ．(√2,√3) D ．(√62,√3) 二、填空题 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页） 13．已知在ΔABC 中，AB =AC =2,∠BAC =120∘，其中D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =____．14．各条棱长均为√2的四面体的体积为____．15．已知首项为2的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且当n≥2时，3S n －2＝a n 2－3S n －1．若S n2n ＋1≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为_______________．16．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2a −x)=2b −f(x)， ℎ(x +a)=bx 4+x 2sinx+8bx 4+8，设y =ℎ(x)与y =f(x)图象的交点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x 2m ,y 2m )，若∑(x i +y i )2m i=1=4m ，则a 2+b 2的最小值为____．三、解答题17．已知ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ΔABC 的面积为S ΔABC ，且S ΔABC sin2B =ac ．（Ⅰ）若b =2，求ΔABC 的外接圆的半径；（Ⅱ）若c =5，(sinC sinA )2=53sin 2B ，AD 为BC 边上的中线，求ΔABD 的周长．18．为了改善市民的生活环境，长沙某大型工业城市决定对长沙市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现长沙市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N （50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在［50，60］内，可以认为该企业治污水平基本达标．（Ⅰ）如图为长沙市的某工业区所有被调査的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（Ⅱ）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在［18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量X ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=68.3％， P(μ−2σ<X <μ+2σ)=95.4％，P(μ−3σ<X <μ+3σ)=99.7％）19．如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在平面，且AB =2AD =2， (Ⅰ)求证：； (Ⅱ)设平面与半圆弧的另一个交点为, ①求证：AB //AB ; ②若，求三棱锥E-ADF 的体积． 20．折纸是一项艺术，可以折出很多数学图形．将一张圆形纸片放在平面直角坐标系中，圆心B （－1，0），半径为4，圆内一点A 为抛物线y 2=4x 的焦点．若每次将纸片折起一角，使折起部分的圆弧的一点A ′始终与点A 重合，将纸展平，得到一条折痕，设折痕与线段A ′B 的交点为P ． （Ⅰ）将纸片展平后，求点P 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）已知过点A 的直线l 与轨迹C 交于R ，S 两点，当l 无论如何变动，在AB 所在直线上存在一点T ，使得TR ⃗⃗⃗⃗⃗ |TR ⃗⃗⃗⃗⃗ |+TS ⃗⃗⃗⃗⃗ |TS ⃗⃗⃗⃗⃗ |所在直线一定经过原点，求点T 的坐标． 21．已知函数f(x)=ax 2+(2−a)x −lnx(a ∈R )，又函数g(x)=13x 3+m 2x 2+x +1的两个极值点为x 1,x 2(x 1<x 2)满足|x 1+x 2|≥3√22；x 1,x 2恰为ℎ(x)=lnx −f(x)+bx 的零点． （Ⅰ）当a ∈(−2,0)时，求f(x)的单调区间； （Ⅱ）当a =1时，求证：(x 1−x 2)ℎ′(x 1+x 22)≥2ln2−43．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosαy=1+sinα(α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C1，C2的公共点为A,B.（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若点C,D分别为曲线C1，C2上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形ACBD的面积.23．已知函数f(x)=|ax+1|，若不等式f(x)≤a的解集为[−32,12 ]．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若存在x∈R，使不等式f(x)<a|x|+a+k成立，求k的取值范围．好教育云平台名校精编卷第5页（共6页）好教育云平台名校精编卷第6页（共6页）好教育云平台 名校精编卷答案 第1页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第2页（共16页） 2019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第三次调研考试数学（文科）试题数学 答 案参考答案1．D【解析】【分析】化简集合A ，B ，然后求出A 的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵A ={y|y =√x 2−2x +2}=[1，+∞) ，∴C u A =(−∞，1)又B ={x|2x−3x+1≤0}=(−1，32]∴(C u A )∩B =(−1,1)故选：D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．C【解析】【分析】设复数z=a+bi （a ，b ∈R ），由题意可得{a +bi +a −bi =42a +b +4=0 ，从而得到z ，利用除法运算可得z 1+i ，从而得到所在的象限.【详解】设复数z=a+bi （a ，b ∈R ）则z̅= a-bi∴{a +bi +a −bi =42a +b +4=0 ,{a =2b =−8 ,∴z =2−8i∴z 1+i =(2−8i )(1−i )(1+i )(1−i )=−6−10i 2=−3−5i∴复数z 1+i （i 为虚数单位）所在的象限为第三象限 故选：C 【点睛】 复数的运算，难点是乘除法法则，设z 1=a +bi,z 2=c +di(a,b,c,dR)，则z 1z 2=(a +bi)(c +di)=ac −bd +(ad +bc)i ，z 1z 2=a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)i c 2+d 2. 3．A 【解析】 【分析】 分别判断出p ，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可． 【详解】 命题p 1：当a=1时，y =2x +2−x 在R 上为偶函数，故命题为真命题； 命题p 2：y =sinx +cosx +√2=√2sin (x +π4)+√2，x =−3π4显然是函数的零点，故命题为假命题， ∴¬p 1为假命题，¬p 2为真命题， ∴p 1∨p 2为真命题，p 1∧p 2为假命题，(¬p 1)∨p 2为假命题，p 1∧(¬p 2)为真命题， 故选：A 【点睛】 本题考查了复合命题真假的判定，考查函数的奇偶性问题以及三角函数的零点问题，是一道基础题． 