高二数学上学期第一次月考试题理13

莆田第二十五中学 2016-2017 学年上学期第一次月考试卷
高二理科数学
一、选择题：本大题共
12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中， 只有一项
是切合题目要求的 .
1. 已知数列 1, 3, 5, 7, , 2n 1 ，则 3 5 是它的 ( )
A ．第 20 项
B ．第 21项
C ．第 22项
D ．第 23项 2. 已知△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，a 2＝ b 2＋ c 2－ bc ，bc ＝ 4，则△ ABC 的面积为 (
)
1
A. 2
C. 3
3. 在△ ABC 中,a,b,c
分别为角 A,B,C 所对的边 ,c ·cos A=b,
则△ ABC(
)
(A) 必定是锐角三角形 (B) 必定是钝角三角形 (C) 必定是直角三角形 (D)
必定是斜三角形
4．若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列， c 、 a 、 b 成等比数列，
且 a 3b c 10 ，则 a =（ ）
A ．4
B
． 2
C ．－ 2
D ．－ 4
5．在等差数 a n 中，若 a 6
a 9a
12 a
15
20, 则 S 20 等于（
）
（A ） 90 （ B ） 100 （ C ） 110
（D ） 120
6．已知数列
a n 的前 n 项和为 S n 3n
k （ k 为常数），那么（
）
A ． k 为任意实数时， a n 均为等比数列
B ． k
1 时， a n 为等比数列
C ． k 0 时， a n 为等比数列
D ． a n 不能够能是等比数
列
7. 设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1
9, a 2 a 8
2 ，当 S n 获得最小值时， n （
）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
8．数列 a
中， a
2,a 1，又数列
1
是等差数列，则
a =（
）
n 3 7
a n
1
11
（A ） 0
（B ）
1
（C ）
2
（D ）－ 1
2
3
9．若
a n 是等比数列， a 4a 7512, a 3 a 8
124, 且公比 q 为整数，则 a 10 =（
）
（A ） 256 （ B ） -256
（ C ） 512 （D ） -512
10．数列 {
a n }
是各项均为正数的等比数列，
{ n } 是等差数列，且 6
＝ 7，则有 ( ) ．
b
a
b
C ． 3＋
9
≠ 4＋
10
D ． 3＋ 9 与
b 4
＋ 10 的大小不确立
a a
b b
a
a
b
11． 等差数列
a n 共有 2n 1 项，此中 a 1 a 3
a
2n 1
4, a 2 a 4
a 2n 3,
则 n 的值为（ ）
（A ） 3 （B ）5
（C ）7 （ D ）9
12．将正奇数排成以以下列图的三角形数阵 （第 k 行有 k 个奇数），其 中第 i 行第 j 个数表示为 a ij ，比方 a 42
15 ，若 a ij
2015 ，则
i j （
）
A ．26
B ． 27
C
． 28 D
．29
（第 12 题）
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．已知数列
a n 的通项公式 a n 11 2n, S n
a 1 a 2
a n , 则 S 10 =_________
14．已 知数列 { a n } 满足 a 1 1 ， a n 1
a n ，则 a n =
3a n
1
15.
ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 cos A
4 ，cosC
5 ，a 1 ，则 b ．
5
13
16．如图， 为丈量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶
C 为丈量察看点． 从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN
＝ 60°， C 点的仰角∠ CAB ＝45°以及∠ MAC ＝75°；从 C 点测得∠ MCA ＝60°. 已知山高 BC ＝ 100 m ，
则山高 MN ＝ ________ m.
三、解答题
（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤 . ）
17. （ 10 分）如图 , 渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处 , 且与岛屿 A 相距 12 海里 , 渔船乙以 10 海里 / 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行 , 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶 渔船乙 , 恰巧用 2 小时追上 .
(1) 求渔船甲的速度 ; (2) 求 sin α 的值 .
18．(12 分) 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c . 已知 3cos( B － C )
－ 1＝ 6cos B cos C .
(1) 求 cos A ；
(2) 若 a ＝ 3，△ ABC 的面积为 2 2，求 b ， c .
19．（本题满分12 分）数列a n的前 n 项和记为S n，a11, a n 12S n 1 n 1 ，
（1）求a n的通项公式；
（2）等差数列b n的各项为正，其前n 项和为T n，且T315 ，又 a1b1 , a2b2 , a3b3成等比数列，求 T n．
20．（ 12 分）等差数列 {a } 的前 n 项和记为S ，若 a =10， S =49，
n n57
（ 1）求数列 {a n} 的通项公式；
（ 2）设 b n=，求数列 {b n} 的前 n 项和 T n．
21. （本小题满分12 分）设数列a n是等差数列，数列b n的前 n 项和 S n满足S n3b n 1 且
2
a2 b1 ,a5b2．
（ 1）求数列a n和 b n的通项公式；
（ 2）设c n a n b n，设 T n为 c n的前 n 项和，求 T n．
22．如图，经过农村 A 有两条夹角为60°的公路AB，AC，依据规划拟在两条公路之间的地域内建一
工厂 P，分别在两条公路边上建两个库房M，N( 异于农村 A) ，要求 PM＝ PN＝ MN＝2( 单位：千米 ) 。

