许昌市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

许昌市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪N B ．（∁U M ）∩N C ．M ∩（∁U N ） D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
2． 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 已知集合{}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
4． 从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0.4，则这样的样本容量是（ ）
A ．20人
B ．40人
C ．70人
D ．80人
5． 对于复数
,若集合具有性质“对任意,必有”,则当
时,等于 ( )
A1 B-1 C0 D
6． 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ﹣2）=f （x+2），当0＜x ＜2时，f （x ）=1﹣log 2（x+1），则当0＜x ＜4时，不等式（x ﹣2）f （x ）＞0的解集是（ ） A ．（0，1）∪（2，3） B ．（0，1）∪（3，4） C ．（1，2）∪（3，4）
D ．（1，2）∪（2，3）
7． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．
11
a b
< C ．22a b > D ．33a b > 8． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
9． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知3a =，6b =，6
A π
∠=
，则
B ∠=（ ）111]
A ．
4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3
π
10．已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{2,1,0}-- B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0}-- D ．{1,,0,1}-
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 11．计算log 25log 53log 32的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
12．方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ） A ．两个点 B ．四个点
C ．两条直线
D ．四条直线
二、填空题
13．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（﹣2，1）内f （x ）是增函数； ②在区间（1，3）内f （x ）是减函数； ③在x=2时，f （x ）取得极大值； ④在x=3时，f （x ）取得极小值． 其中正确的是 ．
14．设函数
，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数
的值域为 ．
15．设函数3
2
()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AC 所成的角是 °．
17．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +< 恒成立，则m 的取值范围是_______．
【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．
18．设函数f （x ）=
，则f （f （﹣2））的值为 ．
三、解答题
19．已知椭圆
的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），P 是椭圆C 上任意一
点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 1，l 2是椭圆的任意两条切线，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足=+1（n ≥2）．
（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =（n ∈N *
），求使不等式b 1+b 2+…+b n ＞
成立的最小正整数n ．
21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点，求证：
（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD ．
22．已知矩阵
M 所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的
坐标．
23．（本题满分15分） 若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数
列，且11a =，
12345
11111
15a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
24．已知二阶矩阵M 有特征值λ1=4及属于特征值4
的一个特征向量
=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值
﹣1的一个特征向量
=
，
=
（Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）求M
5．
许昌市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}， ∴∁U M={0，1}， ∴N ∩（∁U M ）={0，1}， 故选：B ．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
2． 【答案】C
【解析】解：命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则c 2＞0，则a ＞b ”为真命题； 故其逆否命题也为真命题；
其逆命题为“设a 、b 、c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”在c=0时不成立，故为假命题 故其否命题也为假命题
故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个 故选C
【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键．
3． 【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.
4． 【答案】A
【解析】解：由已知中的频率分布直方图可得时间不超过70分的累计频率的频率为0.4，
则这样的样本容量是n==20．
故选A ．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率的两个公式频率=矩形高×组距=是解
答的关键．
5． 【答案】B 【解析】由题意，可取，所以
6． 【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），
∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，
又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），
故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，
由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3）
故选：D
【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．
7．【答案】D
【解析】
考点：不等式的恒等变换.
8．【答案】D
【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；
B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；
C 选项中命题是真命题，m ⊥α，n ⊥α，利用线面垂直的性质得到n ∥m ；
D 选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选D ．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：由正弦定理可得
()sin 0,,4
sin
6
B B B π
π=
∴=∈∴= 或34π，故选B.
考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 10．【答案】C
【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．
11．【答案】A
【解析】解：log 25log 53log 3
2==1．
故选：A ．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．
12．【答案】B
【解析】解：方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2
=0
则x 2
﹣4=0并且y 2
﹣4=0，
即，
解得：
，
，
，
，
得到4个点． 故选：B ．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】 ③ ．
【解析】解：由y=f'（x）的图象可知，
x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；
所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确；
②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确；
x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负，
③在x=2时，f（x）取得极大值；
而，x=3附近，导函数值为正，
所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确．
故答案为③．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．14．【答案】{0，1}．
【解析】解：
=[﹣]+[+]
=[﹣]+[+]，
∵0＜＜1，
∴﹣＜﹣＜，＜+＜，
①当0＜＜时，
0＜﹣＜，＜+＜1，
故y=0；
②当=时，
﹣=0，+=1，
故y=1；
③＜＜1时，
﹣＜﹣＜0，1＜+＜，
故y=﹣1+1=0；
故函数
的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．
15．【答案】1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()
()3322
12121210x x a x x a x x ++++++≤,即
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,由于
()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故
()12122133x x a a
x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，代入前面不等式,并化简得()1a +()2
2520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数，令()'0f x =考虑判别式大于零，根据韦达定理求出1212,x x x x +的值，代入不等式12()()0f x f x +≤，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111]
16．【答案】 60° °．
【解析】解：连结BC 1、A 1C 1，
∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1A 平行且等于C 1C ， ∴四边形AA 1C 1C 为平行四边形，可得A 1C 1∥AC ，
因此∠BA 1C 1（或其补角）是异面直线A 1B 与AC 所成的角， 设正方体的棱长为a ，则△
A 1
B 1
C 中A 1B=BC 1=C 1A 1=a ，
∴△A 1B 1C 是等边三角形，可得∠BA 1C 1=60°，
即异面直线A 1B 与AC 所成的角等于60°．
故答案为：60°．
【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．
17．【答案】
15 (,)
43
18．【答案】﹣4．
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=4﹣2=，
f（f（﹣2））=f（）==﹣4．
故答案为：﹣4．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为，
∴=，解得，
∴椭圆C的方程为．…
（2）①当l1，l2的斜率存在时，设l1：y=kx+m，l2：y=kx+n（m≠n）
，
△=0，m2=1+2k2，同理n2=1+2k2m2=n2，m=﹣n，
设存在，
又m2=1+2k2，则|k2（2﹣t2）+1|=1+k2，k2（1﹣t2）=0或k2（t2﹣3）=2（不恒成立，舍去）∴t2﹣1=0，t=±1，点B（±1，0），
②当l1，l2的斜率不存在时，
点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1．
综上，存在B（1，0）或（﹣1，0）．…
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n≥2），
所以是首项为1，公差为1的等差数列，…
则=1+（n﹣1）1=n，…
从而S n=n2．…
当n=1时，a1=S1=1，
当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
因为a1=1也符合上式，
所以a n=2n﹣1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n===，…
所以b1+b2+…+b n=
==，…
由，解得n＞12．…
所以使不等式成立的最小正整数为13．…
【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想
21．【答案】
【解析】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．
又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD
所以直线EF∥平面PCD．
（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．
所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．
又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．
22．【答案】
【解析】解：依题意，由M=得|M|=1，故M﹣1=
从而由=得═=
故A（2，﹣3）为所求．
【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．
23．【答案】（1）
1
n
a
n
，（2）详见解析.
当
8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}
*
|8,n n n N ≥∈，…………15分
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设M=
则=4
=，∴
①
又
=（﹣1）
=，∴
②
由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=；
（Ⅱ）易知
=0•+（﹣1），
∴M
5=（﹣1）6
=
．
【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．。