4．D 【解析】 【分析】 本题是几何概型的求法，首先分别求出事件对应区域面积，利用面积比求概率． 【详解】 ∵点A （1，0），点B （x ，y ）（x ，y ∈R ），|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤1 ∴(x −1)2+y 2≤1表示以（1,0）为圆心，1为半径的圆面（包括边界）， ∵2y−x ≥1，∴y≥x ， 如图所示：好教育云平台 名校精编卷答案 第3页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共16页）由几何概型的公式得到14π×12−12×12π×12=14−12π故选：D【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.5．B【解析】【分析】利用题意可得b n+1−b n =2n ，再利用累加法即可得到通项公式b n .【详解】设等比数列的公比为q ，∵等比数列{a n }满足8a 4−a 7=0，∴a 7a 4=q 3=8，∴q =2，又a 1,a 2+1,a 3成等差数列∴2(a 2+1)=a 1+a 3，即2(2a 1+1)=a 1+4a 1，∴a 1=2，∴a n =2n ，∴b n+1−b n =2n∴b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=2n−1+2n−2+⋯+2+1=2n −1. 故选：B 【点睛】 本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是构造新等比数列的方法，注意新数列的首项与原数列首项的关系. 6．C 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】 由约束条件{x +2≥y x +y ≤4y ≥0 作出可行域如图， 化目标函数z =x +2y 为y=−12x+z 2， 由图可知，当直线y=−12x+z 2过（-2，0）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为−2； 当直线y=−12x+z 2过（1，3）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为7． ∴a=7，b=﹣2，则a+b=5． 故选：C ． 【点睛】 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 7．D 【解析】 【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．故选：D．【点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．8．D【解析】【分析】化简函数为f(x)= 2sin(x+π6)，由平移变换与伸缩变换得到g(x)=2sin(2x−π6)，然后数形结合可得实数k的取值范围.【详解】函数f(x)=√3sinx+cosx=2sin(x+π6)，把函数f(x)的图象向右平移π3个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g(x)=2sin(2x−π6)当x∈[0,π2]时，方程g(x)−k=0有两个不同的实根等价于函数g(x)=2sin(2x−π6)与y=k有两个不同交点，令t=2x−π6∈[−π6，5π6]，即y=2sint与y=k有两个不同交点，结合图象可知：1≤k<2故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)⋅f(b)< 0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9．D【解析】【分析】先求出椭圆的方程，借助于椭圆的定义把|MF1|+|MB|=2a﹣（|MF2﹣MB|），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案【详解】由题意可得：{2a=8√2e=√22，解得{a=4√2b=4∴椭圆方程为：x232+y216=1|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|）≥2a﹣|BF2|=8√2﹣√5，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值8√2−√5．故选：D．【点睛】本题考查了与椭圆有关的最值的求法，考查了椭圆定义，考查了等价转化思想方法，是中档题．10．B【解析】【分析】通过取特值的方法排除掉三个选项即可.【详解】∵知a,b,c>0，M=(abc)log2a+log2b+log2c，N=sin(log2bc·log2ca·log2ab)，P=a log2b c·b log2c a·c log2a b，∴当a=b=c=1时，M=1，N=0，P=1，排除A，D；当a=4,b=2,c=1时，M=83，P=1，M＞P，排除C；故选：B【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查排除法、对数性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．A好教育云平台名校精编卷答案第5页（共16页）好教育云平台名校精编卷答案第6页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第7页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第8页（共16页） 【解析】【分析】通过f (x )+f (2−x )=0可知y=f （x ）关于点（1，0）对称，y=g （x ）也关于点（1，0）对称，从而曲线y=f （x ）与y=g （x ）图象的交点关于点（1，0）对称，计算即得结论．【详解】∵f(x)=2x −22x +2∴f (x )+f (2−x )=2x −22x +2+22−x −222−x +2=2x −22x +2+22−2×2x 22+2×2x =2x −22x +2+2−2x2+2x =0即f (x )+f (2−x )=0，∴函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，g(x)=k(x −1)3的图象也关于点(1,0)中心对称，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n =n ，y 1＋y 2＋y 3＋…＋y n =0故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，属于中档题．12．B【解析】【分析】设直线l 的方程为：y =b a (x −c)，分别求出y A =b 2(b c −c a )，y B =−bc 2a ，又λ=|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|y B ||y A |，从而得到双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意可得：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线方程为：y =±b a x ，设直线l 的方程为：y =b a (x −c)，则直线l 与双曲线的另一条渐近线的交点为：B （c 2，−bc 2a ），联立方程：{x 2a 2−y 2b 2=1y =b a (x −c)解得y A =b 2(b c −c a )∴λ=|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|y B ||y A |=bc 2ab 2(c a −a c )=e e−1e∈(2,3) 解得：e ∈(√62,√2)故选：B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得a,c 的值，直接代入公式e =c a 求解； （2）列出关于a,b,c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2=a 2−c 2，消去b 后转化成关于e 的方程(或不等式)求解． 