山东省青岛市平度市高三数学上学期12月月考试卷 理(含解析)

2015-2016学年山东省青岛市平度市高三（上）12月月考数学试卷（理
科）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A={x|lg（1﹣x）＜0}，集合B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（）
A．（﹣1，0）B．（0，3） C．（﹣1，1）D．（0，1）
2．已知命题p、q，则“p且q为假”是“p或q为真”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．向量，，且∥，则cos2α=（）
A． B．C． D．
4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α
C．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
5．不等式组所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．2 C．4 D．
6．设实数数列{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）
A．a1＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b6
7．若正实数a，b满足a+b=1，则（）
A．有最大值4 B．ab有最小值
C．有最大值D．a2+b2有最小值
8．已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（2，+∞）
9．设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且
时，f（x）=﹣x2，则f（2015）的值等于（）
A． B． C．0 D．
10．设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）
A．25 B．50 C．75 D．100
二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是= ．
12．在△ABC中，若=3，b2﹣a2=ac，则cosB的值为．
13．观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此规律，第n个等式可为．
14．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
15．若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”，给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=（x﹣1）3；③f（x）=e x﹣1；④f（x）=cosx．则以上函数中是“准奇函数”的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b）（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．
17．把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
18．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
19．设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：（n∈N*）．
20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且（c是常数，n∈N*），a2=6．（Ⅰ）求c的值及数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，若2T n＞m﹣2对n∈N*恒成立，求最大正整数m的值．
21．（2015•南昌校级二模）已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；
（Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．
2015-2016学年山东省青岛市平度市高三（上）12月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A={x|lg（1﹣x）＜0}，集合B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（）
A．（﹣1，0）B．（0，3） C．（﹣1，1）D．（0，1）
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；不等式的解法及应用；集合．
【分析】直接解对数不等式化简集合A，解绝对值不等式化简集合B，则A∩B的答案可求．【解答】解：由集合A={x|lg（1﹣x）＜0}={x|0＜x＜1}，集合B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，
则A∩B={x|0＜x＜1}∩{x|﹣1＜x＜3}=（0，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了对数不等式和绝对值不等式的解法，是基础题．
2．已知命题p、q，则“p且q为假”是“p或q为真”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系，得出判断．
【解答】解：“p且q为假”，p、q都可为假，故充分性不成立；
“p或q为真”，p、q都可为真，故必要性不成立；
故选D．
【点评】本题考查充分、必要与充要条件的判断，属于基础题，要掌握判断充要条件的方法．3．向量，，且∥，则cos2α=（）
A． B．C． D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系算出
sinα=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2α的值．
【解答】解：∵，，且∥，
∴，
即，化简得sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=
故选：D
【点评】本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2α的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．
4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α
C．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β，
则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；
若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确；
若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
5．不等式组所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．2 C．4 D．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；转化思想；分割补形法；不等式．
【分析】由题意画出图象，求出交点坐标，然后利用定积分求封闭图形的面积．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得：C（4，2），
∴不等式组所围成的封闭图形的面积为：
S===．
故选：A．
【点评】本题考查基地的线性规划，考查了利用定积分求曲边梯形的面积，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6．设实数数列{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）
A．a1＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b6
【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a1=b1=4，a4=b4=1，∴4+3d=4q3=1，
解得d=﹣1，q3=．
∴a n=4﹣（n﹣1）=5﹣n，b n=4×q n﹣1=．
由于b2==＜=4=a1，
∴A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．若正实数a，b满足a+b=1，则（）
A．有最大值4 B．ab有最小值
C．有最大值D．a2+b2有最小值
【考点】基本不等式．
【专题】计算题．
【分析】由于==2+≥4，故A不正确．
由基本不等式可得a+b=1≥2，可得ab≤，故B不正确．
由于=1+2≤2，故≤，故 C 正确．
由a2+b2 =（a+b）2﹣2ab≥1﹣=，故D不正确．
【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=1，
∴==2+≥2+2=4，故有最小值4，故A不正确．
