第十章结构动力学

度 法
m m11
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(t) 2 y(t) 0
Ｆm＝y(１t) m 11
l EI
二阶线性齐次常微分方程
y(t) 11 F y(t) 11[my(t)]
11

1 k11
柔 度 法
其通解为
y(t) c1 cost c2 sin t
由初始条件 y(0) y0 y(0) y0
第二，结构在动荷载作用下，产生抵抗结构加速度的 惯性力。动力计算必须考虑惯性力。
4、结构动力计算中体系的自由度
自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立几何参数，称 作体系的动力自由度数。
自由度的简化
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
结构动力学的研究内容 结构动力学是研究工程结构的动力特性及其在动荷载
作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。
结构动力学的任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。
寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间 的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结 构动力可靠性设计、保证结构的经济与安全以及结构健康 诊断提供科学依据。
或者
y
ky
F P(t)
y 2 y FP (t)
m
上式就是单自由度体系强迫振动的微分方程
1、简谐振动作用时的强迫振动
运动方程及其解
F(t)
F(t) F sin t
l
F --荷载幅值 --荷载频率
运动方程
my(t) k11y(t) F sin t
或
y(t) 2 y(t) F sin t m
圆频率或角频率 : 表示在 2 个单位时间内的振动次数.
自振周期计算公式
2 k11 1 m m11
W mg, st W11
k11y(t) my(t) 0 令 2 k11 1
m m11
y(t) 2 y(t) 0
k 1 g g m m W st
工程实际中经常遇到的几类动荷载——确定性荷载
F P(t)
o F P(t)
简谐荷载
o
冲击荷载
F P(t)
t
o
t
F P(t)
非简谐周期荷载
t
o
t
突加荷载
工程实际中经常遇到的几类动荷载——非确定性荷载
ü(t)
o
t
地震时记录的地面加速度随时间的变化情况
3、结构动力计算的特点
第一，动荷载作用下的结构反应(内力、应力和位移) 是随时间变化的。动力计算结果是关于时间的函数。
l EI
EI
l
y(t)
F (t )
my(t)
=1 11
l
11

2l 3 3EI
y(t) 11[F(t) my(t)]
my
(t
)

3EI 2l 3
y(t)

F (t )
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
k1
EI
k1 ?
k2 ?
12EI / l3 12EI / l3
k1

k2

24EI l3
对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相
对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作
该层的层间侧移刚度。
EI1
1
24EI k l3
l EI k2
l
EI
k1
EI
EI EI1
(b)
解：1）由图乘法求排架的侧移刚度系数：
边柱：k1

k3

3EI 1l 32 EI
中柱：k2

6EI l3
k k1 k2 k3 l3
2）根据自振周期计算公式求得：

k 2m
6EI ml 3
练习：求图示体系的自振频率和周期.
解:
MA 0
m
EI m m
k
k
l
lll
2l 2m 2l kl l ml2 l 2lm2 2l 2lk 2l 0
例2.
P(t)
l EI
m
EI1
EI
l
P(t)
my(t)
y(t)
1 k11
k11
12EI / l3 12EI / l3
k11 24 EI / l3
k11y(t) F(t) my(t)
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
例 10-1 求图示三种不同支承情况下梁的自振圆频率
m
m
m
l
l
2
2
l
l
2
2
l
l
2
2
3Wl 16
Wl
Wl
8
8
Wl 4
5Wl
Wl
32
8
解：1）先求得三种不同支承情况下的静力位移：
st1

Wl 3 48EI
st 2

7Wl 3 768EI
st 3

Wl 3 192EI
2）根据自振周期计算公式求得：
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
Chap10 结构动力计算基础
10-1 概述 10-2 单自由度体系的自由振动 10-3 单自由度体系的强迫振动 10-4 阻尼对振动的影响 10-5 两个自由度体系的自由振动 10-6 两个自由度体系的强迫振动
§10-1 概 述
1、结构动力学的研究内容和任务
二阶线性非齐次常微分方程
m
y(t)
EI
求解运动方程
F(t) m
运动方程 my(t) k11y(t) F sin t y(t) 2 y(t) F sin t m
y(t)
l EI
通解 y(t) y(t) y*(t) 其中 y(t) c1 cost c2 sin t
i (0) i (l) 0
m y(x)
广义坐标个数即 为自由度个数
(3) 有限元法
和静力问题一样，可通过将结构划分为若干单元，以 结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题简化为有限自 由度问题。
m
结点位移个数即
为自由度个数
自由度的确定
(4)
(1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
y(t) 质点的总位移为
st
Y (t) y(t) st
加速度为
Y(t) y(t)
y(t) st 11[F (t) W my(t)]
st W11
y(t) 11[F(t) my(t)]
11

l3 48 EI
my(t)
48EI l3
11

l3 3EI
柔度系数
1 11
11[F (t) my(t)]
F(t) my(t)
3EI my(t) l3 y(t) F (t)
柔度法步骤：
l
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
列运动方程例题
例1.
m
F (t )
y(t)
my(t)
24EI l3
y(t)