13．−12 【解析】 【分析】 由题意可知AB →•AC →=﹣2，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB →+AC →)∙(12AC →−AB →)，从而得到结果. 【详解】 ∵在ΔABC 中，AB =AC =2,∠BAC =120∘， ∴AB →•AC →=2×2×（﹣12）=﹣2 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB →+AC →)∙(12AC →−AB →)=12(12AB →•AC →−AB →2+12AC →2−AB →•AC →), =12(−1−4+2+2)=−12. 故答案为：−12 【点睛】 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 14．13 【解析】 【分析】 分别求出四面体的底面积和高即可得到结果. 【详解】 在四面体ABCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于点H ， 则H 为底面正三角形BCD 的重心， AH=√AB 2−BH 2=23√3，好教育云平台 名校精编卷答案 第9页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第10页（共16页） S △BCD =12×BD×BC×√32=12×√2×√2×√32=√32，V A ﹣BCD =13×√32×2√33=13，故答案为：13【点睛】本题考查正四面体体积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.15．[1516，+∞)【解析】【分析】由a n 与S n 的关系，利用作差法，求得a n 的通项公式，进而求得S n ，将其代入不等式，由于是恒成立问题，所以由不等式的性质求出其左侧式子的最大值，即可求出m 的范围.【详解】由题意可得：{3S n −2=a n 2−3S n−13S n+1−2=a n+12−3S n ，两式相减可得：a n+12−a n 2−3a n+1−3a n =0，因式分解可得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −3)=0，由与数列为正项数列，所以a n+1−a n −3=0，故数列{a n }为以2为首项，3为公差的等差数列，所以S n =n(3n+1)2，所以n(3n+1)2n+2≤m 恒成立，即其最大值小于等于m .由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n 较大时，函数值越来越小，n 较小时存在最大值，经代入验证，当n =3时有最大值1516，所以m ≥1516.【点睛】本题考查数列的通项以及前n 项和的求法，结合函数的恒成立问题，考查数列的最值，可根据函数特点进行推理求得最值.16．2【解析】【分析】由已知可得f （x ）和h （x ）的图象均关于（a ，b ）对称，故每一组对称点有横坐标和为2a ，纵坐标和为2b ，进而可得a+b=2，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【详解】∵f （2a ﹣x ）=2b ﹣f （x ），可知f （x ）的图象关于（a ，b ）对称，又∵h （x+a ）=bx 4+x 2sinx+8bx 4+8=b+sinxx 2+8x 2•设g （x ）=sinxx 2+8x 2，则g （﹣x ）=﹣g （x ），即g （x ）为奇函数，∴y=h （x ）的图象关于（a ，b ）对称， ∴对于每一组对称点有横坐标和为2a ，纵坐标和为2b ， ∴∑2m i=1（x i +y i ）=2am+2bm=4m ， ∴a+b=2， 故a 2+b 2=a 2+（2﹣a ）2=2a 2﹣4a+4=2（a ﹣1）2+2≥2 当且仅当a=b=1时，a 2+b 2取最小值2． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力与数形结合的意识，属于中档题. 17．（Ⅰ）4√1515；（Ⅱ）ΔABD 的周长为7+2√6． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用正弦形式的面积公式可得12acsinB =2acsinBcos B ，解得cos B =14，结合同角关系得到sinB =√154，再利用正弦定理可得ΔABC 的外接圆的半径；（Ⅱ）由（Ⅰ ）结合正弦定理可得a =4，利用余弦定理解得AD ，从而得到ΔABD 的周长． 【详解】 （Ⅰ）∵S ΔABC sin2B =ac ∴12acsinB =2acsinBcos B ,又sinB ≠0 ∴cos B =14，∴sinB =√154 由正弦定理可得：2R=b sinB =√154，解得：R=4√1515． （Ⅱ）∵(sinC sinA )2=53sin 2B ，c =5，sinB =√154 ∴(c a )2=53(√154)2，即a =4， 由余弦定理可得：AD =√AB 2+DB 2−2AB ∙DBcosB =2√6 ∴ΔABD 的周长为5+2+2√6=7+2√6 【点睛】 解三角形的基本策略： 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．（Ⅰ）基本达标；（Ⅱ）5092万元．【解析】【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图计算平均数；（Ⅱ）利用正态分布分别计算标准分在［18，34）内的化工企业与标准分低于18分的化工企业的概率，从而得到结果.【详解】（Ⅰ）该工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值：(10×0.0050+30×0.0125+50×0.0150+70×0.010+90×0.0075)×20=51，故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标；（Ⅱ）化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162）标准分在［18，34）内的概率，P(18≤X<34)=0.954−0.6832=0.1355∴60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失为:10000×0.6×0.1355×4=3252万元，标准分低于18分的概率，P(X<18)=1−0.9542=0.023，∴10000×0.8×0.023×10=1840万元故长沙市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有3252+1840=5092万元【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布的应用问题，是中档题．19．(1)通过证明AE⊥面BCE，进而得到线线垂直的证明。