由基本不等式可得a+b=1≥2，∴ab≤，故ab有最大值，故B不正确．
由于=a+b+2=1+2≤2，∴≤，故有最大值为，故C正确．
∵a2+b2 =（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故a2+b2有最小值，故D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．
8．已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（2，+∞）
【考点】特称命题；命题的否定．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据“命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真”，不等式对应的是二次函数，利用二次的图象与性质加以解决即可．
【解答】解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），
若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，
则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，
∴△=m2﹣4＞0，且﹣＞0，
即m＜﹣2，
则m的取值范围是：（﹣∞，﹣2）．
故选C．
【点评】本题考查特称命题、二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理．
9．设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且
时，f（x）=﹣x2，则f（2015）的值等于（）
A． B． C．0 D．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据已知可得函数y=f（x）是周期为2的周期函数，结合时，f（x）=﹣x2，可得答案．
【解答】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（t）=f（1﹣t），
∴f（x+2）=f[1﹣（x+2）]=f（﹣x﹣1）=﹣f（x+1）=﹣f[1﹣（x+1）]=﹣f（﹣x）=f（x），即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，
故f（2015）=f（1）=﹣f（0），
又∵时，f（x）=﹣x2，
∴f（2015）=f（1）=﹣f（0）=0，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性，函数的周期性，函数求值，根据已知分析出函数y=f（x）是周期为2的周期函数，是解答的关键．
10．设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）
A．25 B．50 C．75 D．100
【考点】数列的求和；三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断
【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50
由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0
且sin，sin…但是f（n）=单调递减
a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24
∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正
同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，
故选D
【点评】本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．
二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是= ﹣2 ．
【考点】对数的运算性质；函数的值．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值．
【解答】解：∵函数，
∴f（）=2+=4．
=f（4）==﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力．
12．在△ABC中，若=3，b2﹣a2=ac，则cosB的值为．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】方程思想；转化思想；解三角形．
【分析】由=3，利用正弦定理可得，代入b2﹣a2=ac，可得b2=．再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：在△ABC中，∵ =3，∴，
∴c=3a，
代入b2﹣a2=ac，
解得b2=．
则cosB===．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此规律，第n个等式可为
．
【考点】归纳推理．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．
【解答】解：观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
分n为奇数和偶数讨论：
第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．
当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，
当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣
+n2=．
综上，第n个等式为．
故答案为：．
【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．
14．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为11 ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】该几何体为长方体切去一个棱锥得到的，作出直观图，使用作差法求体积．
【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体切去一个棱锥A′﹣AMD′得到的，直观图如图所示，
∴V=2×2×3﹣××1×2×3=11．
故答案为11．
【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，对于不规则几何体常采用作差法，分解法等求体积．
15．若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”，给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=（x﹣1）3；③f（x）=e x﹣1；④f（x）=cosx．则以上函数中是“准奇函数”的序号是②④．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；新定义；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】根据准奇函数的定义，先求﹣f（2a﹣x），并判断它能否等于f（x），并根据﹣f （2a﹣x）=f（x）求出a，若a≠0便得到该函数是准奇函数，若a=0便不是．按照这个方法即可判断每个选项的函数是否为准奇函数．
【解答】解：A．﹣f（2a﹣x）=﹣（2a﹣x）2≤0，f（x）=x2≥0，∴f（x）=x2不是准奇函数；
B．由﹣f（2a﹣x）=﹣（2a﹣x﹣1）3=（x﹣2a+1）3=（x﹣1）3得，﹣2a+1=﹣1，
∴a=1，即存在a=1，使f（x）=﹣f（2a﹣x）；
∴该函数为准奇函数；
C．﹣f（2a﹣x）=﹣e2a﹣x﹣1＜0，而f（x）=e x﹣1＞0，∴该函数不是准奇函数；
D．存在非零常数，使﹣f（2×﹣x）=﹣cos（2×﹣x）=cosx=f（x），
∴该函数是准奇函数．
故答案为：②④．
【点评】考查对新概念﹣准奇函数的理解程度，以及根据准奇函数的定义判断一个函数是否为准奇函数的过程．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b）（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．
【考点】两角和与差的正弦函数；函数的零点与方程根的关系；正弦函数的单调性；函数
y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得
，利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为
．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；
（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．由此解g （x）=0得sin2x=﹣，利用正弦函数的图象解出或，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b