如何设计能使得工厂产生的噪声对居民的影响最小( 即工厂与农村的距离最远)?
莆田第二十五中学2016-2017 学年上学期第一次月考答题卡
高二理科数学
考场座位号：
一、选择题（5× 12=60）
题号123456789101112答案
二、填空题（4× 5=20）
13、14、15、16、
三、解答题（12×5+10=70 分）
17、
18、
19、
20、
21、
22.
2016-2017 高二上学期第一次月考答案
一、选择题： 本大题共 12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，
只有一项为哪一项符
合题目要求的 .
1. 已知数列 1, 3, 5, 7, , 2n 1 ，则 3 5 是它的 ( D )
A ．第 20 项
B ．第 21项
C ．第 22项
D ．第 23项
2. 已知△
中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，， 2＝
b 2
＋
c 2
－ ， ＝ 4，则△ 的面积为 ( C )
ABC
A B C
a b c a
bc bc
ABC
1
A. 2
C. 3
3. 在△ ABC 中,a,b,c
分别为角 A,B,C 所对的边 ,c ·cos A=b,
则△ ABC( C )
(A) 必定是锐角三角形 (B) 必定是钝角三角形 (C) 必定是直角三角形 (D)
必定是斜三角形
4．若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列， c 、 a 、 b 成等比数列，
且 a 3b c 10 ，则 a =（ D ）
A ．4
B
． 2
C ．－ 2
D
．－ 4
5．在等差数 a n 中，若 a 6 a 9
a
12
a
15
20, 则 S 20 等于（ B
）
（A ） 90 （ B ） 100 （ C ） 110 （D ） 120
6．已知数列
a n 的前 n 项和为 S n 3n
k （ k 为常数），那么（
B ）
． k 为任意实数时，
a 均为等比数列
B ． k
1 时， a 为等比数列
A
n
n
C ． k
0 时， a 为等比数列
D ． a
不能够能是等比数列
n
n
7. 设等差数列
a n 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1
9, a 2 a 8
2 ，当 S n 获得最小值时， n （ A
）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
8 ．数列 a n
中 ， a 3
2, a 7 1，又数列
1
是等差数列，则
a 11 =（ B ）
a n
1
（A ） 0
（B ）
1
（C ）
2
（D ）－ 1
2
3
9．若
a n 是等比数列， a 4a 7
512, a 3 a 8 124, 且公比 q 为整数，则 a 10 =（ C ）
（A ） 256
（ B ） -256 （ C ） 512 （D ） -512
10．数列 { a n } 是各项均为正数的等比数列， { b n } 是等差数列，且 a 6＝ b 7，则有 ( B )
．
A ．a ＋ a ＜ b ＋ b
10
B ． a ＋ a ≥b ＋b
10
3
9
4
3
9
4
C ．a 3＋ a 9≠ b 4＋ b 10
D ． a 3＋ a 9 与 b 4＋ b 10 的大小不确立 11．等差数列 n 共有 2n 1项，此中 a 1 a 3
a 2n 1 4, a 2 a 4 a 2n
3,
a
则 n 的值为（ A ）
（A ） 3 （B ）5
（C ）7 （ D ）9
12．将正奇数排成以以下列图的三角形数阵 （第 k 行有 k 个奇数），其
（第 12 题）
i j （B）
A．26B．27C．28D．29
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．已知数列a n的通项公式a n112n, S n a1a2a n , 则 S10=___50________
14．已知数列{ a n}满足a11， a n 1
a n
，则 a=
1
3a n 1n3n 2
4
， cosC
5
1 ，则 b
15. ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b, c，若cos A， a
513
21
．
13
16．如图，为丈量山高MN，选择 A 和另一座山的山顶C为丈量察看点．从 A 点测得 M点的仰角∠ MAN ＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°. 已知山高BC＝ 100 m，则山高 MN＝__150______ m.
三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图 , 渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的 B 处 , 且与岛屿A 相距 12 海里 , 渔船乙以10 海里 /小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行 , 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙 , 恰巧用
2
小时追上 .
(1)求渔船甲的速度 ;
(2)求 sin α的值 .
解 :(1) 依题意 , ∠ BAC=120° ,AB=12 海里 ,AC=10× 2=20( 海里 ),
∠BCA=α .
在△ ABC中 , 由余弦定理 , 得
222
BC=AB+AC-2AB×AC× cos ∠BAC
=122+202-2 × 12×20× cos 120 ° =784. 解得 BC=28(海里 ),
因此渔船甲的速度为错误！未找到引用源。