湖南省长沙市简文学校2019年高三数学文联考试卷含解析
湖南省长沙市简文学校2019年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]== =，故选C．【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题．2. 下列命题中正确的是（）A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“?x∈R，2x＞0”的否定是“”参考答案：D考点：命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；复合命题的真假；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题；命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；“”?“+2kπ，或，k∈Z”，“”?“”，故“”是“”的必要不充分条件；命题“?x∈R，2X＞0”的否定是“?”．解答：解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确；命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确；“”?“+2kπ，或，k∈Z”，“”?“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确；命题“?x∈R，2x＞0”的否定是“”，故D正确．故选D．点评：本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．3. 在复平面内，复数的对应点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D4. 设函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B略5. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（）A． B． C． D．参考答案：C略6. 设命题p：?x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．?x＞0，x﹣lnx≤0 B．?x＞0，x﹣lnx＜0C．?x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．?x0＞0，x0﹣lnx0≤0参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是?x＞0，x﹣lnx≤0．故选：D．7. 定义在R上的奇函数f(x)为减函数,设a+b≤0,给出下列不等式：①f (a)f (-a)≤0；②f (b)f (-b)≥0；③f (a)+f (b)≤f (-a)+f (-b)；④f(a)+f (b)≥f (-a)+f (-b)．其中正确的不等式序号是A．①②④ B．①④C．②④D．①③参考答案：B对于函数单调性的判断一般是用定义或图象进行论证判断,而采用特殊函数进行巧解则可增加破解的直观感和正确性,从而增加了解题乐趣,如取f(x)=-x,逐项检查可知①④正确,因此选B.8. 汉中最美油菜花节期间，5名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有（）种．A．120 B．625 C．240 D．1024参考答案：C【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】先选出2名游客组成1组，再与剩余3人进行排列即可【解答】解：由于每个景点至少一人，故必有一个景点有2名游客，第一步，选出2名游客组成一组，共有=10种方法，第二步，将选出的2名游客看作一个整体，和剩余的3名游客进行排列，共有=24种方法，∴不同的游览方法有10×24=240种．故选C．【点评】本题考查了排列组合的简单应用，属于中档题．9. 已知直线（A、B不全为0），两点，若则.直线与直线不相交.直线与线段的延长线相交.直线与线段的延长线相交.直线与线段相交参考答案：C略10. 已知函数，若关于的方程恰有两个不等实根，且，则的最小值为（）A．2 B．4－4ln2 C. 4+2ln2 D．1－3ln2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)=2x,等差数列{a x}的公差为2.若f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则Log2[f(a1)·f(a2)·f(a)·…·f(a10)]= .参考答案：【试题解析】依题意有。
湖南省长沙市一中、长郡中学、湖南师大附中、雅礼中学2019届高三四校联考试卷数学(文科)
定义行列式的计算方法ana21 a12a22 -ana22 - a21 a12,贝U 函数湖南省长沙市一中、长郡中学、湖南师大附中、雅礼中学2019届高三四校联考试卷数学（文科）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 •已知集合A、B,则"A B 二B"是"A ' B = A"的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .数列｛a n｝满足a；=：a n」a n.1（ n_ 2且N*）, a^4，则下列各式等于16的是（）A. a2nB. a1 a2n/ C・a1 a2n -1 D. a1 a2n/2X 23. 直线y =k（x 3）,当k变化时，直线被椭圆y2=1截得的最大弦长是（）4443A. 4B. 2C.D.不能确定34.ABC的三个内角A B、C成等差数列，（AB CB）・AC =0 ,则ABC 一定是（）A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一正四棱锥的高为2 2，侧棱与底面所成的角为45°,则此正四棱锥的斜高等于（）A. 2 3B. 4、3C. 2 6D. 2 26 .若实数x, y满足条件：3乞x • y乞5,-1岂x - y岂1,则实数x 2y的取值范围为（）A. [2, 8]B. [4, 8]C. [6, 8]D. [3, 6]7.将r x 3x）12的展开式中各项重新排列，使含x的正整数次幕的项互不相邻的排法共有多少种？,3 ,10"10 "3,4 ,9_ 10 _ 3A. A]3 A13B. A10 AnC.A13 A9D. A10 A19•设向量 a =(1,-1),b =(2,5),则 |a b| =10. 若偶函数g(x)的定义域为｛x||x ，3-a|：：：a,a 0｝,则a 的值为 _________________ 11. 某次数学竞赛后，指导老师统计了所有参赛学生的成绩(成绩都为整数，满分 120分)并且绘制了“得分情况分布图”如图，则得分在 70—100分以上的同学所占比 例约为 (用分数形式表示)。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第五次调研考试数学(文科)试卷(含解析)