大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得
f（x）=
=．
∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．
由此可得函数的解析式为．
令，解之得
∴函数f（x）的单调增区间是．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，
∵
∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=
解之得或．
∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，
若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，
即b的最小值为．
【点评】本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求解函数g（x）在[0，b]上零点的个数的问题．着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
17．把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．
【专题】综合题．
【分析】（Ⅰ）根据容器的高为x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V （x）的解析式，函数的定义域；
（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点，先求V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为
﹣﹣﹣﹣．
则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
函数的定义域为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．
先求V（x）的极值点．
在开区间内，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令V'（x）=0，即令，解得（舍去）．
因为在区间内，x1可能是极值点．
当0＜x＜x1时，V'（x）＞0；当时，V'（x）＜0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，
所以是V（x）的最大值点，并且最大值
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是求出体积，利用导数知识求解．单峰函数，极值就是最值．
18．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．
【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC中点O，连接BO，DO，
则BO⊥AC，DO⊥AC，…
又∵平面ACD⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，
∵BE和平面ABC所成的角为60°，
∴∠EBF=60°，
∵BE=2，∴，…
∴四边形DEFO是平行四边形，
∴DE∥OF，
∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…
（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，
∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，
∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…
Rt△EFG中，，，．
∴．
即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），
∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），
平面ABC的一个法向量为
设平面BCE的一个法向量为
则，∴，
∴．…
所以，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，
二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．
19．设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：（n∈N*）．
【考点】综合法与分析法(选修）；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】证明题．
【分析】（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（﹣1）=0，求出，再由对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式．
（Ⅱ）根据，即证，把
代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…
由为偶函数，得为偶函数，显然有．…又k（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即．…
又因为对一切实数x恒成立，
即对一切实数x，不等式恒成立．…
显然，当时，不符合题意．…
当时，应满足，
注意到，解得．… 所以．…
（Ⅱ）证明：因为，所以．…
要证不等式成立，
即证．…
因为，…
所以=．
所以成立．…
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的恒成立问题，利用导数研究曲线在某点的切线斜率，以及用裂项法对数列进行
求和，属于难题．
20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且（c是常数，n∈N*），a2=6．（Ⅰ）求c的值及数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，若2T n＞m﹣2对n∈N*恒成立，求最大正整数m的值．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（I）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
当n=1时，，
解得a1=2c，
当n=2时，S2=a2+a2﹣c，
即a1+a2=a2+a2﹣c，
解得a2=3c，∴3c=6，
解得c=2．
则a1=4，数列{a n}的公差d=a2﹣a1=2，
∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+2．
（Ⅱ）∵，
∴①
②
①﹣②得，
∴，
∵，
∴数列{T n}单调递增，T1最小，最小值为，
∴，
∴m＜3，
故正整数m的最大值为2．
【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（2015•南昌校级二模）已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；
（Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；
（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；
（3）联系函数的F（x）的单调性，然后证明即可．注意对函数的构造．
【解答】解：（1）．由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．（2）令x+1．
所以=．
当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，
又因为G（1）=﹣．
所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立．
当m＞0时，．
令G′（x）=0得x=，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．
因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．
故函数G（x）的最大值为．
令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=．
又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．
所以整数m的最小值为2．
（3）当m=﹣2时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0．
由F（x1）+F（x2）+x1x2=0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0．
化简得．
令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt得φ′（t）=．
可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1．
所以，即成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题，难度不大．。