=14( 海里 / 小时 ).
(2) 在△ ABC中,AB=12, ∠ BAC=120° ,BC=28, ∠ BCA=α , 由正弦定理 , 得错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

. 即 sinα =错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

. 18．(12 分 ) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b， c.已知3cos( B－ C)－1＝6cos B cos C.
(1)求 cos A；
(2)若 a＝3，△ ABC的面积为 2 2，求 b， c.
解： (1) ∵ 3(cos B cos C＋ sin B sin C) － 1＝ 6cos B cos C，
∴3cos B cos C－ 3sin B sin C＝－ 1，∴ 3cos( B＋C) ＝－ 1， (4 分)
11
分 )
∴ cos( π － ) ＝－，∴ cos＝ .(6
A3A3
221
(2)由 (1) 得 sin A＝3，由面积公式2bc sin A＝ 2 2可得bc＝ 6，①
b2＋ c2－ a2 b2＋ c2－91
依据余弦定理得cos ＝＝＝，
123
2bc
则 b2＋c2＝13，② 10 分①②两式联立可得b＝2， c＝3或 b＝3， c＝2.(12分 )
19．（本题满分 12 分）数列a n的前 n 项和记为S n，a11, a n 12S n 1 n 1，
（1）求a n的通项公式；
（2）等差数列b n的各项为正，其前 n 项和为T n，且T315，又 a1b1, a2b2 , a3 b3成等比数列，求 T n．
20．（ 12 分）等差数列 {a } 的前 n 项和记为S，若 a=10， S=49，
（ 1）求数列 {a n } 的通 公式；
（ 2） b n =
，求数列 {b n } 的前 n 和 T n ．
【解答】 解：（ 1） 等差数列
{a n } 的公差 d ，∵ a 5=10，S 7=49，
∴ a 1+4d=10， 7a 1+d=49， 立解得 a 1= 2， d=3，
∴ a n = 2+3（ n 1） =3n 5．
（ 2） b n =
=
=
，
∴数列 {b n } 的前 n 和 T n =
+
+⋯ +
= =
．
21. （本小 分
12 分） 数列
a n 是等差数列，数列
b n 的前 n 和 S n 足 S n
3 b n 1 且
2
a 2
b 1 ,a 5 b 2 ．
（ 1）求数列 a n 和 b n 的通 公式；
（ 2） c n
a n
b n ， T n
c n 的前 n 和，求 T n ．
22. 解：（ 1）∵数列 b n
的前 n 和 S n 足 S n
3
b n 1 ，
3
2
∴ b 1
S 1 b 1 1 ，解得 b 1
3 ，
2
当 n
2 ， b n
S n
S
n 1
3
b n 1
3
b n 1 1 ，
2 2
化 b n 3b n 1 ，∴数列 b n 等比数列，
∴
b n 3 3n 1 3n ，∵ a 2
b 1 3,a 5 b 2 9 ，
等差数列
a n 的公差 d ，
a 1 d 3
1 . ∴ a n 2n 1，
∴
4d
，解得 d 2,a 1
a 1
9
上可得： a
2n 1,b
3n ．
n
n
（ 2） c n a n b n
2n
1 3n ,
∴T 3332 5 332n 3 3n 12n 1 3n，
n
3T n32 3 322n 3 3n2n 1 3n 1，
∴ 2T n3232 2 33 2 3n2n 1 3n 1
2 3 3n 1
2n 1 3n 1 3 2 2n 3n 1 6 ．
31
∴ T n3n 1 3n 1．
22．如图，经过农村 A 有两条夹角为60°的公路 AB，AC，依据规划拟在两条公路之间的地域内建一
工厂 P，分别在两条公路边上建两个库房M，N( 异于农村 A) ，要求 PM＝PN＝ MN＝2( 单位：千米 ) 。

如
何设计能使得工厂产生的噪声对居民的影响最小( 即工厂与农村的距离最远)?
MN AM
解析：设∠ AMN＝θ，在△ AMN中，sin60°＝sin－θ。

43
由于 MN＝ 2，因此 AM＝3
sin (120°－θ)。

在△APM中， cos∠AMP＝ cos(60°＋θ)。

222
AP＝ AM＋ MP－2AM·MP·cos∠AMP
16243
＝3 sin(120 °－θ ) ＋ 4－2×2×3 sin (120°－θ)· cos(60°＋θ)
162163
＝3 sin( θ＋60°) －3sin (θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4
8838
＝31－cos(2 θ＋120°)] －3sin(2 θ＋120°) ＋ 4＝－3 3sin (2θ＋120°)＋ cos(2θ＋120°)] 20
＋3
2016
＝3－3 sin (2θ＋150°)，θ ∈(0,120°)。

2
当且仅当2θ＋150°＝ 270°，即θ ＝60°时，AP获得最大值12，即 AP获得最大值23。

因此当∠ AMN＝60°时，切合要求。