2019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第五次调研考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知实数a满足，且，则A．2＋i B．-2＋i C．2-i D．-2-i2．设集合，，则A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1] D．[0，1]3．“函数在区间上单调递增”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数的图象过定点P，且角的终边过点P，始边与x轴的正半轴重合，则的值为A．B．C．D．5．数列满足点在直线上，则前5项和为A．B．C．D．6．设点为坐标原点，点E（1，k），点P（x，y）满足，若目标函数的最大值为10．则实数k＝A．2 B．5 C．D．7．我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，“物不知数”问题，原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．这类问题可以用计算机解决．记N r（MOD m），即正整数N除以正整数m的余数为r，例如102（MOD 4）．执行如图所示的程序框图，则输出的i等于A．6 B．5 C．8 D．78．已知命题为奇函数；命题，则下面结论正确的是A．是真命题B．是真命题C．是假命题D．是假命题9．已知抛物线上一点M（4，y0）（y0＞0）到焦点F的距离为5，直线l过点N（-1，0），且l⊥OM，则直线l与抛物线C的交点个数为A．0个B．1个C．2个D．1个或2个10．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有成立，当取最小值时A．在，上是增函数B．在，上是增函数C．在，上是减函数D．在，上是减函数11．已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值A．B．C．D．12．对于任意的，关于x的方程在上有三个根，则实数a的取值范围是A．B．，C．D．二、填空题13．已知三棱锥A－BCD的四个顶点都在同一个球的球面上，AB＝，BC＝3，AC＝2，若三棱锥A－BCD 体积的最大值为，则此球的表面积为____．14．设是函数的一个极值点，则____．15．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P为双曲线C上一点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线交于点Q，P、Q均位于第一象限，且P为QF2的中点，则双曲线C的离心率为____．16．已知直线与曲线至少有一个公共点，则的取值范围是____．三、解答题17．已知正项数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，记数列的前n项和为T n，求证：．18．如图，在多面体ABCPE中，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥BC，2PE＝BC，M是线段AE的中点，N是线段PA上一点，且满足AN＝AP（0＜＜1）．（Ⅰ）若，求证：MN⊥PC；（Ⅱ）是否存在，使得三棱锥M－ACN与三棱锥B－ACP的体积比为1：12？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i（百万元）和相应的销售额y i（百万元）进行了统计，其中i＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：，，，，，，，其中，i＝1，2，3，4，5．（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月广告投入220万元时的月销售额．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20．已知点F（2，0），动点P满足：点P到直线x＝－1的距离比其到点F的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过F作直线l垂直于x轴与曲线C交于A、B两点，Q是曲线C上异于A、B的一点，设曲线C在点A、B、Q处的切线分别为l1、l2、l3，切线l1、l2交于点R，切线l1、l3交于点S，切线l2、l3交于点T，若RST的面积为6，求Q点的横坐标．21．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当＝时，设、为曲线上任意两点，曲线在点处的切线斜率为k，证明：．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线，设该直线与直线l交于点B，求的最值．2019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第五次调研考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先利用复数相等得到，再利用复数的除法得到.【详解】因为，故.又，故选C.【点睛】本题考查复数相等的条件及复数概念，属于基础题.2．A【解析】【分析】算出两个集合后可求它们的交集.【详解】，，故，故选A.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.3．B【解析】【分析】考虑函数在上为单调递增时实数的取值范围后可得两者的关系.【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增，取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“”的必要不充分条件.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.4．C【解析】【分析】先求出的坐标，再求出，最后利用倍角公式求出后可得.【详解】因为的图像过定点，所以，故，，故选C.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化或者诱导公式，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.5．A【解析】【分析】根据点在直线上可以得到，从而得到，故为等比数列，根据公式可求.【详解】因为在直线上，所以，故，所以当时，有即，又，故，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，，选A.【点睛】数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.6．C【解析】【分析】目标函数为，画出不等式组对应的可行域，分两种情形结合目标函数最值讨论动直线的位置可得实数的值.【详解】由题设，有，不等式组对应的可行域如图所示：其中，，，.当时，动直线过时有有最大值，且最大值为，故.当时，动直线过或时有最大值，过前者，则最大值为，不合题意；若为后者，，舍去.综上，，选C.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．7．C【解析】【分析】流程图的作用是求最小的正整数，满足除以的余数分别为．【详解】流程图是求最小的正整数，满足除以的余数分别为．除以余数为的正整数依次为，其中第一个除以余数分别为的正整数为，是第8个整数，故的输出值为，选C．【点睛】本题考查流程图，要求能从流程图中看出能其作用并给出输出值，属于基础题．8．B【解析】【分析】先判断命题都是真命题，故可得正确选项．【详解】对于，的定义域为，，进一步化简得到，故为奇函数，故为真命题．对于，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，，，因为，扇形故，即．故为真命题，综上，为真命题，选B．【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假必假”，的真假判断是“真假相反”．9．B【解析】【分析】利用焦半径公式计算出后可得的坐标和抛物线的方程，再计算出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程利用判别式可得它们交点的个数．