F (t )
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
例3.
F (t )
EI
m
l/2
l/2
W
my(t)
1
11
列运动方程时可不考虑重力影响
y(t) ---F(t)引起的动位移
st ---重力引起的位移
m EI
W=2
(11) (12)
W=1 W=13
自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
§10-2 单自由度体系的自由振动
1、自由振动微分方程的建立
下面介绍建立在达朗贝尔原理基础上的“直接平衡 法”，又称“动静法”，可分为刚度法和柔度法。
(5)
(2) W=2
W=2
弹性支座不减少动力自由度
(6)
y2 y1
(3) 计轴变时 W=2
W=2
不计轴变时 W=1
自由度数与质点个数无关。
(7)
为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
EI W=1
自由度的确定
(8) 平面上的一个刚体
y2

y1 W=3
(9)弹性地面上的平面刚体
W=3
(10)
2、动荷载及其分类
动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，
结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。
静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
动荷载的分类
确定 动荷载
周期 非周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载 突加荷载 其他确定规律的动荷载
不确定
风荷载
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载

y0

sin
t
令 y0 Asin y0 / Acos
y(t) Asin( t )
其中
A
y02

y 02
2
tan y0
y0
3、结构的自振周期
自振周期T: 在自由振动过程中，质点完成一次自由振动所需的时间.
频率 f : 表示单位时间内的振动次数.
9l 2 2m 5kl2 0
5k
9m
2l 2m
kl l 2m 2l 2m
A
2kl
§10-3 单自由度体系的强迫振动
强迫振动，也称受迫振动： 结构在动荷载作用下产生的振动。
由达朗贝尔原理， 可得平衡方程如下：
ym
k
F P(t)
my ky FP (t)
施
m
力
物 体
F(t) F(t)
y(t)
m F(t) my(t)
my(t) F(t) 运动方程 F(t) my(t) 惯性力 F(t) [my(t)] 0
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
刚度法
F(t) m my(t) y(t)
l EI
1
y
k11
k11y(t) F(t) my(t)
EI1
l EI
k2
EI
k1 ?
k2 ?
l
EI1
EI
k1
EI
k1

k2

24EI l3
k1 ? k2 ?
36EI k1 k2 l 3
2、自由振动微分方程的解
m my(t) y(t)
k11y(t) my(t) 0
刚
l EI
令 2 k11 1
k11

3EI l3
刚度系数
my(t)
3EI l3
y(t)
F (t )
k11 y(t )
k11 11 1
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
柔度法
F(t) m my(t) y(t)
l EI
y(t) 11[F(t) my(t)]
(1) 集中质量法
m
将实际结构的质量看成（按一定
规则）集中在某些几何点上，除这些
点之外物体是无质量的。这样就将无
限自由度系统变成一有限自由度系统。
(2) 广义坐标法

y(x) aii (x) i 1 n
y(x) aii (x) i 1
ai ---广义坐标
i (x) ---基函数
令
2 k11 1 m m11
y(t) 2 y(t) 0
二阶线性齐次常微分方程
单自由度体系不计阻尼时的自由振动 是简谐振动.
y(t) Asin( t ) Asin( t 2 ) Asin[ (t 2 ) ] y(t 2 )
1
g st1
48EI ml3 2
g st 2
768EI 7ml 3
3
g st 3
可得 1 :2 :3 1:1.51: 2
说明结构刚度越大，其自振圆频率越大。
192EI ml 3
例 10-2 试求图示排架的水平自振圆频率
m
m
l EI
2EI
EI
k1 2m
k2 k3
y(t)

F (t )
层间侧移刚度
F (t )
对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 l EI 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.
m
EI1
EI
l
1
11 k 24EI
l3
1
k
11

1 k
EI1
l EI
k2
EI
l
EI
EI1
可得 c1 y0 c2 y0 /
y(t)

y0
cost

y0

sin
t
令 y0 Asin y0 / Acos
y(t) Asin( t )
其中
A
y02

y02
2
tan

y0
y0
一.运动方程及其解
m my(t) y(t)
l EI
k11y(t) my(t) 0


T 2 自振周期
1 2 自振园频率
与外界无关,体系本身固有的特性
T
A
振幅

初相位角
其通解为 y(t) c1 cost c2 sin t
由初始条件 y(0) y0
y(0) y0
可得 c1 y0 c2 y0 /
y (t )

y0
cos t