【详解】，所以，又，故，直线．由可得，解得，故直线与抛物线只有一个交点．选B．【点睛】一般地，抛物线上的点到焦点的距离为；抛物线上的点到焦点的距离为.直线与抛物线的交点个数可通过联立直线方程和抛物线方程结合判别式来讨论.10．B【解析】【分析】根据函数的零点和对称轴得到的值，再根据恒成立可以得到的表达式，求出的最小值后再求函数的单调区间可得正确的选项.【详解】因为为函数的零点，故.因为是图像的对称轴，故，故，.因，故或者，所以或者， .因恒成立，故，若，故，所以，故；若，则，所以，故；所以，令，，故，所以在上为增函数，故选B.【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.11．D【解析】【分析】设的外接圆的圆心为，则，故，计算的最大值可求的最大值.【详解】设的外接圆的圆心为，则圆的半径为，，故.，故，当共线同向时取最大值.选D.【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外，在三角形中，如果为三角形的重心，则.12．A【解析】【分析】原方程可以化成，取，，利用导数研究两个函数的单调性、极值和最值可得实数的取值范围.【详解】原方程可以化成，取，.，当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数；当时，，故在上为增函数；极小值，极大值，，，故，在上为增函数.因为关于的方程在有三个不同的实数根，故，故，解答，故选A.【点睛】复杂方程的解的问题，应结合方程的特点将已知方程转化为熟悉函数对应的方程，再把方程解的特征转化为函数应该具有的特征，最后利用导数研究函数的单调性、极值等结合函数特征得到参数的取值范围，13．16【解析】【分析】为直角三角形，设球的半径为，体积最大时，到的距离为，利用体积的最大值计算出后可得球的表面积．【详解】为直角三角形，设球的半径为，球心为，的中点为，则平面，因平面，故．三棱锥的最大体积为，解得，故球的表面积为，填．【点睛】几何体的外接球的问题，关键是确定出球心的位置和球的半径，后者的计算需要把直径或半径放置在可解的三角形中．14．【解析】【分析】利用可得的值，从而得打的值．【详解】因为为的极值点，故即，所以，故，填．【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且．15．【解析】【分析】的坐标为，从而，代入双曲线方程后可得离心率．【详解】双曲线的一条渐近线的方程为，设其倾斜角为，右焦点，则，故．又，故，所以，代入双曲线方程有，从而．填．【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．16．【解析】【分析】直线过定点，曲线如图所示，计算出动直线与曲线在第二象限内的圆弧相切以及动直线与第一象限内、第四象限内的圆相切时对应的斜率可得的取值范围．【详解】直线过定点，曲线如图所示：其中，各圆弧所在圆的半径为，设过的动直线为即，考虑动直线与第二象限的曲线相切时有，解得或（舎）过曲线在第一象限内的圆弧所在的圆心作的平行线，与曲线在第一象限内的交点为，则，故直线分别与曲线在第一象限、第四象限内的圆弧相切，故当动直线与曲线至少有一个公共点时，若斜率存在（），则即，也就是；若斜率不存在，则．综上，，故填．【点睛】动直线中含有两个参数，因为两个参数是齐次的，故而可判断动直线过定点．曲线的方程具有这样的特点：若在曲线上，则也在曲线上，故曲线关于轴对称、关于轴对称、关于原点对称，故而可准确刻画曲线的形状．17．（Ⅰ）通项公式为；（Ⅱ）详见解析．【解析】【分析】（1）用数学归纳法可求的通项．（2）由（1）可得，利用基本不等式可以证明，从而可证．【详解】（1），，，从而猜测：，下面用数学归纳法证明：当时，有；设当时，有，则当时，有，所以当时，有；由数学归纳法可知，．（2），由基本不等式有，所以，所以，故．【点睛】求数列的通项的基本方法有累加法、累乘法、配凑法等，每一种方法都有对应的递推关系，如用累加法，用累乘法．也可以利用数学归纳法求通项（先猜后证）．数列不等式的证明，可先求和再对和进行估计，如果不能求和，则需要对通项进行放缩，使得得到的新数列的前和易求且易估计．18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，；．【解析】【分析】（1）利用平面平面得到平面，从而得到，根据为中位线得到，故．（2）到平面的距离与到平面的距离之比为，因此到平面的距离与到平面的距离之比为，只需要就有，此时，故可得的值．【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，，故平面．因平面中，故．在中，由可以得到，而，所以，故．（2）当时，有．因为，所以．设到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，由为中点可得，又由可得，故，所以．【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.不同三棱锥的体积关系可考虑它们的底面面积之比和高之比，注意选择共面的几何图形计算面积之比，选择共线的点计算高之比.19．（Ⅰ）更适宜作为月销售额关于月广告投入的回归方程；（Ⅱ）月广告投入万元时的月销售额为万元．【解析】【分析】（1）根据散点图选择作为回归方程．（2）利用公式及所给数据计算回归方程后可估计月销售额．【详解】（1）根据散点图选择作为回归方程．（2）令，则，，故回归方程为，当月广告投入为万元时，月销售额为（万元）．答：选择作为回归方程，当月广告投入为万元时，月销售额约（万元）．【点睛】回归分析中，回归方程类型的确定是关键，应根据散点图的特征选择合适的拟合函数（要熟悉常见函数的图像）．20．（Ⅰ）直线的普通方程为，轨迹C的方程为；（Ⅱ）点的横坐标为．【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求出的方程．（2）求出两点的坐标后求出曲线在三点处的切线方程，求出交点的坐标后可计算面积，从而得到的坐标．【详解】（1）点到的距离与点到直线的距离相等，故的轨迹为抛物线，从而．（2）令，则，．当时，有，故抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为．同理处切线方程为．故．若，则，舎；若，可设在第一象限，则抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为．由得，同理，所以，，解得或（舎）．【点睛】（1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.（2）直线与抛物线的相切问题，可借助于导数来计算切线的斜率.21．（Ⅰ）当时，的增区间为；当时，在为增函数，在为减函数．（Ⅱ）详见解析．【解析】【分析】（1）分和两种情况分别讨论导数的符号可得函数的单调区间．（2）原不等式等价于，不妨设，则不等式又可以转化为即，利用导数可证该不等式．【详解】（1）当时，，故的增区间为．当时，若，则，故在为增函数；若，则，故在为减函数；综上，当时，的增区间为；当时，在为增函数，在为减函数．（2）当时，，．原不等式等价于，不妨设，则原不等式又等价于，该式可进一步化为：，因此原不等式等价于，下证该不等式成立．令，则，故在为增函数，所以即成立，综上，原不等式成立．【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．多元不等式的恒成立问题，可考虑对原有的不等式变形（若齐次化、换元等），使得多元不等式转化为一元不等式，从而可利用导数证明．22．（Ⅰ）直线的普通方程、曲线C的参数方程（是参数）；（Ⅱ）的最大值为6，最小值为2．【解析】【分析】（1）消去参数后可得直线的普通方程，利用两角差的余弦公式及得直角方程后可得曲线的参数方程．（2）先计算圆心到直线的距离的最大值和最小值，从而得到圆上的动点到直线的距离的最大值和最小值，所求的的最大值与最小值时前者的的倍．【详解】（1）直线的普通方程为．，故，从而，圆的标准方程为，其参数方程为（为参数）．（2）考虑点圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，因直线的倾斜角为，故是圆上的点到直线的距离的的倍，所以的最大值为，最小值为．【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．当动点在圆上变化时，我们可用圆的参数方程来表示动点坐标，这样把二元函数的最值问题转化一元函数的最值问题．。
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长沙市2019届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -3211.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.512.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________．15.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是__________．16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的首项，，且对任意的，都有，数列满足，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.18.如图，已知三棱锥的平面展开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的表面积和体积.19.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：（Ⅰ）求，；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.附：20.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.21.已知函数， .（Ⅰ）试讨论的单调性；（Ⅱ）记的零点为，的极小值点为，当时，求证.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.（Ⅰ）求和的极坐标方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.23.已知函数.（Ⅰ）当，求的取值范围；（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.长沙市2019届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合N，然后对集合M,N取交集即可得到答案.【详解】,则故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化简为a+bi的形式，然后根据复数对应点位于第二象限，即可得到m范围. 【详解】,复数对应的点为（），若点位于第二象限，只需m>0,故选：C.【点睛】本题考查复数的有关概念和复数的商的运算，属于基础题.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数，选项B，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项C，因为f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故排除；选项A，函数为奇函数且f’(x)=cosx-1可知函数在定义域上单调递减，故排除；选项D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断方法，属于基础题.4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，根据几何概型的概率公式可求．【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选：B．【点睛】本题考查几何概型，先要判断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题．5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】对于①,由平行公理4,可知正确；对于②，若a⊂α，显然结论不成立，故②错误；对于③，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故③错误；对于④，a∥β，a⊂α，b⊂β，a与b平行或异面，故④错误；真命题的个数为1个，故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6.若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件画出可行域如图，即y=2x-z,由图得当z＝2x﹣y过点O（0，0）时，纵截距最大，z最小为0．当z＝2x﹣y过点B（1，-1）时，纵截距最小，z最大为3．故所求z＝2x﹣y的取值范围是故选：A．【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，根据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，，故选：.【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简单应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可直接得到所求最小值.【详解】，于是或（舍），当时取等号，则a+b的最小值为4，故选.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.9.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得函数周期，从而得点B,C的坐标，，即是图象的对称中心. 【详解】因为P是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两最低点，可知|BC的周期，半个周期为3，则得，，由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，故选：.【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属于基础题.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.【详解】法一：因为在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，，由抛物线的定义，得，所以.故选.法二：直线过焦点，，又，所以，故选.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算能力.12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。
【详解】有三个零点，有一个零点，故，有两个零点，代入的解析式，得到，构造新函数，绘制这两个函数的图像，如图可知因而介于A,O之间，建立不等关系，解得a的范围为，故选A。
【点睛】本道题考查了函数零点问题，难度加大。
第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．【答案】1【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为-1即可得a值.【详解】，所以切线的斜率，又切线与直线垂直得，解得.故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________．【答案】【解析】【分析】由三角函数定义可得和，然后利用正弦的二倍角公式计算即可得到答案.【详解】由三角函数定义可得，，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角函数定义和二倍角公式的应用，考查学生计算能力，属于简单题.15.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由得为异面直线与所成角，求解即可.【详解】在正方体中，连、，则，所以为异面直线与所成角，点与重合，最大，且最大为，当点与无限接近时，趋近于零，故异面直线与所成角的取值范围是. 故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成角，求异面直线所成角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解.16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理将已知化简可得角B，再由余弦定理和基本不等式得ac的最大值，即可得到面积的最大值.【详解】由及正弦定理得，，即，又，于是可得，即，.在中，由余弦定理得，即，又因为，，由此可得，当且仅当时等号成立，面积，故面积最大值为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的首项，，且对任意的，都有，数列满足，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）10【解析】【分析】（Ⅰ）由已知的递推关系式可知数列为等差数列，从而可得的通项公式，代入可得的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法和等比数列的求和公式得到数列的前n项和,通过判断数列的单调性可得满足条件的n的值.【详解】（Ⅰ）令得，，解得.又由知，故数列是首项，公差的等差数列，于是，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.于是.令，易知是关于的单调递增函数，又，，故使成立的最小正整数的值是10.【点睛】本题考查等差，等比数列的通项公式和等差，等比数列的前n项和公式的应用，以及数列单调性的判断，考查学生推理和计算能力.18.如图，已知三棱锥的平面展开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的表面积和体积.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）表面积，体积【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知和为等腰三角形，可取AC中点O，连接PO,OB，可证明平面然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）求各个面的面积之和即可到棱锥的表面积，由平面，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案.【详解】解：（Ⅰ）设的中点为，连接，.由题意，得，，.因为在中，，为的中点，所以.因为在中，，，，，所以.因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）三棱锥的表面积，由（Ⅰ）知，平面，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算，考查学生的空间想象能力和计算能力.19.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：（Ⅰ）求，；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.附：【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）没有95%把握（Ⅲ）4人【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得该校女生人数，利用分层抽样的原则列等式得m值，由列联表中的数据可得n值；（Ⅱ）由列联表计算的值，对照临界值，即可得出结论；（Ⅲ）由列联表中的数据可得学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，从而得到6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.【详解】解：（Ⅰ）由已知，该校有女生400人，故，得从而.（Ⅱ）作出列联表如下：.所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.（Ⅲ）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，故估计这6名学生一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人.【点睛】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由和离心率以及进行计算即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）由已知可得点M和点N的坐标，然后将切线l方程与椭圆方程联立，利用0可得，利用的夹角公式进行计算可得到为定值.【详解】（Ⅰ），，得.又，，解得，，故所求椭圆的标准方程为.（Ⅱ）由题可知，的方程为，的方程为.直线与直线、联立得、，所以，.所以.联立得.因为直线椭圆相切，所以，化简得.所以，所以，故为定值.（注：可以先通过计算出此时，再验证一般性）【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆相切问题和椭圆中的定值问题，考查学生推理和计算能力，属于中档题.21.已知函数， .（Ⅰ）试讨论的单调性；（Ⅱ）记的零点为，的极小值点为，当时，求证.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）对函数f(x)求导，分和a<0进行讨论，可得函数单调性；（Ⅱ）对函数g(x)求导，分析单调性，由零点存在性定理可确定的零点即极小值点，从而得到a与的等量关系，将等量关系代入中，利用函数f(x)的单调性即可得到证明.【详解】解：（Ⅰ）.若，则，在上单调递增；若，则必有一正一负两根，且正根为.当，，在上单调递增；当，，在上单调递减.综上可知，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ），，所以在单调递增.又，，故存在零点，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，即为的极小值点，故.由知，，所以，又，所以.由（Ⅰ）可知，时，在单调递增，因此.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值问题，考查导数的综合应用，考查分类讨论思想和推理能力，属于中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.（Ⅰ）求和的极坐标方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）结合消去参数，得到极坐标方程，即可。